2023-2024学年山东省东营市垦利区八年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省东营市垦利区八年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列4个图形中，是中心对称图形但不是轴对称的图形是( )
A. B. C. D.
2.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A. x2−2x−1=(x−1)2B. (a+b)(a−b)=a2−b2
C. x2−2x+1=(x−1)2D. x2+1=(x+1)2
3.计算8xx−y⋅x−y8y的结果是( )
A. yxB. −xyC. xyD. −yx
4.如果分式xy2x−3y中的x，y都扩大为原来的2倍，那么分式的值( )
A. 扩大为原来的2倍B. 扩大为原来的4倍C. 不变D. 不能确定
5.在平面直角坐标系中，若点P(m,m−n)与点Q(2,1)关于原点对称，则点M(m,n)在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
6.小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km，线路二全程90km，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的1.8倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则下面所列方程正确的是( )
A. 75x=901.8x+12B. 75x=901.8x−12C. 751.8x=90x+12D. 751.8x=90x−12
7.如图，四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CB上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是( )
A. 线段EF的长逐渐增大B. 线段EF的长逐渐减小
C. 线段EF的长不变D. 线段EF的长与点P的位置有关
8.如图，E是平行四边形ABCD的边AD的延长线上一点，连接BE交CD于点F，连接CE，BD.添加以下条件，仍不能判定四边形BCED为平行四边形的是( )
A. ∠ABD=∠DCE
B. ∠AEC=∠CBD
C. EF=BF
D. ∠AEB=∠BCD
9.如图，点A的坐标为(0,3)，点C的坐标为(1,0)，B的坐标为(1,4)，将△ABC沿y轴向下平移，使点A平移至坐标原点O，再将△ABC绕点O逆时针旋转90°，此时B的对应点为B′，点C的对应点为C′，则点C′的坐标为( )
A. (4,1)
B. (1,4)
C. (3,1)
D. (1,3)
10.如图，在平行四边形ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE，BF相交于H，BF与AD的延长线相交于点G，下面给出四个结论：①BD= 2BE；②∠A=∠BHE；③AB=BH；④△BCF≌△DCE，其中正确的结论有( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
二、填空题：本题共8小题，共28分。
11.分解因式：27x2−3= ______．
12.要使分式2x−5有意义，则x的取值应满足的条件是______．
13.某校艺术节的歌唱比赛最终得分由歌唱水平、舞台表现、专业知识三部分组成.小红这三项得分依次为90分、80分和90分，若把歌唱水平、舞台表现、专业知识的成绩按6：3：1计算总分，则小红在这次比赛的总分为______分.
14.如图，将△ABE向右平移2cm得到△DCF，如果△ABE的周长是16cm，那么四边形ABFD的周长是 cm．
15.如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A逆时针旋转到△ADE的位置，使CD/​/AB，则旋转角为______度.
