+山东省日照市东港区献唐学校2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）

这是一份+山东省日照市东港区献唐学校2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（10月份），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）一元二次方程x2＝3x的解为（ ）
A．x＝0B．x＝3C．x＝0或x＝3D．x＝0 且x＝3
2．（3分）二次函数y＝2x2﹣8x﹣2的最小值是（ ）
A．﹣2B．﹣10C．﹣6D．6
3．（3分）抛物线y＝x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（ ）
A．B．C．﹣4D．4
4．（3分）若关于x的一元二次方程（k+2）x2+3x+k2﹣k﹣6＝0必有一根为0，则k的值是（ ）
A．3 或﹣2B．﹣3或2C．3D．﹣2
5．（3分）对于二次函数y＝4（x+1）（x﹣3）下列说法正确的是（ ）
A．图象开口向下
B．与x轴交点坐标是（1，0）和（﹣3，0）
C．x＜1时，y随x的增大而减小
D．图象的对称轴是直线x＝﹣1
6．（3分）若点A（2，y1）、B（3，y2）、C（﹣1，y3）三点在二次函数y＝x2﹣4x﹣m的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y2＞y1
7．（3分）已知△ABC为等腰三角形，已知它的两条边的长度分别是方程2x2﹣7x+5＝0的两个根，那么该三角形的周长是（ ）
A．或6B．C．5D．6
8．（3分）直线y＝ax+b（ab≠0）不经过第三象限，那么y＝ax2+bx+3的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）2023年4月23是第28个世界读书日，读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一，据统计，某书院对外开放的第一个月进书院600人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院2850人次，若进书院人次的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．600（1+2x）＝2850
B．600（1+x）2＝2850
C．600+600（1+x）+600（1+x）2＝2850
D．2850（1﹣x）2＝600
10．（3分）如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y＝x2的第一象限的图象上，若点B的纵坐标是横坐标的2倍，则对角线AC的长为（ ）
A．2B．C．D．
11．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2023，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，并与x轴交于A，B两点，若OA＝5OB，则下列结论：
①abc＞0；
②（a+c）2﹣b2＝0；
③9a+4c＜0；
④若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a．
其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）
13．（4分）若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣9x+20＝0的两根，则该菱形的面积为 ．
14．（4分）一元二次方程x2﹣4x+2＝0的两根为x1，x2，则﹣4x1+2x1x2的值为 ．
15．（4分）若二次函数y＝2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，则+的值为 ．
16．（4分）已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝ ．
三、解答题（本大题共6小题，满分共68分）
17．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若x1，x2是该方程的两个根，且满足x1x2+x1+x2＝m2+6，求m的值．
18．（10分）二次函数的图象顶点坐标为（﹣2，﹣2），且过（1，0）．
（1）求该二次函数解析式；
（2）当﹣5≤x＜4时，求函数值y的取值范围．
19．（10分）△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD、BE．
（1）如图①，当点B、C、D在同一条直线上时，则∠BCE＝ 度；
（2）将图①中的△CDE绕着点C逆时针旋转到如图②的位置．求证：AD＝BE．
20．（12分）如图，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，点C、D是二次函数图象上一对对称点，一次函数y＝mx+n的图象过点B、D，
（1）直接写出点C、D的坐标；
（2）求二次函数的解析式；
（3）将二次函数y＝ax2+bx+3向左平移2个单位，并向下平移2个单位，直接写出得到的图象的解析式；
（4）根据图象求ax2+bx+3＜mx+n的解集；
（5）若将直线BD沿y轴的正方向向上平移t个单位长度后，与抛物线只有一个公共点，求此时t的值．
21．（12分）524红薯富含膳食纤维，维生素（A，B，C，D，E）以及钾，铁等10余种微量元素，被营养学专家称为营养均衡的保健食品，深受广大消费者喜爱．某土特产批发店以30元/箱的价格进货．根据市场调查发现，批发价定位58元/箱时，每天可销售600箱，为保证市场占有率，决定降价销售，发现每箱降价1元，每天可增加销量60箱．
（1）直接写出每天的利润w与降价x元的函数关系式；
（2）当降价多少元时，每天可获得最大利润，为多少？
（3）要使每天的利润为21600元，并让利于民，应降价多少元？
22．（14分）综合与探究：
如图，抛物线y＝ax2+x+c经过坐标轴上A、B、C三点，直线y＝﹣x+4过点B和点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）E是直线BC上方抛物线上一动点，连接BE、CE，求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；
