2024年江苏省镇江市中考数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年江苏省镇江市中考数学试卷（含详细答案解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.早在几年前“嫦娥五号”探测器就从月球带着1731克月球样品回到了地球.数据1731用科学记数法表示为( )
A. 1.731×104B. 17.31×103C. 1.731×103D. 17.31×102
2.下列运算中，结果正确的是( )
A. m3⋅m3=m6B. m3+m3=m6C. (m3)2=m5D. m6÷m2=m3
3.下列各项调查适合普查的是( )
A. 长江中现有鱼的种类B. 某班每位同学视力情况
C. 某市家庭年收支情况D. 某品牌灯泡使用寿命
4.如图，小杰从灯杆AB的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长CD=3米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是( )
A. 4.5米
B. 4米
C. 3.5米
D. 2.5米
5.甲、乙两车出发前油箱里都有40L油，油箱剩余油量y(单位：L)关于行驶路程x(单位：百公里)的函数图象分别如图所示，已知甲车每百公里平均耗油量比乙车每百公里平均耗油量少2L，则下列关系正确的是( )
A. 16m−20m=2B. 20m−16m=2C. m16−m20=2D. m20−m16=2
6.如图，在平面直角坐标系中，过点A(m,0)且垂直于x轴的直线l与反比例函数y=−4x的图象交于点B，将直线l绕点B逆时针旋转45∘，所得的直线经过第一、二、四象限，则m的取值范围是( )
A. m<−2或m>2
B. −2C. −22
D. m<−2或0二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分。
7.−100的绝对值等于__________.
8.要使分式1x−2有意义，则x的取值范围是__________.
9.一组数据：1、1、1、2、5、6，它们的众数为__________.
10.分解因式：x2+3x=__________.
11.等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为__________.
12.如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD.若AC=8，CD=5，则BD=__________.
13.点A(1,y1)、B(2,y2)在一次函数y=3x+1的图象上，则y1__________y2(用“<”、“=”或“>”填空).
14.小丽6次射击的成绩如图所示，则她的射击成绩的中位数为__________环.
15.如图，AB是⊙O的内接正n边形的一边，点C在⊙O上，∠ACB=18∘，则n=__________.
16.关于x的一元二次方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为__________.
17.如图，四边形ABCD为平行四边形，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交BC边于点E，连接AE，AB=1，∠D=60∘，则BE的长l=__________ (结果保留π).
18.对于二次函数y=x2−2ax+3(a是常数)，下列结论：①将这个函数的图象向下平移3个单位长度后得到的图象经过原点；②当a=−1时，这个函数的图象在函数y=−x图象的上方；③若a≥1，则当x>1时，函数值y随自变量x增大而增大；④这个函数的最小值不大于3.其中正确的是__________(填写序号).
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
(1)计算：(12)0−4cs30∘+ 12；
(2)化简：a+2a2÷(1+2a).
20.(本小题10分)
(1)解方程：3x=2x+1；
(2)解不等式组：3x−4≤2xx+52>3.
21.(本小题6分)
如图，∠C=∠D=90∘，∠CBA=∠DAB.
(1)求证：△ABC≌△BAD；
(2)若∠DAB=70∘，则∠CAB=______ ∘.
22.(本小题6分)
3张相同的卡片上分别写有中国二十四节气中的“小满”、“芒种”、“夏至”的字样，将卡片的背面朝上.
(1)洗匀后，从中任意抽取1张卡片，抽到写有“小满”的卡片的概率等于______；
(2)洗匀后，从中任意抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的概率.
23.(本小题6分)
有甲、乙两只不透明的袋子，每只袋子中装有红球和黄球若干，各袋中所装球的总个数相同，这些球除颜色外都相同.实践组用甲袋、创新组用乙袋各自做摸球试验：两人一组，一人从袋中任意摸出1个球，另一人记下颜色后将球放回并搅匀，各组连续做这样的试验，将记录的数据绘制成如下两种条形统计图：
(1)______图能更好地反映各组试验的总次数，______图能更好地反映各组试验摸到红球的频数(填“A”或“B”)；
(2)求实践组摸到黄球的频率；
(3)根据以上两种条形统计图，你还能获得哪些信息(写出一条即可)？
24.(本小题6分)
如图，将△ABC沿过点A的直线翻折并展开，点C的对应点C′落在边AB上，折痕为AD，点O在边AB上，⊙O经过点A、D.若∠ACB=90∘，判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由.
