专题13.3 三角形全等的判定（探索篇）【八大题型】-2024-2025学年八年级数学上册讲义（华东师大版）

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专题13.3 三角形全等的判定（探索篇）【八大题型】【华东师大版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc4515" 【题型1 添加条件使三角形全等】  PAGEREF _Toc4515 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc20754" 【题型2 确定全等三角形的对数】  PAGEREF _Toc20754 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc22480" 【题型3 网格中确定全等三角形】  PAGEREF _Toc22480 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc9960" 【题型4 灵活选用判定方法证明全等】  PAGEREF _Toc9960 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc14424" 【题型5 多次证全等求解或证明结论】  PAGEREF _Toc14424 \h 18 HYPERLINK \l "_Toc19920" 【题型6 由全等三角形的判定与性质确定线段之间的关系】  PAGEREF _Toc19920 \h 24 HYPERLINK \l "_Toc7750" 【题型7 全等三角形的动态问题】  PAGEREF _Toc7750 \h 31 HYPERLINK \l "_Toc28599" 【题型8 全等三角形的应用】  PAGEREF _Toc28599 \h 37知识点：全等三角形的判定判定两个三角形全等常用的思路方法如下：【题型1 添加条件使三角形全等】【例1】（23-24八年级·山东东营·期中）如图，在△ABC和△CDE中，点B、D、C在同一直线上，已知∠ACB=∠E，AC=CE，添加以下条件后，仍不能判定△ABC≌△CDE的是（    ）A．∠A=∠DCE B．AB∥DE C．BC=DE D．AB=CD【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的判定．将各个选项依次代入题目当中，再根据全等三角形的判定方法依次判断即可．一般三角形全等的判定方法有SAS、ASA、AAS、SSS，注意没有SSA．熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．【详解】解：A、若添加∠A=∠DCE，则可根据ASA证明△ABC≌△CDE，故A选项不符合题意；B、若添加AB∥DE，则可得∠B=∠EDC，则可根据AAS证明△ABC≌△CDE，故B选项不符合题意；    C、若添加BC=DE，则可根据SAS证明△ABC≌△CDE，故C选项不符合题意；D、若添加AB=CD，则成了SSA，不能证明△ABC≌△CDE，故D选项符合题意.故选：D【变式1-1】（23-24八年级·河南信阳·期中）在△ABC和△A'B'C'中，∠C=∠C'，有下列条件：①AB=A'B'；②BC=B'C'；③AC=A'C'；④∠A=∠A'；⑤∠B=∠B'．请你从中选择两个条件： ，使△ABC≌△A'B'C'，你判断它们全等的根据是 ．【答案】 ②③（答案不唯一） SAS【分析】本题考查三角形全等的判定方法，根据四个选项所给条件结合判定两个三角形全等的方法SSS、SAS、ASA、AAS分别进行分析即可．【详解】解：∵∠C=∠C'，添加②BC=B'C'；③AC=A'C'；可利用SAS判定△ABC≌△A'B'C'；添加③AC=A'C'；④∠A=∠A'，可利用ASA判定△ABC≌△A'B'C'；添加⑤∠B=∠B'；③AC=A'C'，可利用AAS判定△ABC≌△A'B'C'；故答案为：答案不唯一，如②③；SAS．【变式1-2】（23-24八年级·江苏徐州·期中）如图，已知AD=AE，∠1=∠2，要使△ABD≌△ACE，则需要添加的条件是 ．（写一个即可）【答案】AB=AC或∠B=∠C或∠ADB=∠E（写一个即可）【分析】本题考查全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．由∠1=∠2，可得∠BAD=∠CAE，再根据题干中的条件，可添加角相等或边相等即可．