（3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年山东省日照市东港区献唐学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1．（3分）一元二次方程x2＝3x的解为（ ）
A．x＝0B．x＝3C．x＝0或x＝3D．x＝0 且x＝3
【分析】方程移项后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程移项得：x2﹣3x＝0，
分解因式得：x（x﹣3）＝0，
解得：x＝0或x＝3，
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
2．（3分）二次函数y＝2x2﹣8x﹣2的最小值是（ ）
A．﹣2B．﹣10C．﹣6D．6
【分析】把此二次函数化为顶点式或直接用公式法求其最值即可．
【解答】解：∵二次函数y＝2x2﹣8x﹣2可化为y＝2（x﹣2）2﹣10，
∴二次函数y＝2x2﹣8x﹣2的最小值是﹣10；
故选：B．
【点评】此题考查了二次函数的最值，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．
3．（3分）抛物线y＝x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（ ）
A．B．C．﹣4D．4
【分析】抛物线与x轴有一个交点，y＝0的方程就有两个相等的实数根，根的判别式就等于0．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+x+c与x轴只有一个公共点，
∴方程x2+x+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1•c＝0，
∴c＝．
故选：B．
【点评】本题考查方程与二次函数的关系，数形结合思想是解这类题的关键．
4．（3分）若关于x的一元二次方程（k+2）x2+3x+k2﹣k﹣6＝0必有一根为0，则k的值是（ ）
A．3 或﹣2B．﹣3或2C．3D．﹣2
【分析】把x＝0代入方程计算即可求出k的值．
【解答】解：把x＝0代入方程得：k2﹣k﹣6＝0，
分解因式得：（k﹣3）（k+2）＝0，
解得：k＝3或k＝﹣2，
当k＝﹣2时，方程为3x＝0，不是一元二次方程，舍去，
则k的值是3，
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
5．（3分）对于二次函数y＝4（x+1）（x﹣3）下列说法正确的是（ ）
A．图象开口向下
B．与x轴交点坐标是（1，0）和（﹣3，0）
C．x＜1时，y随x的增大而减小
D．图象的对称轴是直线x＝﹣1
【分析】根据题目中的函数解析式，利用二次函数的性质可以判断各个选项是否正确．
【解答】解：∵y＝4（x+1）（x﹣3）＝4（x﹣1）2﹣16，
∴a＝4＞0，该抛物线的开口向上，故选项A错误，
与x轴的交点坐标是（﹣1，0）、（3，0），故选项B错误，
当x＜1时，y随x的增大而减小，故选项C正确，
图象的对称轴是直线x＝1，故选项D错误，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
6．（3分）若点A（2，y1）、B（3，y2）、C（﹣1，y3）三点在二次函数y＝x2﹣4x﹣m的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y2＞y3＞y1D．y3＞y2＞y1
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出y1，y2，y3的值，比较后即可得出结论（利用二次函数的性质解决问题亦可（离对称轴越远，y值越大））．
【解答】解：∵点A（2，y1）、B（3，y2）、C（﹣1，y3）三点在二次函数y＝x2﹣4x﹣m的图象上，
∴y1＝﹣4﹣m，y2＝﹣3﹣m，y3＝5﹣m．
∵5﹣m＞﹣3﹣m＞﹣4﹣m，
∴y3＞y2＞y1．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出y1，y2，y3的值是解题的关键．
7．（3分）已知△ABC为等腰三角形，已知它的两条边的长度分别是方程2x2﹣7x+5＝0的两个根，那么该三角形的周长是（ ）
A．或6B．C．5D．6
【分析】先解方程，再根据等腰三角形的边的特点，分两种情况讨论，注意“两边之和大于第三边”这条原则．
【解答】解：2x2﹣7x+5＝0，
（2x﹣5）（x﹣1）＝0，
解得x1＝2.5，x2＝1．
①当x1＝2.5为腰时，则周长C＝2.5+2.5+1＝6．
②当x2＝1为腰时，因为1+1＜2.5，不符合三角形三边关系，故舍去；
∴三角形的周长为6．
故选：D．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，三角形三边关系及解一元二次方程的综合运用．
8．（3分）直线y＝ax+b（ab≠0）不经过第三象限，那么y＝ax2+bx+3的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】首先根据直线y＝ax+b（ab≠0）不经过第三象限判断出a、b的取值范围，再根据a的取值范围可判断出开口方向，再加上b的取值范围可判断出对称轴，最后根据c＝3判断出与y轴交点，进而可得答案．
【解答】解：∵直线y＝ax+b（ab≠0）不经过第三象限，
∴a＜0，b＞0，
∴y＝ax2+bx+3的图象开口向下，对称轴y轴右侧，与y轴交于（0，3），
∴D符合．
故选：D．
【点评】此题主要考查了一次函数和二次函数图象，关键是掌握一次函数y＝kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
9．（3分）2023年4月23是第28个世界读书日，读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一，据统计，某书院对外开放的第一个月进书院600人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院2850人次，若进书院人次的月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A．600（1+2x）＝2850