25.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数y=2x+m的图象与x轴、y轴交于A(−3,0)、B两点，与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于点C(1,n).(1)求m和k的值；
(2)已知四边形OBDE是正方形，连接BE，点P在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上.当△OBP的面积与△OBE的面积相等时，直接写出点P的坐标______.
26.(本小题8分)
图1、2是一个折叠梯的实物图.图3是折叠梯展开、折叠过程中的一个主视图.图4是折叠梯充分展开后的主视图，此时点E落在AC上，已知AB=AC，sin∠BAC≈45，点D、F、G、J在AB上，DE、FM、GH、JK均与BC所在直线平行，DE=FM=GH=JK=20cm，DF=FG=GJ=30cm.点N在AC上，AN、MN的长度固定不变.图5是折叠梯完全折叠时的主视图，此时AB、AC重合，点E、M、H、N、K、C在AB上的位置如图所示.
【分析问题】
(1)如图5，用图中的线段填空：AN=MN+EM+AD−______；
(2)如图4，sin∠MEN≈______，由AN=EN+AE=EN+AD，且AN的长度不变，可得MN与EN之间的数量关系为______；
【解决问题】
(3)求MN的长.
27.(本小题11分)
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y=−49(x−1)2+4的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，顶点为C.
(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)一个二次函数的图象经过B、C、M(t,4)三点，其中t≠1，该函数图象与x轴交于另一点D，点D在线段OB上(与点O、B不重合).
①若D点的坐标为(3,0)，则t=______；
②求t的取值范围；
③求OD⋅DB的最大值.
28.(本小题11分)
主题学习：仅用一把无刻度的直尺作图
【阅读理解】
任务：如图1，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE//BC，仅用一把无刻度的直尺作DE、BC的中点.
操作：如图2，连接BE、CD交于点P，连接AP交DE于点M，延长AP交BC于点N，则M、N分别为DE、BC的中点.
理由：由DE//BC可得△ADM∽△ABN及△AEM∽△ACN，所以DMBN=AMAN，EMCN=AMAN，所以DMEM=BNCN，同理，由△DMP∽△CNP及△EMP∽△BNP，可得DMCN=MPNP，EMBN=MPNP，所以DMEM=CNBN，所以BNCN=CNBN，则BN=CN，DM=EM，即M、N分别为DE、BC的中点.
【实践操作】
请仅用一把无刻度的直尺完成下列作图，要求：不写作法，保留作图痕迹.
(1)如图3，l1//l2，点E、F在直线l2上.
①作线段EF的中点；
②在①中作图的基础上，在直线l2上位于点F的右侧作一点P，使得PF=EF；
(2)小明发现，如果重复上面的过程，就可以作出长度是已知线段长度的3倍、4倍、…、k倍(k为正整数)的线段.如图4，l1//l2，已知点P1、P2在l1上，他利用上述方法作出了P2P3=P3P4=P1P2.点E、F在直线l2上，请在图4中作出线段EF的三等分点；
【探索发现】
请仅用一把无刻度的直尺完成作图，要求：不写作法，保留作图痕迹.
(3)如图5，DE是△ABC的中位线.请在线段EC上作出一点Q，使得QE=13CE(要求用两种方法).
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：1731=1.731×103，
故选：C.
科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，由此解答即可．
本题考查了科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法的表示是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：m3⋅m3=m6，故此选项符合题意；
B、m3+m3=2m3，故此选项不符合题意；
C、(m3)2=m6，故此选项不符合题意；
D、m6÷m2=m4，故此选项不符合题意；
故选：A.
根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、长江中现有鱼的种类，适合抽样调查，不符合题意；
B、某班每位同学视力情况，适合普查，符合题意；
C、某市家庭年收支情况，适合抽样调查，不符合题意；
D、某品牌灯泡使用寿命，适合抽样调查，不符合题意；
故选：B.
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．再根据问卷调查方法即可求解．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
4.【答案】D
【解析】解：设返回过程中小杰身高为FH，
由FH//AB//EC，
得GHGB=FHAB=ECAB=DCDB，
由GB得GH故选：D.