【详解】解：添加AB=AC，∵ ∠1=∠2，∴∠BAD=∠CAE，又∵ AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACESAS，添加∠B=∠C，∵ ∠1=∠2，∴∠BAD=∠CAE，又∵ ∠B=∠C，AD=AE，∴△ABD≌△ACEAAS，添加∠ADB=∠E，∵ ∠1=∠2，∴∠BAD=∠CAE，又∵ ∠ADB=∠E，AD=AE，∴△ABD≌△ACEASA，故答案为：AB=AC或∠B=∠C或∠ADB=∠E（写一个即可）．【变式1-3】（23-24八年级·湖北襄阳·期末）如图，点B、E、C、F四点在一条直线上，∠A=∠D，AB//DE，老师说：再添加一个条件就可以使△ABC≌△DEF．下面是课堂上三个同学的发言，甲说：添加AB=DE；乙说：添加AC//DF；丙说：添加BE=CF．（1）甲、乙、丙三个同学说法正确的是________；（2）请你从正确的说法中选择一种，给出你的证明．【答案】（1）甲、丙；（2）见详解【分析】（1）根据平行线的性质，由AB∥DE可得∠B＝∠DEC，再加上条件∠A=∠D，只需要添加一个能得出对应边相等的条件，即可证明两个三角形全等，添加AC//DF不能证明△ABC≌△DEF；（2）添加AB=DE，再由条件AB∥DE可得∠B＝∠DEC，然后再利用ASA判定△ABC≌△DEF即可．【详解】（1）解：∵AB//DE，∴∠B＝∠DEC，又∵∠A=∠D，∴添加AB=DE，可得△ABC≌△DEF（ASA）；添加BE=CF，可得BC=EF，可得△ABC≌△DEF（AAS）∴说法正确的是：甲、丙，故答案为：甲、丙；（2）选“甲”，理由如下：证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEC，在△ABC和△DEF中∠A＝∠D∠B＝∠DEFAB＝DE ∴△ABC≌△DEF（ASA）．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【题型2 确定全等三角形的对数】【例2】（23-24八年级·河南信阳·期中）如图，在△ABC中，AC=BC,CD=CE，连接BE、AD相交于点O，连接OC，则图中共有全等三角形（    ）A．5对 B．4对 C．3对 D．2对【答案】A【分析】本题考查全等三角形的判定，根据题中条件，数形结合，利用两个三角形全等的判定定理逐个验证即可得到答案，熟练掌握两个三角形全等的判定定理是解决问题的关键．【详解】解：①由∠ACB=∠ACB，AC=BC,CD=CE，根据SAS可得△ACD≌△BCE；∴∠CAD=∠CBE②由AC=BC,CD=CE可得AE=BD，由△ACD≌△BCE可得∠CAD=∠CBE，则由∠CAD=∠CBE，∠AOE=∠BOD，AE=BD，根据AAS可得△AOE≌△BOD；③由△AOE≌△BOD可得OD=OE，则由OD=OE，OC=OC,CD=CE，根据SSS可得△COE≌△COD；④由△AOE≌△BOD可得OA=OB，则由OA=OB，AC=BC,CO=CO，根据SSS可得△ACO≌△BCO；⑤由△ACD≌△BCE可得AD=BE；由AC=BC,CD=CE可得AE=BD；AB=AB；根据SSS可得△AEB≌△BDA；综上所述，图中共有全等三角形5对，故选：A．【变式2-1】（23-24八年级·河南南阳·期末）如图，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E．BD与CE交于O，连接AO，则图中共有全等的三角形的对数为（    ）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【答案】D【分析】根据AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，∠CAE=∠BAD，可证明△CAE≌△BAD，得出AD=AE，∠C=∠B，根据AAS可证明△DCO≌△EBO，得出CO=BO，利用SSS证得△ACO≌△ABO，利用HL证得△DAO≌△EAO，由此得出共有全等的三角形的对数为4对．【详解】解：由题意可得△CAE≌△BAD，△DCO≌△EBO，△ACO≌△ABO，△DAO≌△EAO共4对三角形全等．故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式2-2】（23-24八年级·广东深圳·期中）如图，AB∥CD，BC∥AD，BE=DF，图中全等的三角形的对数是（    ）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根据全等三角形得判定定理，依次证明三角形全等，即可求解．