B．600（1+x）2＝2850
C．600+600（1+x）+600（1+x）2＝2850
D．2850（1﹣x）2＝600
【分析】先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于2850，列方程即可．
【解答】解：设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
600+600（1+x）+600（1+x）2＝2850．
故选：C．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题．
10．（3分）如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y＝x2的第一象限的图象上，若点B的纵坐标是横坐标的2倍，则对角线AC的长为（ ）
A．2B．C．D．
【分析】根据点B的纵坐标是横坐标的2倍，和点B在抛物线y＝x2的第一象限的图象上，可以求得点B的坐标．
【解答】解：设点B的坐标为（a，2a），
∵点B在抛物线y＝x2的第一象限的图象上，
∴2a＝a2，
解得：a1＝0（不合题意，舍去），a2＝2，
∴2a＝4，
∴点B的坐标为（2，4），
∴OB＝＝2，
∵四边形OABC是正方形，
∴AC＝OB＝2．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，解答本题的关键是求出点B的坐标．
11．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2023，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
【分析】根据一元二次方程根的定义可得元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2中，x﹣1＝2023，进而即可求解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2023，
∴一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2，
即a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0中，x﹣1＝2023，
即x＝2024，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程根的定义，理解一元二次方程根的定义是解题的关键．
12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，并与x轴交于A，B两点，若OA＝5OB，则下列结论：
①abc＞0；
②（a+c）2﹣b2＝0；
③9a+4c＜0；
④若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a．
其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①③④
【分析】根据题意，根据函数图象的开口方向、对称轴、图象与y轴的交点即可判断①；根据对称轴x＝﹣2，OA＝5OB，可得OA＝5，OB＝1，点A（﹣5，0），点B（1，0），当x＝1时，y＝0即可判断②；根据对称轴x＝﹣2，以及，a+b+c＝0得a与c的关系，即可判断③；根据函数的最小值是当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c，即可判断④，综合可得答案．
【解答】解：由题意，对于①，抛物线开口向上，
∴a＞0．
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∴b＝4a＞0．
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，则c＜0，
∴abc＜0，①错误．
对于②，设抛物线对称轴与x轴交点为E（﹣2，0），则OE＝2，
∵OA＝5OB＝AE+OE＝OB+2OE，
∴OE＝2OB＝2．
∴OB＝1．
即点B坐标为（1，0），
∴当x＝1时，y＝a+b+c＝0，
则有（a+c）2﹣b2＝（a+c+b）（a﹣b+c）＝0，②正确．
对于③，抛物线对称轴为x＝﹣＝﹣2，则b＝4a，
∵a+b+c＝0，
∴5a+c＝0，
∴c＝﹣5a，
∴9a+4c＝﹣11a＜0，③正确．
对于④，当x＝﹣2时，y取最小值，
则对于任意实数m，都有am2+bm+c≥4a﹣2b+c，即am2+bm+2b≥4a，④正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）
13．（4分）若菱形两条对角线的长度是方程x2﹣9x+20＝0的两根，则该菱形的面积为 10 ．
【分析】解方程可得菱形的对角线长，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可．
【解答】解：解方程x2﹣9x+20＝0得到x＝4或5，
∴菱形的对角线长分别为4和5，
∴菱形的面积＝×4×5＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查菱形的性质、一元二次方程的解等知识，记住菱形的面积公式是解题的关键，属于基础题．
14．（4分）一元二次方程x2﹣4x+2＝0的两根为x1，x2，则﹣4x1+2x1x2的值为 2 ．
【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解可得出﹣4x1＝﹣2、x1x2＝2，将其代入﹣4x1+2x1x2中即可求出结论．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+2＝0的两根为x1、x2，
∴﹣4x1＝﹣2，x1x2＝2，
∴﹣4x1+2x1x2＝﹣2+2×2＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．
