人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质课时练习

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质课时练习，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

养成好习惯
一、单选题
1．设实数，，满足，，则下列不等式中不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2．实数，，满足且，则下列关系成立的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知，是正实数，则下列式子中能使恒成立的是（ ）
A．B．C．D．
4．已知且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．若，都是实数，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．买4个苹果和5只桃子的金额之和小于22元，而买6个苹果和3只桃子的金额之和大于24元，那么买2个苹果和买3只桃子的金额比较，其结果是
A．2个苹果贵B．3只桃子C．相同D．不能确定
7．汽油的单价会随着各种因素不断变动，一段时间内，某人计划去加油站加两次油，两次加油时汽油单价不同，现有两种加油方案——甲：每次加油的总金额固定；乙：每次所加的油量固定．若规定平均单价越低，则该加油方案越实惠，不考虑其他因素影响，则（ ）
A．甲方案实惠B．乙方案实惠
C．哪种方案实惠需由两次油价决定D．两种方案一样实惠
二、多选题
8．若，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C． D．
9．下列是假命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，，，且，则
10．已知实数，，满足，，则（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
三、填空题
11．设，若时均有，则 ．
12．已知，定义：表示不小于的最小整数，如：，，，若，则的取值范围是 .
13．某校的一个志愿者服务队由高中部学生组成，成员同时满足以下三个条件：
（1）高一学生人数多于高二学生人数；
（2）高二学生人数多于高三学生人数；
（3）高三学生人数的3倍多于高一高二学生人数之和
若高一学生人数为7，则该志愿者服务队总人数为 ．
14．已知正实数x，y满足，则使得恒成立的实数k的最大值为 .
四、解答题
15．（1）已知，求的取值范围；
（2）比较两个代数式与的大小．
16．已知二次函数和一次函数，其中a，b，c满足且
（）；
（1）求证：两函数的图像交于不同的两点A，B；
（2）求的范围；
（3）求线段在x轴上的射影的长的取值范围；
17．对于四个正数x､y､z､w，如果，那么称是的“下位序列”.
(1)对于2，3，7，11，试求的“下位序列”；
(2)设a､b､c､d均为正数，且是的“下位序列”，试判断：，，之间的大小关系，并说明理由；
(3)设正整数n满足条件：对集合内的每个，总存在正整数k，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求：正整数n的最小值.
养成好习惯：
复习内容
(作业前完成)
1. 人教版(2019)高中数学必修一课本P39-42
2. 本节上课笔记内容
预备知识
(熟悉并记忆)
1. 分母有理化：1a+k−a=a+k+ak；
2. 完全平方及绝对值，都具有非负性!
请将1-10题正确选项填入下表
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
选项
评后备忘录
有待熟练的
知 识
有待熟练的
解题技巧
有待熟练的
思想方法
2.1等式性质与不等式性质
1．下列说法错误的是（ ）
A．“若，则”的逆否命题是“若，则”
B．“”是“”的充分不必要条件
C．“，”的否定是“，”
D．若“”为假命题，则均为假命题
1．D
【分析】根据逆否命题的定义、集合间的关系、全称命题的否定、为假命题的定义，对选项进行一一验证，即可得答案.
【详解】对A，根据逆否命题的定义可知命题正确，故A正确；
对B，若，则或，所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确；
对C，因为全称命题的否定是特称命题，且将结论否定，故C正确；
对D，若“”为假命题，则、中只要有一个为假命题，故D错误.
故选：D.
【点睛】本题考查命题真假性的判断，考查对概念的理解与应用，属于基础题.
2．已知命题，，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．C
【分析】根据特称命题的否定是全称命题可得出答案.
【详解】由于特称命题的否定是全称命题，故命题，的否定是：
，.
故选：C.
【点睛】本题考查特称命题的否定，意在考查学生的推断能力，属于基础题.
3．命题“∀x∈N*，x2∈N*且x2≥x”的否定形式是（ ）
A．,且B．,或
C．,且D．,或
3．D
【分析】根据全称命题的否定是特称命题，准确改写，即可求解．
【详解】由题意，根据命题的全称命题，则否定是特称命题，
可得命题：“且”的否定为“或”.
故选D．
【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，结合全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键，属于基础题．
4．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．命题“每一个素数都是奇数”的否定是“每一个素数都不是奇数”
C．若是的必要不充分条件，则是的充分不必要条件
D．若命题：对角线相等的四边形是矩形，则：对角线不相等的四边形不是矩形
4．C
【分析】取特值法判断A；利用全称命题的否定为特称命题判断B；利用充分条件必要条件的定义判断C；利用命题的否定判断D.