【详解】解：∵AB∥CD，BC∥AD，∴∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD，在△ABD与△CDB中，∠ABD=∠CDBBD=DB∠ADB=∠CBD，∴△ABD≌△CDBASA，∴AD=BC，AB=CD，在△ABE与△CDF中，AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF，∴△ABE≌△CDFSAS，∴AE=CF，∵BE=DF，∴BE+EF=DF+EF，∴BF=DE，在△ADE与△CBF中，AD=CBDE=BFAE=CF∴△ADE≌△CBFSSS，同理可得△ABF≌△CDE，△ADF≌CBE，△AEF≌△CFE，即6对全等三角形．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，能正确根据定理进行推论是解题的关键．【变式2-3】（23-24八年级·重庆渝北·期末）如图（1），已知AB=AC，D为∠BAC的角平分线上一点，连接BD，CD；如图（2），已知AB=AC，D，E为∠BAC的角平分线上两点，连接BD，CD，BE，CE；如图（3），已知AB=AC，D，E，F为∠BAC的角平分线上三点，连接BD，CD，BE，CE，BF，CF；……，依此规律，第6个图形中有全等三角形的对数是（    ）A．21 B．11 C．6 D．42【答案】A【分析】设第n个图形中有an(n为正整数）个全等三角形，根据各图形中全等三角形对数的变化可找出变化规律“an=n(n+1)2(n为正整数）”，再代入n=6即可求出结论．【详解】解：设第n个图形中有an(n为正整数）个全等三角形．图(1)，在△ABD和△ACD中，AB=AC∠BAD=∠CADAD=AD，∴△ABD≌△ACD(SAS)，∴a1=1；同理，可得：a2=3=1+2，a3=6=1+2+3，a4=10=1+2+3+4，…，∴an=1+2+3+…+n=n(n+1)2(n为正整数），∴a6=6×(6+1)2=21．故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及规律型：图形的变化类，根据各图形中全等三角形对数的变化，找出变化规律“an=n(n+1)2(n为正整数）”是解题的关键．【题型3 网格中确定全等三角形】【例3】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，方格中△ABC的3个顶点分别在正万形的顶点（格点上），这样的三角形叫格点三角形，图中与△ABC（不含△ABC）全等的格点三角形共有（    ）个A．4 B．5 C．8 D．7【答案】D【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法，结合网格的特点，画出图形，即可得出结果．【详解】解：如图所示以正方形一边为三角形的边都可作两个全等的三角形，所以共有8个全等三角形，除去△ABC外有7个与△ABC全等的三角形．即：故选D．【变式3-1】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图是5×5的正方形网格，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，像△ABC这样的三角形叫做格点三角形，画与△ABC只有一条公共边且全等的格点三角形，在该网格中这样的格点三角形（不与△ABC重合）最多可以画出 个．【答案】6【分析】本题考查了全等三角形、格点三角形的定义，可以以BC为公共边和以AB为公共边分别画出3个三角形，以AC为公共边不可以画出三角形，即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键．【详解】解：如图所示：，以BC为公共边可以画出△BDC、△BEC、△BFC三个三角形，以AB为公共边可以画出△ABG、△ABM、△ABH三个三角形，故可以画出6个，故答案为：6．【变式3-2】（23-24八年级·河北廊坊·期末）在方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点的连线为边的三角形叫做格点三角形，解决下列问题．（1）如图1，以点D和点E为两个顶点作格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，那么这样的格点三角形最多可以画出 个；（2）如图2，∠1＋∠2＝ ．【答案】 4 45°/45度【分析】（1）观察图形可知：DE与AC是对应边，B点的对应点在DE上方两个，在DE下方两个共有4个满足要求的点，也就有四个全等三角形；（2）由图可知∠1=∠3，∠2+∠3=45°，从而可得结论．