16.a2−3a+1=0，则a2+1a2的值为______．
17.如图，在平行四边形▱ABCD中，AB=3，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点E，若点E恰好在边AD上，则BE2+CE2的值为______．
18.如图，D是等边三角形ABC的边AC上一点，四边形CDEF是平行四边形，点F在BC的延长线上，G为BE的中点.连接DG，若AB=10，AD=DE=4，则DG的长为______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
19.某美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了若干本资料，第二次用200元在同一家商店买同样的资料，这次商家每本优惠4元，结果这次的本数正好是上次的两倍．求第一次买了多少本资料？
四、解答题：本题共6小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
(1)解方程：2xx−3=1+6x−3；
(2)先化简，再求值：(x2−9x2−2x+1÷x−3x−1−1x−1)⋅1x+2，其中x=−1．
21.(本小题8分)
如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的顶点均在格点上．
(1)画出将△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1．
(2)将△DEF绕点E顺时针旋转90°得到△D1EF1，画出△D1EF1．
(3)若△DEF由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为______．
22.(本小题8分)
甲、乙两名运动员在相同条件下6次射击成绩的折线统计图如下：
(1)填表(单位：环)
(2)计算甲、乙射击成绩的方差，并判断哪位运动员的射击成绩更稳定？
23.(本小题8分)
如图所示，▱ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．求证：四边形ENFM是平行四边形．
24.(本小题11分)
先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：(x+y)2+2(x+y)+1．
解：将“x+y”看成整体，设x+y=m，则原式=m2+2m+1=(m+1)2．
再将x+y=m代入，得原式=(x+y+1)2．
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法．
请你完成下列各题：
(1)因式分解：1−2(x−y)+(x−y)2；
(2)因式分解：(y2−6y)(y2−6y+18)+81．
25.(本小题11分)
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A，B的对应点分别是点D，E．
(1)如图①，当点E恰好在AC边上时，连接AD，求∠ADE的度数；
(2)如图②，当α=60°时，若点F为AC边上的动点，当∠FBC为何值时，四边形BFDE为平行四边形？请说出你的结论并加以证明．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称的图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，也是轴对称的图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形但不是轴对称的图形，故本选项正确；
D、不是中心对称图形，是轴对称的图形，故本选项错误．
故选：C．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2.【答案】C
【解析】解：A.x2−2x−1≠(x−1)2，故本选项不符合题意；
B.(a+b)(a−b)=a2−b2，从等式的左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C.x2−2x+1=(x−1)2，由左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D.x2+1≠(x+1)2，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据因式分解的意义逐个判断即可．
本题考查了因式分解的意义和如何因式分解，能熟记因式分解的定义和灵活运用因式分解的方法分解因式是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，因式分解的方法有提公因式法，公式法(平方差公式和完全平方公式)，十字相乘法等．
3.【答案】C
【解析】解：8xx−y⋅x−y8y=xy．
故选：C．
根据分式的乘法法则进行计算即可．
本题考查了分式的乘法法则，能正确运用分式的乘法法则进行计算是解此题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：2x⋅2y4x−6y=4xy2(2x−3y)=2xy2x−3y，
则分式的值扩大为原来的2倍．
故选：A．
根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行化简即可．