设返回过程中小杰身高为FH，由FH//AB//EC，得GH本题主要考查了相似三角形性质的应用，解题关键是正确列比例式．
5.【答案】B
【解析】解：由图象知：甲、乙两车行驶m百公里时，甲车耗油40−24=16(L)，乙车耗油40−20=20(L)，
由题意得：20m−16m=2.
故选：B.
由图象知甲、乙两车行驶m百公里时，甲车耗油16L，乙车耗油20L，由题意即可得到答案．
本题考查函数的图象，关键是由图象获取信息来解决问题．
6.【答案】C
【解析】解：当A在原点右侧时，B点坐标为(m,−4m)，
∵直线l绕点B逆时针旋转45∘，
∴所得的直线与直线y=−x平行，
设这条直线的解析式为：y=−x+b，
∵这条直线经过第一、二、四象限，
∴b>0，
∵B在直线y=−x+b上，
∴−m+b=−4m，
∴b=m−4m=m2−4m>0，
∵m>0，
∴m2−4>0，
∴m>2或m<−2(舍)；
当A在原点左侧时，
设这条直线的解析式为：y=−x+b′，
同理：b′=m2−4m>0，
∵m<0，
∴m2−4<0，
∴−2∵m<0，
∴−2m的取值范围是−22.
故选：C.
当A在原点右侧时，B点坐标为(m,−4m)，设旋转后的直线的解析式为：y=−x+b，得到b=m−4m=m2−4m>0，求出m>2；当A在原点左侧时，设旋转后的直线的解析式为：y=−x+b′，b′=m2−4m>0，求出−2本题考查反比例函数与一次函数的交点，关键是要分两种情况讨论．
7.【答案】100
【解析】解：|−100|=100，即−100的绝对值等于100，
故答案为：100.
负数的绝对值等于它的相反数，由此计算即可．
本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键．
8.【答案】x≠2
【解析】解：当分母x−2≠0，即x≠2时，分式1x−2有意义．
故答案为：x≠2.
分式有意义，则分母x−2≠0，由此易求x的取值范围．
本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：
(1)分式无意义⇔分母为零；
(2)分式有意义⇔分母不为零；
(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
9.【答案】1
【解析】解：数据：1、1、1、2、5、6的众数为1.
故答案为：1.
一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，据此即可得到答案．
本题考查众数，关键是掌握众数的定义．
10.【答案】x(x+3)
【解析】解：x2+3x=x(x+3).
观察原式，发现公因式为x；提出后，即可得出答案．
主要考查提公因式法分解因式，此题属于基础题．
11.【答案】6
【解析】解：当6为一腰长时，则另一腰长为6，底边长为2，
∵6+6>2，
∴能构成三角形，
∴第三边长为6；
当2为一腰长时，则另一腰长为2，底边长为6，
∵2+2<6，
∴不能构成三角形，舍去；
综上，第三边长为6，
故答案为：6.
分两种情况讨论：当6为一腰长时；当2为一腰长时；分别求出第三条边长，并根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，即可得出答案．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．
12.【答案】3
【解析】解：∵AC=8，CD=5，
∴AD=8−5=3，
∵D在AB的垂直平分线上，
∴BD=AD=3.
故答案为：3.
求出AD=8−5=3，由线段垂直平分线的性质推出BD=AD=3.
本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出BD=AD.
13.【答案】<
【解析】解：∵k=3>0，
∴y随x的增大而增大，
又∵点A(1,y1)、B(2,y2)在一次函数y=3x+1的图象上，且1<2，
∴y1故答案为：<.
由k=3>0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大，结合1<2，即可得出y1本题考查了一次函数的性质，牢记“当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小”是解题的关键．
14.【答案】7.5
【解析】解：射击成绩从小到大重新排列为：4，5，7，8，9，10，
∴中位数为(7+8)÷2=7.5.
故答案为：7.5.
根据中位数的定义即可得出答案．
本题考查的是折线统计图和中位数，熟练掌握中位数的定义和计算方法是关键．
15.【答案】10
【解析】解：∵∠ACB=180∘，
∴∠AOB=2∠ACB=2×18∘=36∘，
∴n=360∘÷36∘=10，
故答案为：10.