【详解】对于A，取特值法判断，若，满足，但，故A错误；
对于B，全称命题的否定为特称命题，所以命题“每一个素数都是奇数”的否定是“有的素数不是奇数”，故B错误；
对于C，若是的必要不充分条件，可知是真命题，是假命题，
即是真命题，是假命题，则是的充分不必要条件，故C正确；
对于D，为命题的否定，只否结论，不否条件，故：对角线相等的四边形不是矩形，故D错误；
故选：C
5．下列说法错误的是（ ）
A．命题“，”，则：“，”
B．已知a，，“且”是“”的充分而不必要条件
C．“”是“”的充要条件
D．若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件
5．C
【分析】根据充分条件，必要条件，全称与特称命题的否定依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：对于A选项，命题p：“，”，则，：“，”满足命题的否定形式，所以A正确；
对于B选项，已知a，，“且”能够推出“，“”不能推出“且”，所以B正确；
对于C选项，时，成立，反之，时，或，所以C不正确；
对于D选项，若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件，满足充分与必要条件的定义，所以D正确．
故选：C．
6．已知下列命题：
①命题“”的否定是“”；
②“”是“”的充分不必要条件；
③“若，则且”的逆否命题为真命题；
④已知为两个命题，若“”为假命题，则“”为真命题．
其中真命题的个数为（ ）
A．3个B．2个C．1个D．0
6．C
【分析】根据特称命题的否定得到① 错误，“”是“”的必要不充分条件，② 错误，判断原命题为假得到③ 错误，判断均为假命题得到④ 正确，得到答案.
【详解】命题“”的否定是“”， ① 错误；
“”是“”的必要不充分条件，② 错误；
“若，则且”为假命题，故逆否命题为假命题，③ 错误；
若“”为假命题，则均为假命题，故“”为真命题，④ 正确.
故选：C.
7．下列命题的否定为假命题的是（ ）
A．对任意的，
B．所有的正方形都是矩形
C．存在
D．至少有一个实数x，使
7．ABD
【分析】根据全称命题以及特称命题的否定，即可写出每个选项中命题的否定，继而判断真假.
【详解】A中命题的否定：存在，
由于，故该命题是假命题．
B中命题的否定：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题．
C中命题的否定：对任意的，
由于，该命题是真命题．
D中命题的否定：对任意的，
因为时，，故该命题是假命题．
故选：ABD
8．下面四个结论正确的是（ ）
A．，若，则．
B．命题“”的否定是“
C．“”是“”的必要而不充分条件．
D．“是关于x的方程有一正一负根的充要条件．
8．BD
【分析】举特值判断A；根据特称命题的否定判断B，根据充分条件和必要条件的定义进行判断C、D作答．
【详解】对于A，取，满足，而，A不正确；
对于B，存在量词命题的否定是全称量词命题，则“”的否定是“”，B正确；
对于C，取，满足，而，即不能推出，
反之，取，满足，而，即不能推出，
所以“”是“”的既不充分又不必要条件，C不正确；
对于D，当方程有一正一负根时，由方程两根之积可得，
反之，当时，，方程有两个根，并且两根之积为负数，两根异号，
所以“”是“关于x的方程有一正一负根”的充要条件，D正确．
故选：BD
9．已知集合，集合，且为假命题，则实数的取值范围为 .
9．
【分析】先利用假命题否定为真命题得到集合和集合的关系，再分和两种情况列出相应的不等式组即可得到答案.
【详解】因为为假命题，所以为真命题，即，
又因为集合，集合，
所以当时，，即，此时满足；
当时，或，解得，
综上所述，的取值范围为.
故答案为：.
10．已知a是常数，命题p：存在实数x，使得．若命题p是假命题，则实数a的范围为 ．
10．
【分析】写出命题p的否定，随后可求出a的范围．
【详解】命题p：存在实数x使得，为假命题，
所以，它的否定：对任意实数x，，为真命题，
所以对任意实数x都成立，即
所以实数a的范围是.
故答案为：
11．已知集合，集合，如果命题“”为假命题，则实数的取值范围为 .
11．
【分析】根据题意，将命题等价转化为命题“”为真命题，根据命题的真假得出关于的不等式恒成立，进而求解即可.
【详解】因为命题“”为假命题，
所以命题“”为真命题，
因为集合，当时，集合，符合；
当时，因为，所以由对，可得对任意的恒成立，所以，
综上所述：实数的取值范围为，
故答案为：.
12．已知命题P：“对任意，存在，使得”为假，则实数m的取值范围是 ．
12．.