15．（4分）若二次函数y＝2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，则+的值为 ﹣4 ．
【分析】设y＝0，则对应一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标，利用根与系数的关系即可求出+的值．
【解答】解：
设y＝0，则2x2﹣4x﹣1＝0，
∴一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标，即x1，x2，
∴x1+x2＝﹣＝2，x1•x2＝﹣，
∴+＝＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，掌握二次函数与x轴的交点的横坐标就是对应的一元二次方程的根是解题关键．
16．（4分）已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝ 3或 ．
【分析】先求出对称轴为x＝﹣1，分m＞0，m＜0两种情况讨论解答即可求得m的值．
【解答】解：∵二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1，
∴对称轴为直线x＝﹣1，
①m＞0，抛物线开口向上，
x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣2，
解得：m＝3；
②m＜0，抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，
∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣2，
解得：m＝﹣；
故答案为：3或．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，满分共68分）
17．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若x1，x2是该方程的两个根，且满足x1x2+x1+x2＝m2+6，求m的值．
【分析】（1）利用根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，即可求出答案；
（2）先将足x1x2+x1+x2＝m2+6转化成﹣2m+5+4＝m2+6，再运用根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0，
∴（﹣4）2﹣4×1×（﹣2m+5）＞0，
∴m≥；
（2）∵x1，x2是该方程的两个根，
∴x1+x2＝4，x1x2＝﹣2m+5，
∵x1x2+x1+x2＝m2+6，
∴﹣2m+5+4＝m2+6，
∴m＝﹣3或1．
∵m≥；
∴m＝1．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，掌握根的判别式以及根与系数的关系的公式是解题关键．
18．（10分）二次函数的图象顶点坐标为（﹣2，﹣2），且过（1，0）．
（1）求该二次函数解析式；
（2）当﹣5≤x＜4时，求函数值y的取值范围．
【分析】（1）由抛物线顶点式表达式得：y＝a（x+2）2﹣2，将点（1，0）代入上式即可求解；
（2）根据x的取值范围和函数图象可以求得相应的y的取值范围．
【解答】解：（1）由抛物线顶点式表达式得：y＝a（x+2）2﹣2，
x＝1时，y＝a（1+2）2﹣2＝0，解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝（x+2）2﹣2；
（2）当x＝﹣2时，y＝﹣2，
当x＝4时，y＝6，
∴当﹣5≤x＜4时，函数值y的取值范围是﹣2≤y＜6，
故答案为：﹣2≤y＜6．
【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．
19．（10分）△ABC与△CDE都是等边三角形，连接AD、BE．
（1）如图①，当点B、C、D在同一条直线上时，则∠BCE＝ 120 度；
（2）将图①中的△CDE绕着点C逆时针旋转到如图②的位置．求证：AD＝BE．
【分析】（1）先利用等边三角形的性质求出∠DCE＝60°，最后用邻补角求解，即可得出结论；
（2）先判断出BC＝AC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，进而得出∠BCE＝∠ACD，即可判断出△BCE≌△ACD，由全等三角形的性质即可证得结论．
【解答】解：（1）∵△CDE是等边三角形，
∴∠DCE＝60°，
∵点B、C、D在同一条直线，
∴∠BCE+∠DCE＝180°，
∴∠BCE＝180°﹣∠DCE＝120°，
故答案为：120；
（2）∵△ABC与△CDE都是等边三角形，
∴BC＝AC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD．
【点评】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解决旋转问题关键是找到旋转角、找到旋转前后的不变量．
20．（12分）如图，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，点C、D是二次函数图象上一对对称点，一次函数y＝mx+n的图象过点B、D，
（1）直接写出点C、D的坐标；
（2）求二次函数的解析式；
（3）将二次函数y＝ax2+bx+3向左平移2个单位，并向下平移2个单位，直接写出得到的图象的解析式；
（4）根据图象求ax2+bx+3＜mx+n的解集；
（5）若将直线BD沿y轴的正方向向上平移t个单位长度后，与抛物线只有一个公共点，求此时t的值．
【分析】（1）令x＝0，得y＝0+0+3＝3，得到点C的坐标；根据函数y＝﹣x2﹣2x+3得到对称轴为直线x＝﹣1，设点D（m，3），结合，确定点D的坐标．
（2）把A（﹣3，0）、B（1，0）代入y＝ax2+bx+3解答即可．
（3）根据y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，结合平移规律得到平移解析式y＝﹣（x+1+2）2+4﹣2，整理即可．
（4）根据解析式交点的横坐标，结合不等式，利用数形结合思想求解即可．