由圆周角定理得∠AOB=36∘，再根据正n边形的边数n=360∘÷中心角，即可得出结论．
本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，求出中心角的度数是解题的关键．
16.【答案】9
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根，
∴Δ=0，即62−4×1×m=0，
解得m=9.
故答案为：9.
根据一元二次方程根的判别式的意义，方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根，则有Δ=0，得到关于m的方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．
17.【答案】13π
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D=60∘，
由题意得：AB=AE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE=60∘，
∵AB=1，
∴l=60π×1180=13π.
故答案为：13π.
由平行四边形的性质推出∠B=∠D=60∘，判定△ABE是等边三角形，得到∠BAE=60∘，由弧长公式即可求出BE的长．
本题考查弧长的计算，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，关键是判定△ABE是等边三角形，得到∠BAE=60∘.
18.【答案】①②④
【解析】解：将二次函数y=x2−2ax+3(a是常数)的图象向下平移3个单位长度后得到y=x2−2ax，
当x=0时，y=0，
∴平移后的函数的图象经过原点，
故①正确；
当a=−1时，则y=x2+2x+3，
令x2+2x+3=−x，即x2+3x+3=0，
∵Δ=32−4×1×3=−3<0，
∴抛物线y=x2+2x+3与直线y=−x没有交点，
∵抛物线开口向上，
∴当a=−1时，这个函数的图象在函数y=−x图象的上方；
故②正确；
∵二次函数y=x2−2ax+3(a是常数)，
∴开口向上，对称轴为直线x=a，
∴当x>a时，函数值y随自变量x增大而增大，
故③错误；
∵y=x2−2ax+3=(x−a)2+3−a2，
∴顶点为(a,3−a2)，
∵3−a2≤3，
故④正确．
故答案为：①②④．
根据平移的规律顶点平移后的函数解析式即可判断①；确定抛物线y=x2+2x+3与直线y=−x没有交点，且开口向上即可判断②；利用函数的性质即可判断③；求得顶点坐标即可判断④．
本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，一次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质，数形结合是解题的关键．
19.【答案】解：(1)(12)0−4cs30∘+ 12
=1−4× 32+2 3
=1−2 3+2 3
=1；
(2)a+2a2÷(1+2a)
=a+2a2÷a+2a
=a+2a2⋅aa+2
=1a.
【解析】(1)根据零指数幂、特殊角的三角函数值、算术平方根的运算法则分别计算即可；
(2)根据分式的混合运算法则计算即可．
本题考查了分式的混合运算、零指数幂、特殊角的三角函数值、算术平方根，熟练掌握运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：(1)3x=2x+1，
方程两边同乘x(x+1)，得3(x+1)=2x，
解得x=−3，
检验：当x=−3时，x(x+1)≠0，
所以原分式方程的解是x=−3；
(2){3x−4⩽2x①x+52>3②，
解不等式①，得x≤4，
解不等式②，得x>1，
所以不等式组的解集是1【解析】(1)方程两边同乘x(x+1)，将分式方程化为整式方程求解即可；
(2)分别解不等式①、②，然后找出其公共部分即可．
本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握它们的解法是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：在△ABC和△BAD中，
∠C=∠D=90∘∠CBA=DABAB=BA，
∴△ABC≌△BAD(AAS)；
(2)20.
【解析】(1)见答案；
(2)解：∵∠DAB=70∘，∠D=90∘，
∴∠DBA=90∘−70∘=20∘，
由(1)知△ABC≌△BAD，
∴∠CAB=∠DBA=20∘，
故答案为：20.
(1)利用AAS即可证得△ABC≌△BAD；
(2)先根据三角形内角和定理求出∠DBA的度数，再根据全等三角形的性质即可得出∠CAB的度数．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
22.【答案】解：(1)13;
(2)把写有中国二十四节气中的“小满”、“芒种”、“夏至”3张卡片分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的结果有2种，
∴抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的概率为26=13.
【解析】解：(1)∵3张相同的卡片上分别写有中国二十四节气中的“小满”、“芒种”、“夏至”的字样，
∴洗匀后，从中任意抽取1张卡片，抽到写有“小满”的卡片的概率=13，
故答案为：13；
(2)见答案．
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有6种等可能的结果，其中抽到一张写有“芒种”，一张写有“夏至”的卡片的结果有2种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23.【答案】解：(1)B，A；
(2)实践组摸到黄球的频率=(500−372)÷500=0.256；
(3)实践组摸到黄球的频率小于创新组摸到黄球的频率(答案不唯一).