本题考查了分式的基本性质，能灵活运用分式的基本性质进行变形是解此题的关键，注意：分式的分子和分母都乘以同一个数(或除以同一个不等于0的数)，分式的值不变．
5.【答案】C
【解析】解：∵点P(m,m−n)与点Q(2,1)关于原点对称，
∴m=−2m−n=−1，
解得m=−2n=−1，
∴点M(m,n)即(−2,−1)在第三象限．
故选：C．
直接利用关于原点对称点的性质得出m，n的值，再利用各象限内点的坐标特点得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质以及点的坐标特点，正确得出m，n的值是解题关键．
6.【答案】A
【解析】解：设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则在线路二上行驶的平均速度为1.8xkm/h，
由题意得：75x=901.8x+12，
故选：A．
设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则在线路二上行驶的平均速度为1.8xkm/h，根据线路二的用时预计比线路一用时少半小时，列方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是，读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
7.【答案】C
【解析】
解：如图，连接AR，
∵E、F分别是AP、RP的中点，
∴EF是△APR的中位线，
∴EF=12AR，
∵点R不动，
∴AR大小不变，
∴线段EF的长不变，
故选：C．
连接AR，根据三角形中位线定理得到EF=12AR，得出结论．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】【分析】
根据平行四边形的性质得到AD//BC，AB/​/CD，求得DE/​/BC，∠ABD=∠CDB，推出BD/​/CE，于是得到四边形BCED为平行四边形，故A正确；根据平行线的性质得到∠DEC+∠BCE=∠EDB+∠DBC=180°，推出∠BDE=∠BCE，于是得到四边形BCED为平行四边形，故B正确．根据平行线的性质得到∠DEF=∠CBF，根据全等三角形的性质得到DF=CF，于是得到四边形BCED为平行四边形，故C正确；根据平行线的性质得到∠AEB=∠CBF，求得∠CBF=∠BCD，求得CF=BF，同理，EF=DF，不能判定四边形BCED为平行四边形；故D错误．
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
【解答】
解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB/​/CD，
∴DE/​/BC，∠ABD=∠CDB，
∵∠ABD=∠DCE，
∴∠DCE=∠CDB，
∴BD/​/CE，
∴四边形BCED为平行四边形，故A不符合题意；
B、∵AE//BC，
∴∠DEC+∠BCE=∠EDB+∠DBC=180°，
∵∠AEC=∠CBD，
∴∠BDE=∠BCE，
∴四边形BCED为平行四边形，故B不符合题意，
C、∵DE/​/BC，
∴∠DEF=∠CBF，
在△DEF与△CBF中，
∠DEF=∠CBFEF=BF∠DFE=∠CFB,
∴△DEF≌△CBF(ASA)，
∴DF=CF，
∵EF=BF，
∴四边形BCED为平行四边形，故C不符合题意；
D、∵AE//BC，
∴∠AEB=∠CBF，
∵∠AEB=∠BCD，
∴∠CBF=∠BCD，
∴CF=BF，
同理，EF=DF，
∴不能判定四边形BCED为平行四边形；故D符合题意；
故选：D．
9.【答案】C
【解析】解：∵点A平移至坐标原点O，点A的坐标为(0,3)，
∴向下平移三个单位长度，
∴C平移后的坐标为(1,−3)，
∵平移后再将△ABC绕点O逆时针旋转90°，
∴点C′的坐标为(3,1)．
故选：C．
首先根据点A的平移规律得到C的平移后坐标，再根据旋转规律得到C′的坐标．
此题主要考查了坐标与图形的变化中的旋转与平移，正确使用坐标与图形变化的规律是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵∠DBC=45°，DE⊥BC，
∴∠DBE=∠BDE=45°，
∴BE=DE，
∴BD= 2BE，故①正确；
∵DE⊥BC，BF⊥CD，
∴∠BEH=∠DEC=90°，
∴∠BHE+∠HBE=90°=∠HBE+∠C，
∴∠C=∠BHE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C=∠BHE，故②正确；
∵∠C+∠CDE=90°，
∴∠CDE=∠HBE，
在△BHE和△DCE中，
∠HBE=∠EDCBE=DE∠BEH=∠DEC=90°，
∴△BHE≌△DCE(ASA)，
∴BH=CD=AB，故③正确，
在△BCF和△DCE中，只有三个角相等，没有边相等，
∴△BCF与△DCE不全等，故④错误．
故选：B．
①由等腰直角三角形的性质可求BD= 2BE；
②由余角的性质和平行四边形的性质可求∠A=∠C=∠BHE；
③由“ASA”可证△BHE≌△DCE，可得BH=CD；
④在△BCF和△DCE中，只有三个角相等，没有边相等，则△BCF与△DCE不全等．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
11.【答案】3(3x+1)(3x−1)
【解析】解：原式=3(9x2−1)
=3(3x+1)(3x−1)，
故答案为：3(3x+1)(3x−1)．
