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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.3 集合的基本运算综合训练题
展开养成好习惯:
一、单选题
1.若集合,则元素的个数为
A.B.
C.D.
2.已知集合,,,则
A.0或B.0或3C.1或D.1或3
3.设集合,,则
A.B.C.D.
4.已知集合,集合,则集合的子集个数为
A.1B.2C.3D.4
5.设全集,已知,,则( )
A.B.C.D.
6.若是一个集合,是一个以的某些子集为元素的集合,且满足:(1)属于,属于;(2)中任意多个元素的并集属于;(3)中任意多个元素的交集属于,则称是集合上的一个拓扑.已知集合,对于下面给出的四个集合:
①; ②;
③; ④;
其中是集合上的拓扑的集合的序号是( )
A.①②B.③④C.①③D.②④
二、多选题
7.我们知道,如果集合,那么S的子集A的补集为 且.类似地,对于集合A,,我们把集合且叫做集合A与的差集,记作.据此,下列说法中正确的是( )
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则
8.已知集合M={0,1,2},N={x||x-1|≤1},则( )
A.M=NB.N⊆M
C.M∩N=MD.(∁RM)∪N=R
三、填空题
9.设集合,,若,则______ .
10.已知集合,若,则实数的取值范围为_____.
11.“生命在于运动”,某学校教师在普及程度比较高的三个体育项目——乒乓球、羽毛球、篮球中,会打乒乓球的教师人数为30,会打羽毛球的教师人数为60,会打篮球的教师人数为20,若会至少其中一个体育项目的教师人数为80,且三个体育项目都会的教师人数为5,则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为______.
12.是集合的非空子集,则满足的有序集合对共有_____个.
四、双空题
13.已知集合,,,用
表示集合中元素的个数.①若,则___________;②若
(,为常数),则___________.
14.设全集 ,用的子集可表示由组成的6位字符串,如:表示的是第2个字符为1,第4个字符为1,其余均为0的6位字符串010100,并规定空集表示的字符串为000000.
(1)若 ,则表示6位字符串为_____________.
(2)若,集合表示的字符串为101001,则满足条件的集合的个数为
________个.
五、解答题
15.设.
(1)当时,求A的子集的个数;
(2)当且时,求m的取值范围.
16.已知全集,集合,集合.
(1)若,求和;
(2)若,求实数的取值范围.
17.对于给定的数集A. 若对于任意,有,且,则称集合A为闭集合.
(1)判断集合是否为闭集合;
(2)若集合A,B为闭集合,则是否一定为闭集合?请说明理由;
(3)若集合A,B为闭集合,且,,证明:.
养成好习惯:
复习内容
(作业前完成)
1. 人教版(2019)高中数学必修一课本P10-13
2. 本节上课笔记内容
预备知识
(熟悉并记忆)
1. 系数含有变量时,要分类讨论;
2. 去分母时,前后要保持等价变形!
请将1-8题正确选项填入下表
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
选项
评后备忘录
有待熟练的
知 识
有待熟练的
解题技巧
有待熟练的
思想方法
1.3 集合的基本运算
1.若集合,则元素的个数为
A.B.
C.D.
1.C
【详解】试题分析:由题意得,由集合元素的互异性得,故选C.
考点:集合的性质.
2.已知集合,,,则
A.0或B.0或3C.1或D.1或3
2.B
【详解】试题分析:因为集合,,,所以或即或或,经验证不满足集合元素的互异性所以应选B.
考点:集合间的基本关系.
3.设集合,,则
A.B.C.D.
3.A
【解析】先求出集合的等价条件,根据交集定义求出结果.
【详解】解:因为,
解得,
因为当时,
恒成立,
当时,
恒成立,
所以,
故,
故选A.
【点睛】本题考查了集合的交集,解题的关键是要能求出集合的等价条件.
4.已知集合,集合,则集合的子集个数为
A.1B.2C.3D.4
4.D
【分析】因为直线与抛物线有两个交点,可知集合的交集有2个元素,可知其子集共有个.
【详解】由题意得,直线与抛物线有2个交点,故的子集有4个.
【点睛】本题主要考查了集合的交集运算,子集的概念,属于中档题.
5.设全集,已知,,则( )
A.B.C.D.
5.B
【分析】解分式不等式求得集合,由此求得,解绝对值不等式求得集合,由此求得.
【详解】由中不等式变形得:,
解得:或,即,
∴,
由中不等式变形得:,
解得:,即,
∴,
故选:B.
【点睛】本小题主要考查集合交集交集、补集的概念和运算,考查分式不等式、绝对值不等式的解法,属于基础题.
6.若是一个集合,是一个以的某些子集为元素的集合,且满足:(1)属于,属于;(2)中任意多个元素的并集属于;(3)中任意多个元素的交集属于,则称是集合上的一个拓扑.已知集合,对于下面给出的四个集合:
①; ②;
③; ④;
其中是集合上的拓扑的集合的序号是( )
A.①②B.③④C.①③D.②④
6.D
【分析】由题意,根据集合的并集和交集的运算,结合元素与集合之减的关系,可得答案.
【详解】①,故①不是集合上的拓扑的集合;
②满足拓扑集合的3个要求,故②是集合上的拓扑的集合;
③,故③不是集合上的拓扑的集合;
④满足拓扑集合的3个要求,故④是集合上的拓扑的集合;
所以是集合上的拓扑的集合的序号是②④,
故选:D.