【解析】解：(1)B图能更好地反映各组试验的总次数，A图能更好地反映各组试验摸到红球的频数；
故答案为：B，A.
(2)见答案；
(3)见答案．
(1)直接判断得B图能更好地反映各组试验的总次数，A图能更好地反映各组试验摸到红球的频数；
(2)用频率公式可得(500−372)÷500=0.256；
(3)实践组摸到黄球的频率小于创新组摸到黄球的频率(答案不唯一).
本题主要考查了频率分布直方图，解题关键是正确判断．
24.【答案】解：BC与⊙O相切，理由如下：
如图，连接OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
由折叠的性质得：∠CAD=∠OAD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴AC//OD，
∴∠ODB=∠ACB=90∘，
∴OD⊥BC，
∵OD是⊙O的半径，
∴BC与⊙O相切．
【解析】连接OD，由等腰三角形的性质得∠OAD=∠ODA，再由折叠的性质得∠CAD=∠OAD，进而证明AC//OD，则∠ODB=∠ACB=90∘，因此OD⊥BC，然后由切线的判定即可得出结论．
本题考查直线与圆的位置关系、等腰三角形的性质、折叠的性质以及平行线的判定与性质等知识，熟练掌握切线的判定和折叠的性质是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵一次函数y=2x+m的图象过A(−3,0)，
∴2×(−3)+m=0，
∴m=6，
∵C(1,n)在函数y=2x+6的图象上，
∴n=2×1+6=8，
∴C(1,8)，
∵C(1,8)在函数y=kx图象上，
∴k=8；
(2)(6,43)或(−6,−43)
【解析】解：(1)见答案；
(2)当x=0时，y=2x+6=6，
∴OB=6，
∵四边形OEDB是正方形，
∴OE=OB=6，
当P在反比例函数y=kx(k≠0)的图象右半支上，
设P的坐标是(a,8a)，
∵△OBP的面积与△OBE的面积相等，
∴12OB⋅a=12OB2，
∴a=OB=6，
∴8a=43，
∴P的坐标是(6,43)，
当P在反比例函数y=kx(k≠0)的图象左半支上，
设P的坐标是(b,8b)，
∵△OBP的面积与△OBE的面积相等，
∴12OB⋅(−b)=12OB2，
∴b=−OB=−6，
∴8b=−43，
∴P的坐标是(−6,−43)，
综上P的坐标为(6,43)或(−6,−43).
(1)把A的坐标代入y=2x+m，即可求出m=6，把C(1,n)代入y=2x+6，求出n=8，把C(1,8)代入y=kx，求出k=8；
(2)分两种情况，由三角形面积公式，即可求解．
本题考查一次函数和反比例函数的交点，三角形的面积，关键是用待定系数法求m和k的值；分两种情况求P的坐标．
26.【答案】解：(1)DE；
(2)45；MN+10=EN；
(3)如图，
作MW⊥AC于W，
∴∠MWN=∠MWE=90∘，
∴MW2+WN2=MN2，MW=EM⋅sin∠MEN≈30×45=24cm，
∴EW= EM2−MW2= 302−242=18cm，
设MN=a，则EN=a+10，WN=EN−EW=a+10−18=a−8，
∴242+(a−8)2=a2，
∴a=40，
∴MN=40cm.
【解析】解：(1)∵点A和点E重合，
∴EM=AM，AD=DE，
∴AN=MN+AM=MN+EM+AE=MN+EM+AD−ED=MN+EM+AD−DE，
故答案为：DE；
(2)∵DE、FM、GH、JK均与BC所在直线平行，
∴DE//FM，
∵DE=FM=20cm，
∴四边形DEMF是平行四边形，
∴EM//DF，
∴∠MEN=∠BAC，
∴sin∠MEN=sin∠BAC≈45，
∵AN=MN+EM+AD−DE，AN=EN+AD，
∴MN+EM+AD−DE=EN+AD，
∴MN+EM−DE=EN，
∵EM=DF=30，
∴MN+30−20=EN，
∴MN+10=EN，
故答案为：45，MN+10=EN；
(3)见答案.