先提公因式3，再利用平方差公式进行因式分解即可．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
12.【答案】x≠5
【解析】解：由题意可得：x−5≠0，
解得：x≠5，
故答案为：x≠5．
根据分式有意义的条件列不等式求解．
本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件(分母不能为零)是解题关键．
13.【答案】87
【解析】解：90×6+80×3+90×16+3+1
=540+240+9010
=87010
=87(分)，
即小红在这次比赛的总分为87分，
故答案为：87．
根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以计算出小红在这次比赛的总分．
本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
14.【答案】20
【解析】【分析】
本题考查了平移的性质，属于中档题．
先根据平移的性质得到EF=AD=2cm，AE=DF，而AB+BE+AE=16cm，进行求解即可．
【解答】
解：∵△ABE沿BC方向平移2cm得到△DCF，
∴EF=AD=2cm，AE=DF，
∵△ABE的周长为16cm，
∴AB+BE+AE=16cm，
∴四边形ABFD的周长=AB+BE+EF+DF+AD=AB+BE+AE+EF+AD=16+2+2=20cm．
故答案为20．
15.【答案】50°
【解析】解：∵CD//AB，
∴∠ACD=∠CAB=65°
∵△ABC在平面内绕点A旋转到△AED的位置，
∴∠CAD等于旋转角，AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=65°，
∴∠CAD=180°−∠ACD−∠ADC=180°−2×65°=50°，
∴旋转角为50°．
故答案为：50°．
先根据平行线的性质得∠ACD=∠CAB=65°，再根据旋转的性质得∠CAD等于旋转角，AC=AD，则利用等腰三角形的性质得∠ACD=∠ADC=65°，然后根据三角形内角和定理可计算出∠CAD的度数，从而得到旋转角的度数．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
16.【答案】7
【解析】解：∵a2−3a+1=0，
∴a−3+1a=0，即a+1a=3，
则原式=(a+1a)2−2=9−2=7．
故答案为：7．
已知等式两边除以a求出a+1a的值，原式利用完全平方公式化简后代入计算即可求出值．
此题考查了分式的混合运算，以及完全平方公式，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．
17.【答案】36
【解析】解：∵BE、CE 分别平分∠ABC 和∠BCD
∴∠EBC=12∠ABC，∠ECB=12∠BCD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB=CD=2，BC=AD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∴∠BEC=90°，
∴BE2+CE2=BC2 ，
∵AD/​/BC，
∴∠EBC=∠AEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=∠ABE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AB=AE=3，
同理可证 DE=DC=3，
∴DE+AE=AD=6，
∴BE2+CE2=BC2=AD2=36．
故答案为：36．
根据平行四边形的性质和角平分线的定义可得AE=AB=DE=CD=3，∠BEC=90°，可得BC=AD=3+3=6，再根据勾股定理解答即可．
此题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，关键是根据平行四边形的性质和勾股定理解答．
18.【答案】3
【解析】解：延长ED交AB于M点，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ACB=60°，
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴ED//CF，
∴∠ADM=∠ACB=60°，
∴△ADM是等边三角形，
∴MD=AM=AD=DE=4，
∴MB=AB−AM=10−4=6，
又∵G为BE的中点，即DG是△BME的中位线，
∴DG=12MB=12×6=3，
故答案为：3．
延长ED交AB于M点，易得△ADM是等边三角形，从而可求BM=6，G为BE的中点，由中位线定理可得DG=12MB．
本题考查了等边三角形的性质及判定，三角形中位线定理以及平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点是关键．
19.【答案】解：设第一次买了x本资料，
根据题意，得：120x−2002x=4，
整理，得：4x=20．
解得：x=5，
经检验：x=5是原分式方程得解，
答：第一次买了5本资料．
【解析】设第一次买了x本资料，根据条件“商家每本优惠4元，结果这次的本数正好是上次的两倍”列分式方程求解可得．
本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程．
20.【答案】解：(1)2xx−3=1+6x−3
