第15讲 函数模型的应用(考点串讲课件)-2025年高考数学大一轮复习核心题型+易错重难点专项突破（新高考版）

这是一份第15讲 函数模型的应用(考点串讲课件)-2025年高考数学大一轮复习核心题型+易错重难点专项突破（新高考版），共38页。PPT课件主要包含了易混易错练，常用结论，知识梳理，考点分类练，最新模拟练，数学建模的过程，给出下列四个结论等内容，欢迎下载使用。
1.常见的函数模型(1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0);(2)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0);(3)反比例函数模型:f(x)= (k为常数,k≠0);(4)指数型函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1);(5)对数型函数模型:f(x)=mlgax+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,a≠1);(6)幂型函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0);
2.指数、对数、幂函数模型的性质比较
易错点　忽略画函数图象的准确程度而致错
命题点1　利用函数图象刻画实际变化过程
判断函数图象与实际变化过程是否吻合的方法(1)构建函数模型法：若易构建函数模型，则先建立函数模型，再结合模型选择函数 图象.(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势， 验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.
①在[ t 1， t 2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强
②在 t 2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强
③在 t 3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标
④甲企业在[0， t 1]，[ t 1， t 2]，[ t 2， t 3]这三段时间中，在[0， t 1]的污水治 理能力最强.
其中所有正确结论的序号是 ⁠
[解析]　由题图可知甲企业的污水排放量在 t 1时刻高于乙企业，而在 t 2时刻甲、乙 两企业的污水排放量相同，故在[ t 1， t 2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙 企业强，故①正确；甲企业污水排放量与时间的关系图象在 t 2时刻切线的斜率的绝 对值大于乙企业，故②正确；在 t 3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达 标排放量，故都已达标，③正确；甲企业在[0， t 1]，[ t 1， t 2]，[ t 2， t 3]这三段时间中，在[ t 1， t 2]这段时间的污水治理能力最强，故④错误.
命题点2　已知函数模型求解实际问题
已知函数模型求解实际问题的步骤(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数；(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数；(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.
（多选）已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为 p 1， p 2， p 3，则(　 D　)
命题点3　构造函数模型求解实际问题
构建函数模型解决实际问题的步骤(1)建模：抽象出实际问题的数学模型；(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上 的解；(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，返回到原来的 实际问题中去，得到实际问题的解.
例3 (1)[2024四川省叙永一中模拟]净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯 净水的标准，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的 PP 棉滤芯(聚丙烯熔喷滤芯)构 成，其结构是多层式的，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假 设每一层 PP 棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，若过滤前水中大颗粒杂质 含量为80 mg/L，现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2 mg/L，则 PP 棉滤芯 的层数最少为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　A　)
2.[2024江苏省南京市第九中学模拟]天宫空间站的轨道高度为400～450千米，倾角 为42～43度，设计寿命为10年，长期驻留3人，总质量可达180吨，以进行较大规模 的空间应用.某项实验在空间站进行，实验开始时，某物质的含量为1.2 mg/cm3，每 经过1小时，该物质的含量就会减少20％，若该物质的含量不超过0.2 mg/cm3，则实 验进入第二阶段，那么实验进入第二阶段至少需要(需要的小时数取整数，参考数 据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　B　)
3.[2023南昌市模拟]某市出台两套出租车计价方案，方案一：2千米及2千米以内收 费8元(起步价)，超过2千米的部分每千米收费3元，不足1千米按1千米计算；方案 二：3千米及3千米以内收费12元(起步价)，超过3千米不超过10千米的部分每千米收 费2.5元，超过10千米的部分每千米收费3.5元，不足1千米按1千米计算.以下说法正 确的是(　C　)
6.[2024江苏常州模拟]牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：θ＝(θ1－θ0)e－ kt ＋θ0，其中 t 为时间(单位：min)，θ0为环境温度，θ1为物体初始温度，θ为冷却后温 度.假设在室内温度为20°C的情况下，一杯饮料由100 ℃降低到60 ℃需要20 min，则 此饮料从60 ℃降低到25 ℃需要 ⁠min .
(1)当投入 A ， B 两个项目的资金相同且 B 项目比 A 项目一年创造的利润高时，求投 入 A 项目的资金 x (单位：万元)的取值范围.
综上，投入 A 项目的资金 x (单位：万元)的取值范围为(10，40)
(2)若该公司共有资金30万，全部用于投资 A ， B 两个项目，则该公司一年分别投入 A ， B 两个项目多少万元时，创造的总利润最大？
8.[2024河北省衡水市第十三中学模拟]为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的 主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，并决定近 期投放市场.根据市场调研情况，预计每枚纪念章的市场价 y (单位：元)与上市时间 x (单位：天)的数据如下表
(2)记你所选取的函数 y ＝ f ( x )，若对任意 x ∈[ k ，＋∞)( k ＞0)，不等式 kf ( x )－32 k －210≥0恒成立，求实数 k 的取值范围.