【详解】解：（1）根据题意，运用SSS可得与△ABC全等的三角形有4个，线段DE的上方有两个点，下方也有两个点．故答案为：4．（2）由图可知△ABC≌△EDC，∴∠1=∠3，而∠2+∠3=45°，∴∠1+∠2=45°，故答案为：45°．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时要做到不重不漏．【变式3-3】（23-24八年级·宁夏吴忠·期中）如图，△ABC是格点三角形（顶点在网格线的交点上），请在下列每个方格纸上按要求画一个与△ABC全等的格点三角形． (1)在图①中所画三角形与△ABC有一条公共边AB；(2)在图②中所画三角形与△ABC有一个公共角C；(3)在图③中所画三角形与△ABC有且只有一个公共顶点A．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据题意以及网格的特点根据轴对称画出图形即可；（2）根据题意以及网格的特点根据轴对称画出图形即可；（3）根据题意以及网格的特点画出图形即可．【详解】（1）如图①所示，△ABD即为所求；（2）如图②所示，△DEC即为所求；（3）如图③所示，△AED即为所求，【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．【题型4 灵活选用判定方法证明全等】【例4】（23-24八年级·山东青岛·期中）如图， AC⊥BC，BD⊥AD，AD=BC．求证：BD=AC．  以下是合作小组三名同学关于此题的讨论：小丽说：“我可以根据全等三角形的判定定理‘AAS’证明两个三角形全等，从而得到BD=AC．”小颖说：“我可以根据直角三角形全等的判定定理‘HL’证明两个三角形全等，从而得到BD=AC．”小雨说：“我可以根据三角形的面积相等，来证明BD=AC．”看了他们的讨论，你一定也有了自己的主意，请写出你的证明．【答案】见解析【分析】本题目考查了三角形全等的判定方法，解题关键是熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键；①根据垂线的知识可得∠D=∠C=90°，在结合AAS证明△AOD≌△BOC，最后根据全等三角形的性质得出结论；②连接AB，根据直角三角形的HL，证明Rt△ABD≌Rt△BAC，即可得出结论；③连接AB，证明△AOD≌△BOC，可得S△AOD=S△BOC，再结合三角形面积计算方法即可得出结论；④连接DC，证明△AOD≌△BOC，得∠A=∠B，OD=OC，在利用AAS证明△ADC≌△BCD，得出结论．【详解】小丽方法：AC⊥BC，BD⊥AD，∴ ∠D=∠C=90°．∴在△AOD和△BOC中，∠D=∠C∠AOD=∠BOCAD=BC∴ △AOD≌△BOC AAS∴ AO=BO，DO=CO．∴ AO+CO=BO+DO，即BD=AC．小颖方法：连接AB．∵ AC⊥BC，BD⊥AD，，∴ ∠D=∠C=90°．在Rt△ABD和Rt△BAC中，AD=BCAB=BA∴ Rt△ABD≌Rt△BAC HL．∴ BD=AC．小雨方法：连接AB．∵ AC⊥BC，BD⊥AD，∴ ∠D=∠C=90°．∴在△AOD和△BOC中，∠D=∠C∠AOD=∠BOCAD=BC，∴ △AOD≌△BOC AAS，∴ S△AOD=S△BOC∴ S△AOD+S△AOB=S△BOC+S△AOB．即S△ABD=S△ABC．又∵ S△ABD=12AD⋅BD，S△ABC=12BC⋅AC，∴ 12AD⋅BD=12BC⋅AC，∵ AD=BC，∴ BD=AC．  方法4：连接CD，  ∵ AC⊥BC，BD⊥AD，∴ ∠ADO=∠BCO=90°．∴在△AOD和△BOC中，∠ADO=∠BCO∠AOD=∠BOCAD=BC∴ △AOD≌△BOC AAS∴∠A=∠B，OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∴ ∠ADC=∠BCD在△ADC和△BCD中，∠ADC=∠BCD∠A=∠BAD=BC∴ △ADC≌△BCD AAS，∴AD=BC．【变式4-1】（23-24八年级·河南郑州·期末）下列所给的四组条件中，能作出唯一三角形的是（    ）A．∠A=∠B=∠C=60° B．AB=1cm，AC=4cm，BC=5cmC．AB=5cm，AC=6m，∠C=30° D．BC=3cm，AC=5cm，∠C=60°【答案】D【分析】本题主要考查了构成三角形的条件．熟练掌握三角形全等的判定方法，三角形三边关系，是解决问题的关键．根据三角形三边的关系对B进行判断；根据全等三角形的判定方法对A、C、D进行判断．【详解】A．∠A=∠B=∠C=60°，不符合三角形全等判定条件，不能作出唯一三角形；B．