(1)由题意得EM=AM，AD=DE，进一步得出结果；
(2)可推出四边形DEMF是平行四边形，从而EM//DF，从而∠MEN=∠BAC，进而得出sin∠MEN=sin∠BAC≈45，根据AN=MN+EM+AD−DE，AN=EN+AD得出MN+EM+AD−DE=EN+AD，进一步得出结果；
(3)作MW⊥AC于W，解直角三角形EMN求得MW和EW，进而表示出WN，在直角三角形MNW中根据勾股定理列出方程，进而得出结果．
本题考查了解直角三角形的应用，平行四边形的判定和性质等知识，解决问题的关键是理解题意，熟练应用有关基础知识．
27.【答案】解：(1)∵二次函数y=−49(x−1)2+4的图象的顶点为C，
∴C(1,4)；
令y=−49(x−1)2+4=0，解得x=−2或x=4，
∴A(−2,0)，B(4,0)；
(2)①6；
②设二次函数的解析式为：y=ax2+bx+c，
将M(t,4)C(1,4)两点代入，得at2+bt+c=4a+b+c=4，
∴a(t2−1)+b(t−1)=0，
∵t≠1，
∴−b2a=t+12，
∴二次函数图象的对称轴与x轴的交点坐标为(t+12,0)，
∵B，D两点关于对称轴对称，点B(4,0)，
∴D(t−3,0)，
∵点D在线段OB上，且与端点不重合，
∴t−3>0t−3<4，即3∵t=4时，过点B，C，M三点的二次函数不存在，
∴3③∵OD=t−3，DB=7−t，
∴OD⋅DB=(t−3)⋅(7−t).
∴OD⋅DB=−t2+10t−21=−(t−5)2+4，
∵3∴t=5时，OD⋅DB有最大值，最大值为4.
【解析】解：(1)见答案；
(2)①由题知，该函数过点B(4,0)，C(1,4)，D(3,0)，
∴函数的解析式为：y′=a(x−4)(x−3)，
∴函数的对称轴为直线x=72，
∵C(1,4)，M(t,4)，
∴点C，M关于对称轴对称，
∴1+t2=72，
∴t=6，
故答案为：6；
②见答案；
③见答案．
(1)根据顶点式可直接得出点C的坐标；令y=0，解方程，可得出点A，B的坐标；
(2)①根据函数的对称性，可得出对称轴为直线x=72，再根据点C，M的坐标可得出C，M关于对称轴对称，由此可得出t的值；
②由对称轴的性质可知，二次函数图象的对称轴与x轴的交点坐标为(t+12,0)，再由对称性可知，D(t−3,0)，由点D在线段OB上，且与端点不重合，可得t−3>0t−3<4，即3③OD⋅DB=(t−3)⋅(7−t)=−t2+10t−21=−(t−5)2+4，根据二次函数的性质可得结论．
本题主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，二次函数的最值问题等相关知识，熟练掌握相关知识是解题基础．
28.【答案】解：【实践操作】
(1)①如图，
点M即为所求作的点；
②如图，
点P即为所求作的点；
(2)如图，
作法一、
作法二、
点N，M即为所求作的点；
【探索发现】(3)如图，
作法一、
作法二、
点Q即为所求的点．
(答案不唯一)
【解析】【实践操作】
(1)①见答案；
②见答案；
(2)见答案；
【探索发现】(3)如图，
作法一、
作法二、
作法三、
作法四、
作法五、
点Q即为所求的点．
【实践操作】(1)①根据【阅读理解】部分的作法：在l1上任取一点A，得到△AEF，AE与交l1于点B，AF交l1于点C，连接CE，BF交于点O，作射线AO交l1，l2分别于N，M，点M即为所求点；
②作射线FN交AE于点G，作射线GC交l2于点P，点P即为所求；
(2)根据上述作法，有两种作法；
【探索发现】(3)如作法一，根据相似可知，连接CD，BE交于点O，则DO：OC=1：2，即点O是CD的三等分点之一，由此可以得出过点O作BC的平行线；同理可得点M是CP的三等分点之一，则OM//BC，即点Q为所求作点．
本题主要相似三角形的性质与判定，复杂的几何作图，考查类比的数学思想，理解【阅读理解】部分中M，N为中点是解题关键．