7.我们知道,如果集合,那么S的子集A的补集为 且.类似地,对于集合A,,我们把集合且叫做集合A与的差集,记作.据此,下列说法中正确的是( )
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则
7.BCD
【分析】由定义,为集合A去掉的元素,即有,逐个判断即可
【详解】由定义,为集合A去掉的元素,即有
对A,若,则,A错;
对B,,,B对;
对C,,即,C对;
对D,,,D对;
故选:BCD
8.已知集合M={0,1,2},N={x||x-1|≤1},则( )
A.M=NB.N⊆M
C.M∩N=MD.(∁RM)∪N=R
8.CD
【分析】先解出集合N,在对四个选项一一验证即可.
【详解】由|x-1|≤1得0≤x≤2,即N=[0,2],又M={0,1,2},故选项A、B错误,
所以M∩N=M,M⊆N,(∁RM)∪N=R,所以选项C、D正确.
故选CD.
9.设集合,,若,则______ .
9.4
【分析】由,所以,即可求解,得到答案.
【详解】由题意,集合,,
因为,所以,故.
故答案为.
【点睛】本题主要考查了利用集合的运算求解参数问题,其中解答中熟记集合交集的概念,得到是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于容易题.
10.已知集合,若,则实数的取值范围为_____.
10.或.
【分析】利用补集思想,将转化为的补集,从而转化为列不等式组求解的取值范围,再求解补集即可.
【详解】若,则,又,
所以,解得,
又,所以当时,
实数的取值范围为集合的补集,
即或.
故答案为:或.
11.“生命在于运动”,某学校教师在普及程度比较高的三个体育项目——乒乓球、羽毛球、篮球中,会打乒乓球的教师人数为30,会打羽毛球的教师人数为60,会打篮球的教师人数为20,若会至少其中一个体育项目的教师人数为80,且三个体育项目都会的教师人数为5,则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为______.
11.20
【分析】由三元容斥原理求解即可.
【详解】首先设是会打兵兵球的教师,是会打羽毛球球的教师,
是会打蓝球的教师,
根据题意得,,,,,
再使用三元容斥原理得:
,
有,
而中把的区域计算了3次,
于是要减掉这3次,才能得到会且仅会其中两个体育项目的教师人数.
因此会且仅会其中两个体育项目的教师人数为.
故答案为:20.
12.是集合的非空子集,则满足的有序集合对共有_____个.
12.
【分析】根据题意可知,当集合确定后,集合是的非空子集,分别计算中有1、2、3个元素时有序集合对的个数之和即可.
【详解】设,因为,所以是的非空子集,
当中只有一个元素时,的个数为个,
当中只有2个元素时,的个数为个,
当中只有3个元素时,的个数为个,
所以共有个,
故答案为:.
13.已知集合,,,用表示集合中元素的个数.①若,则___________;②若(,为常数),则___________.
13. 6 .
【分析】①时,由定义求得后可得,②由已知分析中的元素可得结论.
【详解】①,则,6;
②,,(,为常数),设
则(),
,,
易知的最小值是3,最大值是,且上的每一个整数都能取到,
所以中含有个元素,.
故答案为:6;.
14.设全集 ,用的子集可表示由组成的6位字符串,如:表示的是第2个字符为1,第4个字符为1,其余均为0的6位字符串010100,并规定空集表示的字符串为000000.
(1)若 ,则表示6位字符串为_____________.
(2)若,集合表示的字符串为101001,则满足条件的集合的个数为________个.
14. (1)100110 (2)4
【详解】①M表示的6位字符串是:011001,
则∁UM表示的6位字符串为:100110;
②若A={1,3},集合A∪B表示的字符串为101001,
∴集合B可能是{6},{1,6},{3,6},{1,3,6},
故答案为100110,4.
点睛:本题以新定义为背景,灵活考查了集合的有关运算,考查了学生分析问题解决问题的能力.
15.设.
(1)当时,求A的子集的个数;
(2)当且时,求m的取值范围.
15.(1)16;(2) .
【分析】(1)根据题意,确定集合的元素个数即可求解;
(2) 由,得,分别讨论是否为即可求解.
【详解】(1)由题意可知,,故A的子集的个数为.
(2)由,得,
当时,,即;
当时,,解得.
综上所述,.
16.已知全集,集合,集合.
(1)若,求和;
(2)若,求实数的取值范围.
16.(1)={x∣x≤−3或x≥5};=∅;(2)−1≤a≤.
【分析】(1)利用一元二次不等式的解法化简集合A、B,利用集合的基本运算即可算出结果;
(2)因为,所以,对集合分等于空集和不等于空集两种情况讨论,求出的取值范围.
【详解】(1)若,则集合,
或,
若,则集合,
(2)因为,所以,
①当时,,解,
②当时,即时,,
又由(1)可知集合,
,解得,且,
综上所求,实数的取值范围为:.
【点睛】本题主要考查了集合的基本运算,考查了一元二次不等式的解法,是基础题.
17.对于给定的数集A. 若对于任意,有,且,则称集合A为闭集合.
(1)判断集合是否为闭集合;
(2)若集合A,B为闭集合,则是否一定为闭集合?请说明理由;
(3)若集合A,B为闭集合,且,,证明:.
17.(1)不是闭集合,是闭集合
(2)不一定,理由见解析
(3)证明详见解析
【分析】(1)根据“闭集合”的定义对集合进行判断.
(2)通过举反例的方法说明不一定是闭集合.
(3)利用反证法,结合“闭集合”的定义证得.
【详解】(1)对于集合,,但,所以不是闭集合.
对于集合,任取,设,
则,,所以,
,,所以,
所以是闭集合.
(2)不一定,理由如下:
令,,
同理(1)可证得是闭集合,
,但,不是闭集合.
(3)反证法:
若,
因为闭集合满足,存在,则.
同理,因为闭集合满足,存在,则.
因为,所以或.
若,则由于为闭集合,,与矛盾.
若,则由于为闭集合,,与矛盾.
综上所述,存在,使得,即.
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