【分析】根据含量词命题的否定得到真命题，转化为，不等式求解即可.
【详解】“对任意，存在，使得”为假，
则“存在，对任意的，使得”为真，
即，故，解得.
故答案为：.
13．命题“，”的否定是 ；设，，分别是的三条边，且．我们知道为直角三角形，那么．反过来，如果，那么为直角三角形．由此可知，为直角三角形的充要条件是．请利用边长，，给出为锐角三角形的一个充要条件是 ．
13． ，
【分析】根据全称量词命题的否定直接写出即可；根据勾股定理，充要条件及反证法得出为锐角三角形的一个充要条件是.
【详解】解：根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，命题“，”的否定是，；
设，，是的三条边，且，为锐角三角形的一个充要条件是.
证明如下：
必要性：在中，是锐角，过点作于点，如下图：
根据图象可知
，
即，可得证.
充分性：在中，，所以不是直角.
假设是钝角，如下图：过点作，交延长线于点，
则
，
即，，与矛盾.
故为锐角，即为锐角三角形.
【点睛】本题考查命题的否定的写法与锐角三角形的充要条件证明，属于中档题.充要条件的证明需注意一下几点：
充要条件的证明要从必要性和充分性两个方面考查；
必要时可以用反证法证明.
14．命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是 ，命题非p是 (填“真命题”或“假命题”)．
14． 对任意实数m，方程x2＋mx＋1＝0没有实数根 假命题
【解析】由命题p是特称命题，直接写出命题非p，先判断出命题p为真命题，从而可判断命题非p是假命题.
【详解】命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，是特称命题.
所以命题非p：对任意实数m，方程x2＋mx＋1＝0没有实数根
在二次方程x2＋mx＋1＝0中，，显然存在实数m，使得成立.
所以命题p为真命题，则命题非p是假命题.
故答案为：对任意实数m，方程x2＋mx＋1＝0没有实数根； 假命题
15．已知命题，，命题，.若p真、q假，求实数m的取值范围.
15．
【解析】命题p是真命题，再利用参变分离求恒成立问题得，再由为真，解一元二次方程得，从而求得的范围.
【详解】若命题p是真命题，则对恒成立，即对恒成立.
当时，，所以，即.
若命题q是假命题，则，使得为真命题.
即关于x的方程有正实数根.
当时，有正实数根；
当时；依题意得，即，设两根为、，
①当方程有个两正实数根时，，且，解得，此时；
②当方程有一正一负两个实数根时，，解得，此时；
综上所述，.
因为p真、q假，所以实数m的取值范围是.
【点睛】本题考查全称命题和特称命题的真假求参数、一元二次方程根的分布，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.
16．已知二次函数和一次函数，其中a，b，c满足且（）；
（1）求证：两函数的图像交于不同的两点A，B；
（2）求的范围；
（3）求线段在x轴上的射影的长的取值范围；
16．（1）见解析；（2）；（3）；
【分析】（1）联立两个函数的方程得．所以．，，，．，即两函数的图象交于不同的两点.
（2），，，，，，解得的取值范围．
（3）由题意得，由（2）知，
再根据二次函数的性质求得，故
【详解】解：（1）由消去，得．
．
，，，．
，
，即两函数的图象交于不同的两点．
（2），，，，
，
，
解得．
（2）设方程的两根为和，则，．
．
的对称轴方程是，且当时，为减函数，
，故．
【点睛】考查一元二次方程解的情况和判别式的关系，韦达定理，以及完全平方式，以及根据二次函数的单调性求二次函数的值域，属于难题．
17．对于四个正数x､y､z､w，如果，那么称是的“下位序列”.
(1)对于2，3，7，11，试求的“下位序列”；
(2)设a､b､c､d均为正数，且是的“下位序列”，试判断：，，之间的大小关系，并说明理由；
(3)设正整数n满足条件：对集合内的每个，总存在正整数k，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求：正整数n的最小值.
17．(1)
(2)，理由见解析
(3)4035
【分析】（1）根据新定义，代入计算判断即可；
（2）根据新定义得到，再利用不等式的性质，即可判断；
（3）由题意得到，从而求出，再验证该式对集合内的每个的每个正整数都成立，继而求出最小值.
(1)
由，则的“下位序对”是
(2)
是的“下位序对”，，
由均为正数，故，即 ，
同理，
综上所述，.
(3)
依题意得，由整数，故
于是

该式对集合内的每个的每个正整数都成立，
，
由，
，
，
对集合内的每个，
总存在，使得是的“下位序对”，
且是的“下位序对”，
正整数的最小值为4035.