（5）设向上平移t个单位后得到解析式为y＝﹣x+1+t，结合y＝﹣x2﹣2x+3，得到新方程的根的判别式等于零，列式计算即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，点C、D是二次函数图象上一对对称点，
∴y＝ax2+bx+3的对称轴为直线，
∴令x＝0，得y＝0+0+3＝3，
∴点C（0，3）；
设点D（m，3），
∴，
解得m＝﹣2．
故D（﹣2，3）．
（2）∵二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，点C、D是二次函数图象上一对对称点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．
（3）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴平移解析式y＝﹣（x+1+2）2+4﹣2，
整理，得y＝﹣x2﹣6x﹣7．
（4）∵二次函数y＝ax2+bx+3的图象与一次函数y＝mx+n的图象过点B、D，且B（1，0），D（﹣2，3），
∴ax2+bx+3＜mx+n的解集是x＜﹣2或x＞1．
（5）∵一次函数y＝mx+n的图象过点B、D，且B（1，0），D（﹣2，3），
∴，
解得．
∴一次函数y＝﹣x+1
设向上平移t个单位后得到解析式为y＝﹣x+1+t，
∵y＝﹣x2﹣2x+3，
∴﹣x2﹣2x+3＝﹣x+1+t，
∴x2+x+t﹣2＝0，
∵与抛物线只有一个公共点，
∴12﹣4×1×（t﹣2）＝0，
解得．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，抛物线的对称性，抛物线的平移，抛物线与一次函数的交点问题，解析式不等式解集问题，根的判别式的应用，熟练掌握待定系数法，平移，根的判别式是解题的关键．
21．（12分）524红薯富含膳食纤维，维生素（A，B，C，D，E）以及钾，铁等10余种微量元素，被营养学专家称为营养均衡的保健食品，深受广大消费者喜爱．某土特产批发店以30元/箱的价格进货．根据市场调查发现，批发价定位58元/箱时，每天可销售600箱，为保证市场占有率，决定降价销售，发现每箱降价1元，每天可增加销量60箱．
（1）直接写出每天的利润w与降价x元的函数关系式；
（2）当降价多少元时，每天可获得最大利润，为多少？
（3）要使每天的利润为21600元，并让利于民，应降价多少元？
【分析】（1）由题意知每天的利润w与降价x元的函数关系式可表示为：w＝（600+60x）（58﹣30﹣x）整理即可．
（2）利润最大，即对（1）中解析式进行配方，求出在取值范围内取最大值时的x，和与之对应的w值．
（3）w＝9750代入（1）中的函数关系式中，计算x值；让利于民，则取降价多的x值．
【解答】解：（1）w＝（600+60x）（58﹣30﹣x）
＝﹣60x2+1080x+16800，（0≤x≤28）；
（2）w＝﹣60x2+1080x+16800
＝﹣60（x2﹣18x）+16800
＝﹣60（x﹣9）2+21660；
∴当x＝9时，wmax＝21660，
（3）（600+60x）（58﹣30﹣x）＝21600，
解得：x1＝8（舍去）x2＝10，
答：应降价10元．
【点评】本题考查了一元二次函数解析式的实际应用，最值等知识．解题的关键在于依据数量关系正确的列解析式，配方法求解最值．
22．（14分）综合与探究：
如图，抛物线y＝ax2+x+c经过坐标轴上A、B、C三点，直线y＝﹣x+4过点B和点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）E是直线BC上方抛物线上一动点，连接BE、CE，求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；
（3）Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）求出B、C点坐标，再用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）过E点作EG∥y轴交BC于点G，设E（t，﹣t2+t+4），则G（t，﹣t+4），可得S△BCE＝﹣（t﹣2）2+4，当t＝2时，△BCE的面积有最大值4，此时E（2，4）；
（3）设Q（1，m），P（n，﹣n2+n+4），B（0，4），C（4，0），根据平行四边形的对角线分三种情况讨论，利用中点坐标公式求n的值即可求P点坐标．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4，
∴B（0，4），
当y＝0时，x＝4，
∴C（4，0），
将B、C点代入y＝ax2+x+c，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+4，
∴4k+4＝0，
解得k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
过E点作EG∥y轴交BC于点G，
设E（t，﹣t2+t+4），则G（t，﹣t+4），
∴EG＝﹣t2+2t，
∴S△BCE＝（﹣t2+2t）×4＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4，
当t＝2时，△BCE的面积有最大值4，此时E（2，4）；
（3）存在点P，使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
∵y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣1）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
设Q（1，m），P（n，﹣n2+n+4），B（0，4），C（4，0），
①当PQ为平行四边形的对角线时，1+n＝4，
解得n＝3，
∴P（3，）；
②当PB为平行四边形的对角线时，n＝4+1＝5，
∴P（5，﹣）；
③当PC为平行四边形的对角线时，4+n＝1，
解得n＝﹣3，
∴P（﹣3，﹣）；
综上所述：P点坐标为（3，）或（5，﹣）或（﹣3，﹣）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键．
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