第19讲 利用导数研究恒（能）成立问题(考点串讲课件)-2025年高考数学大一轮复习核心题型+易错重难点专项突破（新高考版）

这是一份第19讲 利用导数研究恒（能）成立问题(考点串讲课件)-2025年高考数学大一轮复习核心题型+易错重难点专项突破（新高考版），共24页。PPT课件主要包含了易混易错练，常用结论，知识梳理，考点分类练，最新模拟练等内容，欢迎下载使用。
命题点1　分离参数求参数范围
方法技巧步骤：(1)利用不等式的性质，将参数分离出来，转化为 f ( x )＞ a 或 f ( x )＜ a 的形式；(2)通过研究函数的性质求出 f ( x )的最值；(3)得出参数 a 的取值范围.
技巧：(1) f ( x )＞ a 恒成立⇔ f ( x )min＞ a ；
f ( x )＜ a 恒成立⇔ f ( x )max＜ a .
(2) f ( x )＞ a 有解⇔ f ( x )max＞ a ；
f ( x )＜ a 有解⇔ f ( x )min＜ a .
所以 f ( x )的极小值为 f (2)＝1＋ln 2，无极大值.
(2)若对于任意的 x ∈[1，e2]， f ( x )≤0恒成立，求实数 a 的取值范围.
命题点2　等价转化求参数范围
方法技巧对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看成常数，通过分析，变形，合理构造函数(常用的有作差构造，同构化构造等)，转化成求函数的最值问题.
(2)若 f ( x )＜ sin 2 x ，求 a 的取值范围.
命题点3　双变量的恒(能)成立问题
方法技巧解决双变量“存在性或任意性”问题的关键就是将含有全称量词或存在量词的条件“等价转化”为两个函数最值之间的关系(或两个函数值域之间的关系).
例3 [2024广东七校联考]设 a 为实数，函数 f ( x )＝ x 3－3 x 2＋ a ， g ( x )＝ x ln x .
(1)求 f ( x )的极值
[解析]　(1)函数 f ( x )＝ x 3－3 x 2＋ a 的定义域为R， f '( x )＝3 x 2－6 x ＝3 x ( x －2)，令 f '( x )＝0，可得 x ＝0或 x ＝2，当 x 变化时， f '( x )， f ( x )的变化情况如下表：
故函数 f ( x )的极大值为 f (0)＝ a ，极小值为 f (2)＝ a －4.
2.[2024贵阳市模拟节选]已知函数 f ( x )＝ x 3＋( a －2) x ＋ a ， a ∈R. 若 f ( x )－ x 3＋ x 2ln x ≥0，求 a 的取值范围.
①当 a ≤0时，g'( x )＞0， g ( x )单调递增， x →0时， g ( x )→－∞，不合题意；
解法二　令 g ( x )＝ f ( x )－ x 3＋ x 2ln x ＝ a ( x ＋1)－2 x ＋ x 2ln x ，
令φ( x )＝ x －1＋ x ln x ，
则φ'( x )＝ln x ＋2
当 x ∈(0，e－2)时，φ'( x )＜0，φ( x )单调递减，
当 x ∈(e－2，＋∞)时，φ'( x )＞0，φ( x )单调递增，
∴φ( x )min＝φ(e－2)＝－1－e－2.
又φ(1)＝0，当 x →0时，φ( x )→－1，当 x →＋∞时，φ( x )→＋∞，
∴φ( x )的大致图象如图所示.
当 x ∈(0，1)时，h'( x )＞0， h ( x )单调递增，
当 x ∈(1，＋∞)时，h'( x )＜0， h ( x )单调递减，
∴ h ( x )max＝ h (1)＝1，∴ a ≥1.
3. [2023湖南长沙一中5月三模]已知函数 f ( x )＝ x sin x ＋ cs x .(1)当 x ∈(0，π)时，求函数 f ( x )的单调区间；
①当 a ≤0时，函数 g ( x )在区间[0，1]上的最大值为 g (0)＝0，不合题意.
4. [2023河南信阳三模]已知函数 f ( x )＝ln( x ＋1)＋ sin x ＋ cs x .(1)当 x ∈[0，π]时，求证： f ( x )＞0.
(2)若 f ( x )≤ ax ＋1恒成立，求 a 的值.