AB=1cm，AC=4cm，BC=5cm，这里AB+AC=BC，不符合三角形三边关系，不能作出三角形；C．AB=5cm，AC=6m，∠C=30°，两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，不能作出唯一三角形；D．BC=3cm，AC=5cm，∠C=60°，两边及夹角对应相等的两个三角形全等，能作出唯一三角形．故选：D．【变式4-2】（23-24八年级·河南郑州·期末）已知△ABC的三个内角三条边长如图所示，则甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（　　）A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙【答案】B【分析】本题考查全等三角形的判定方法，掌握三角形判定方法是解题的关键．根据三角形判定方法判断即可解答．【详解】解：甲与△ABC不符合两边对应相等，且夹角相等，∴甲和已知三角形不全等；乙与△ABC符合两边对应相等，且夹角相等，∴根据SAS可判定乙和与△ABC全等；丙与△ABC符合两角对应相等，且其中一角的对边相等，∴根据AAS可判定丙和与△ABC全等．故选：B．【变式4-3】（23-24八年级·河北保定·期末）（1）阅读下题及证明过程已知：如图，D是△ABC的BC边上一点，E是AD上一点，EB=EC，∠ABE=∠ACE．求证：∠BAE=∠CAE．证明：在△AEB和△AEC中，因为EB=EC，∠ABE=∠ACE，AE=AE，所以△AEB≌△AEC………………第一步所以∠BAE=∠CAE………………第二步上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的依据；若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程．（2）如果两个锐角三角形的两组边分别相等，且其中一组等边的对角相等，那么这两个三角形全等吗？请说明理由．【答案】（1）不正确；错在第一步，详见解析；（2）全等，详见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．（1）根据两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，可知第一步错误，证明时先根据等腰三角形的性质及判定，可逐步推得AB=AC，再根据“边边边”判定三角形全等即可；（2）先写出已知，求证与证明，“已知，在锐角三角形ABC和锐角三角形A'B'C'中，AB=A'B'，AC=A'C'，∠C=∠C'．求证：△ABC≌△A'B'C'．”过点A作AD⊥BC于点D，过点A'作A'D'⊥B'C'于点D'，先根据“角角边”证明△ACD≌△A'C'D'，得到AD=A'D'，再根据“HL”定理证明Rt△ABD≌Rt△A'B'D'，得到∠B=∠B'，最后由“ 角角边”即可证得结果．【详解】（1）不正确；错在第一步．证明：在△BEC中，∵BE=CE，∴∠EBC=∠ECB，∵∠ABE=∠ACE，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，在△AEB和△AEC中，∴△AEB≌△AEC(SSS)，∴∠BAE=∠CAE；（2）全等．理由如下：已知：如图，在锐角三角形ABC和锐角三角形A'B'C'中，AB=A'B'，AC=A'C'，∠C=∠C'．求证：△ABC≌△A'B'C'．证明：过点A作AD⊥BC于点D，过点A'作A'D'⊥B'C'于点D'，∴∠ADC=∠A'D'C'=∠ADB=∠A'D'B'=90°，在△ACD和△A'C'D'中，∵∠C=∠C'∠ADC=∠A'D'C'AC=A'C'，∴△ACD≌△A'C'D'(AAS)，∴AD=A'D'，在Rt△ABD和Rt△A'B'D'中，∵AB=A'B'AD=A'D'，∴Rt△ABD≌Rt△A'B'D'(HL)，∴∠B=∠B'，在△ABC和△A'B'C'中，∵∠C=∠C'∠B=∠B'AC=A'C'，∴△ABC≌△A'B'C'(AAS)．【题型5 多次证全等求解或证明结论】【例5】（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末）已知：AD是△ABC的角平分线，且AD⊥BC(1)如图1，求证：AB=AC；(2)如图2，∠ABC=30°，点E在AD上，连接CE并延长交AB于点F，BG交CA的延长线于点G，且∠ABG=∠ACF，连接FG．①求证：∠AFG=∠AFC；②若S△ABG：S△ACF=2:3，且AG=2，求AC的长．【答案】(1)见解析(2)①证明见解析②6【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定以及角平分线的定义.