去分母，得2x=x−3+6，
移项，得2x−x=6−3，
合并同类项，得x=3，
检验，当x=3时，x−3=0，
∴x=3是原方程的增根，
∴原方程无解；
(2)(x2−9x2−2x+1÷x−3x−1−1x−1)⋅1x+2
=[(x+3)(x−3)(x−1)2⋅x−1x−3−1x−1]⋅1x+2
=(x+3x−1−1x−1)⋅1x+2
=x+3−1x−1⋅1x+2
=x+2x−1⋅1x+2
=1x−1，
当x=−1时，原式=1−1−1=−12．
【解析】(1)按照去分母，移项，合并同类项的步骤解方程，然后检验即可得到答案；
(2)先根据分式的混合运算法则化简，然后代值计算即可得到答案．
本题主要考查解分式方程，分式的化简求值，掌握解分式方程的一般方法，分式化简求值的方法是解题的关键．
21.【答案】(0,1)
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
；
(2)如图，△D1EF1即为所求；
(3)根据旋转的性质可得，旋转中心为AD和CF垂直平分线的交点，图中点P即为旋转中心，
∴P(0,1)，
故答案为：(0,1)．
(1)根据中心对称的性质即可画出△A1B1C1；
(2)根据旋转的性质即可画出△D1EF1；
(3)根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得点P的位置．
本题主要考查了作图−旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)①8 ② 8 .5 ③8
(2)甲射击环数的方差s甲2=16×[(6−8)2+(7−8)2+2×(8−8)2+(9−8)2+(10−8)2]=53，
乙射击环数的方差s乙2=16×[(6−8)2+(7−8)2+(8−8)2+3×(9−8)2]=43，
∵53>43，
∴乙运动员射击成绩更稳定．
【解析】解：(1)由折线统计图知，甲射击环数为6、7、8、8、9、10，
乙射击环数为6、7、8、9、9、9，
∴甲射击环数的平均数是：6+7+8+8+9+106=8(环)，众数8环，
乙射击环数的中位数8+92=8.5(环)．
故答案为：①8 ，② 8 .5，③8．
(2)见答案
(1)先根据折线统计图得出两运动员的涉及环数，再依据平均数、中位数、众数的定义求解即可；
(2)先根据方差的定义计算，再依据方差的意义求解即可．
本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了统计的有关概念．
23.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C．
又∵AE=CF，
∴△ADE≌△CBF(SAS)，
∴∠AED=∠CFB，DE=BF．
由四边形ABCD是平行四边形，
∴DC/​/AB，
∴∠CFB=∠ABF，
∴∠AED=∠ABF，
∴ME/​/FN，
又∵M、N分别是DE、BF的中点，且DE=BF，
∴ME=FN，
∴四边形ENFM是平行四边形．
【解析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．
首先根据平行四边形ABCD的性质证明△ADE≌△CBF得出∠AED=∠CFB，DE=BF，再由∠AED=∠ABF证明ME//FN，再结合中点的概念得出ME=FN，所以四边形MENF为平行四边形．
24.【答案】解：(1)设x−y=m，
则原式=1−2m+m2，
=(1−m)2，
把x−y=m代入得，
原式=[1−(x−y)]2，
=(1−x+y)2；
(2)设y2−6y=m，
则原式=m(m+18)+81，
=m2+18m+81，
=(m+9)2，
把y2−6y=m代入得，
原式=(y2−6y+9)2，
=[(y−3)2]2，
=(y−3)4．
【解析】(1)将x−y看成整体，令x−y=m代入原式即可求解；
(2)将y2−6y看成整体，令y2−6y=m代入原式即可求解．
本题考查了整体代入的思想，运用完全平方公式因式分解，整体代入是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，E点在AC上，
∴CA=CD，∠ECD=∠BCA=30°，
∴∠CAD=∠CDA=12(180°−30°)=75°，
又∵∠DEC=∠ABC=90°，
∴∠ADE=90°−75°=15°；
(2)∠FBC=30°时，四边形BFDE为平行四边形，
∵∠FBC=∠ACB=30°，
∴∠ABF=∠A=60°，
∴BF=CF=AF，
∴△ABF是等边三角形，
∴BF=AB，
∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，
∴DE=AB，△BCE是等边三角形，∠DEC=∠ABC=90°，
∴∠CBE=∠BEC=60°，DE=BF，
∴∠EBF=∠EBC−∠FBC=30°，∠BED=90°+60°=150°，
∴∠DEB+∠EBF=180°，
∴DE/​/BF，
又∵DE=BF，
∴四边形BFDE为平行四边形．
【解析】(1)由旋转知CA=CD，∠ECD=∠BCA=30°，从而求出∠CAD的度数，即可解决问题；
(2)由旋转知DE=AB，再证明△ABF，△BEC是等边三角形即可证明结论．
本题主要考查了旋转的性质，平行四边形的判定，等边三角形的判定与性质等知识，证明DE/​/BF是解题的关键．平均数
中位数
众数
甲的射击成绩
① ______
8
③ ______
乙的射击成绩
8
② ______
9