长沙市长郡中学2025届高三数学复习小题精练4

这是一份长沙市长郡中学2025届高三数学复习小题精练4，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合P=x∣y=x+1，Q=y∣y=x2，则下列选项中正确的是（ ）
A．P∪Q=RB．Q⊆PC．P∩Q=∅D．P⊆Q
2．复数Z=i+2i2+3i3+⋅⋅⋅+2024i2024的虚部是（ ）
A．1012B．1011C．−1011D．−1012
3．若ax−bx6的展开式中常数项为−160，则a2+b2+2ab的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……．记各层球数构成数列an，且an+1−an为等差数列，则数列1an的前100项和为（ ）
A．99100B．100101C．9950D．200101
5．已知：sinα+β=m，tanα=3tanβ，则sinα−β=（ ）
A．m4B．−m4C．m2D．−m2
6．设函数f(x)=lg2|x|−x−2，则不等式f(x−2)≥f(2x+2)的解集为（ ）
A．[−4,0]B．[−4,0)
C．[−4,−1)∪(−1,0]D．[−4,−1)∪(−1,0)
7．已知抛物线C：y2=x的焦点为F，在抛物线C上存在四个点P，M，Q，N，若弦PQ与弦MN的交点恰好为F，且PQ⊥MN，则1PQ+1MN=（ ）
A．22B．1C．2D．2
8．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，F，G分别在线段AB，BC上，BF=BG=1，将△BFG沿FG折起，使B到达M的位置，且平面FGM⊥平面ADCGF，则四面体ADFM的外接球的表面积为（ ）
A．20πB．205πC．100π3D．1005π3
二、多选题
9．数学中蕴含着无穷无尽的美，尤以对称美最为直观和显著.回文数是对称美的一种体现，它是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等，显然两位回文数有9个：11，22，33，…，99；三位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.下列说法正确的是（ ）
A．四位回文数有45个B．四位回文数有90个
C．2n（n∈N*）位回文数有10n个D．2n+1（n∈N*）位回文数有9×10n个
10．已知函数f(x)=|sinx|+cs(x−π6)，则 （ ）
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)的图象为中心对称图形
C．函数f(x)在(−2π,−5π3)上单调递增
D．关于x的方程f(x)=a在[−π,π]上至多有3个解
11．已知函数y=f(x)在R上可导且f(0)=−2，其导函数f′(x)满足：f′(x)−2f(x)e2x=2x−1，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f(x)有且仅有两个零点
B．函数g(x)=f(x)+2e2有且仅有三个零点
C．当0≤x≤2时，不等式f(x)≥3e4(x−2)恒成立
D．f(x)在[1,2]上的值域为−2e2,0
三、填空题
12．在△ABC中，ab=2csB3，n∈N∗）个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k（k=1，2，3，…，n）个袋中有k个红球，n−k个白球.现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出四个球（每个取后不放回），若第四次取出的球为白球的概率是49，则n= .
参考答案
1．B
【分析】根据已知求出集合，再结合交集并集及集合的关系判断选项即可.
【详解】P=x∣y=x+1,P=−1,+∞,Q=0,+∞,P∪Q≠R,A选项错误；
Q⊆P，B选项正确；D选项错误；
P∩Q=x∣x≥0≠∅，C选项错误；
故选：B.
2．D
【分析】由错位相减法化简复数Z后再由复数的运算和复数的几何意义求出结果即可.
【详解】因为Z=i+2i2+3i3+⋅⋅⋅+2024i2024，
Z⋅i=i2+2i3+3i4+⋅⋅⋅+2024i2025，
所以Z⋅1−i=i+i2+i3+⋅⋅⋅+i2024−2024i2025=i1−i20241−i−2024i2025，①
因为i4=1，所以i2024=i4×506=1，i2025=i4×506+1=i，
所以化简①可得−2024i1−i=−2024i×1+i1−i1+i=−2024i+20242=1012−1012i，
所以虚部为−1012，
故选：D.
3．C
【分析】由二项式展开式性质可计算出ab=2，结合基本不等式即可得.
【详解】由ax−bx6，有Tk+1=C6kax6−k−bxk=C6ka6−k−bkx6−2k，
令6−2k=0，即k=3，故T4=C63a6−3−b3=−20a3b3=−160，
即a3b3=8，即ab=2，则a2+b2+2ab=a2+b2+22≥2a2b22+1=3，
当且仅当a=b=2或a=b=−2时，等号成立，
故a2+b2+2ab的最小值为3.
故选：C.
4．D
【分析】根据累加法求得an，利用裂项求和法求得正确答案.
【详解】a1=1,a2=3,a3=6，a2−a1=2,a3−a2=3，
由于an+1−an为等差数列，所以an+1−an=2+n−1×1=n+1，
所以an=a1+a2−a1+a3−a2+⋯+an−an−1
=1+2+3+…+n=1+n2n，a1也符合，
所以an=nn+12,1an=2nn+1=21n−1n+1，
所以数列1an的前100项和为21−12+12−13+⋯+1100−1101=21−1101=200101.
故选：D
5．C
【分析】利用两角和正弦公式和同角关系化简条件求sinαcsβ，csαsinβ，再结合两角差正弦公式求结论.
【详解】因为sinα+β=m，
所以sinαcsβ+csαsinβ=m，
因为tanα=3tanβ，
所以sinαcsα=3sinβcsβ，
故sinαcsβ=3sinβcsα，α≠kπ+π2，β≠kπ+π2，k∈Z，
所以sinαcsβ=3m4，csαsinβ=m4，
所以sinα−β=sinαcsβ−csαsinβ=m2.
故选：C.
6．C
【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】函数f(x)=lg2|x|−x−2的定义域为x|x≠0，
且f−x=lg2|−x|−−x−2=lg2|x|−x−2=fx，所以f(x)=lg2|x|−x−2为偶函数，
当x>0时fx=lg2x−x−2，因为y=lg2x与y=−x−2在0,+∞上单调递增，
所以fx=lg2x−x−2在0,+∞上单调递增，
则fx在−∞,0上单调递减，不等式f(x−2)≥f(2x+2)，
即fx−2≥f2x+2，等价于x−2≥2x+2x−2≠02x+2≠0，解得−4≤x