（1）用ASA证明△ABD≌△ACD，即得AB=AC；（2）①证明△BAG≌△CAE可得AG=AE，再用ASA证明△FAG≌△FAE，即得∠AFG=∠AFC；②过F作FK⊥AG于K，由S△ABG:S△ACF=2:3，可得S△CAE:S△ACF=2:3，S△FAE:S△ACF=1:3，而△FAG≌△FAE，S△FAG:S△ACF=1:3，即得AG:AC=1:3，根据AG=2，可求AC=6．【详解】（1）证明：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC，在△ABD和△ACD中，∠BAD=∠CADAD=AD∠ADB=∠ADC，∴△ABD≌△ACDASA，∴AB=AC；（2）①∵AB=AC，∠ABC=30°，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD=60°，∴∠BAG=60°=∠CAD，在△BAG和△CAE中，∠BAG=∠CAEAB=AC∠ABG=∠ACE，∴△BAG≌△CAEASA，∴AG=AE，在△FAG和△FAE中，AG=AE∠GAF=∠EAFAF=AF，∴△FAG≌△FAEASA，∴∠AFG=∠AFC；②过F作FK⊥AG于K，如图： 由①知：△BAG≌△CAE，∵S△ABG:S△ACF=2:3，∴S△CAE:S△ACF=2:3，∴S△FAE:S△ACF=1:3，由①知：△FAG≌△FAE，∴S△FAG:S△ACF=1:3，∴12AG⋅FK:12AC⋅FK=1:3，∴AG:AC=1:3，∵AG=2，∴AC=6．【变式5-1】（23-24八年级·河南洛阳·期末）已知：如图，AB=AC，BD=CE，CD与BE相交于点O，连接OA．证明：(1)OC=OB；(2)OA平分∠CAB．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，等边对等角，角平分线的性质，即可．（1）根据AB=AC，BD=CE，得AE=AD，推出△ADC≌△AEB，则∠ACD=∠ABE，根据AB=AC，则∠ACB=∠ABC，则∠OCB=∠OBC，即可得OC=OB；（2）由（1）得OC=OB，∠ACD=∠ABE，AB=AC，推出△ACO≌△ABO，则∠CAO=∠BAO，即可．【详解】（1）证明如下：∵AB=AC，BD=CE，∴AE+CE=AD+BD，∴AE=AD，在△ADC和△AEB，AC=AB∠CAB=∠BACAE=AD，∴△ADC≌△AEB，∴∠ACD=∠ABE，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，∴∠OCB=∠OBC，∴OC=OB．（2）证明：∵OC=OB∠ACD=∠ABEAC=AB，∴△ACO≌△ABO，∴∠CAO=∠BAO，即OA平分∠CAB．【变式5-2】（23-24八年级·广西百色·期末）如图，已知，AD⊥BD于点D，CB⊥BD于点B，AB=CD．(1)求证：AD=CB；(2)连接AC交BD于点O，试判断OA与OC之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)OA=OC，见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关判定定理是解决本题的关键．（1）根据HL证明Rt△ABD≌RtCDB，再根据全等三角形的性质即可得AD=CB；（2）根据AAS证明△AOD≌△COB，再根据全等三角形的性质即可得OA=OC．【详解】（1）证明：如图所示，∵AD⊥BD，CB⊥BD  ∴∠1=∠2=90°在Rt△ABD和Rt△CDB中，AB=CDBD=DB，∴Rt△ABD≌Rt△CDBHL ∴AD=CB；（2）解：OA=OC理由如下：如图，在△AOD和△COB中，∠3=∠4∠1=∠2AD=CB，∴△AOD≌△COBAAS，∴OA=OC．【变式5-3】（23-24八年级·重庆·期末）如图1，在等边三角形ABC中，点D在BC上，点E在AB上，CE，AD交于点F，CG⊥AD于点G，延长CG交AB于点H，∠HCE=30°．(1)求证：AE=BD．(2)如图2，连接BF，若BF⊥CE，求证：点F是AG的中点．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．（1）由ASA可证△CAE≌△ABD，可得AE=BD；（2）延长BF交AC于点Q，由ASA可证△ABQ≌△BCH，可得AQ=BH，由AAS可证△CFQ≌△AGH，可得AG=CF=2FG，可得结论．【详解】（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵CG⊥AD，∠HCE=30°，∴CF=2FG，∠CFG=60°，∴∠CAF+∠ACF=∠CAF+∠BAD，∴∠ACF=∠BAD，在△CAE和△ABD中，∠ACE=∠BADAC=AB∠BAC=∠ABC=60°，∴△CAE≌△ABDASA，∴AE=BD；（2）如图，延长BF交AC于点Q，∵BF⊥CE，∠ECH=30°，∴∠FBC+∠BCG=60°，∵∠ABF+∠FBC=∠ABC=60°，∴∠ABF=∠BCG，在△ABQ和△BCH中，∠ABF=∠BCGAB=BC∠BAC=∠ABC，∴△ABQ≌△BCHASA，∴AQ=BH，∴AB-BH=AC-AQ，∴AH=CQ，在△CFQ和△AGH中，∠CFQ=∠AGH=90°∠ACF=∠HAGCQ=AH，∴△CFQ≌△AGHAAS，∴AG=CF，∴AG=2FG，∴点F是AG的中点．【题型6 由全等三角形的判定与性质确定线段之间的关系】【例6】（23-24八年级·江西南昌·期末）如图，AD是△ABC的角平分线．(1)若AB=AC+CD，求证：∠ACB=2∠B；(2)当∠ACB=2∠B时，AC+CD与AB的数量关系如何？说说你的理由．【答案】(1)见解析(2)AB=AC+CD，理由见解析【分析】（1）延长AC至E，使CE=CD，连接DE，运用SAS证明△BAD≌△EAD，可得结论；（2）在AC的延长线上取点F，使CF=CD，连接DF，根据AAS推导△BAD≌△FAD得到结论．【详解】（1）证明：延长AC至E，使CE=CD，连接DE.∵AB=AC+CD，∴AB=AE.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠EAD.在△BAD与△EAD中，AB=AE∠BAD=∠EADAD=AD,∴△BAD≌△EAD.∴∠B=∠E.∵CD=CE，∴∠CDE=∠E.∵∠ACB=∠CDE+∠E，∴∠ACB=2∠E=2∠B.（2）解：AB=AC+CD.理由：在AC的延长线上取点F，使CF=CD，连接DF.∴∠CDF=∠F，又∵∠ACB=∠CDF+∠F，∴∠ACB=2∠F.∵∠ACB=2∠B，∴∠B=∠F.∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，在△BAD与△FAD中，∠B=∠F∠BAD=∠CADAD=AD，∴△BAD≌△FAD.∴AB=AF=AC+CF=AC+CD．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形外角性质，等腰三角形的判定和性质．正确的作出辅助线是解题关键．【变式6-1】（23-24八年级·广东潮州·阶段练习）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，AD=5，BE=2，求线段DE的长．【答案】(1)①见解析，②见解析；(2)3．【分析】（1）①由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因为∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根据AAS即可得到答案；②由①得到AD=CE，CD=BE，即可求出答案；（2）与（1）证法类似可证出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，代入已知即可得到答案，本题考查了全等三角形的性质和判定，同角的余角相等，垂直的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠BCE，在△ADC和△CEB中，∠CDA=∠BEC∠DAC=∠ECBAC=BC，∴△ADC≌△CEBAAS；②证明：由（1）知：△ADC≌△CEB，∴AD=CE，CD=BE，∵DC+CE=DE，∴AD+BE=DE；（2）证明：∵BE⊥EC，AD⊥CE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠EBC+∠ECB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB+∠ACE=90°，∴∠ACD=∠EBC，在△ADC和△CEB中，∠ACD=∠BEC∠ADC=∠BECAC=BC，∴△ADC≌△CEBAAS，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=EC-CD=AD-BE=5-2=3．【变式6-2】（23-24八年级·重庆·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC