2023-2024学年四川省自贡市富顺县安和实验学校八年级（上）第三次月考数学试卷（12月份）

这是一份2023-2024学年四川省自贡市富顺县安和实验学校八年级（上）第三次月考数学试卷（12月份），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题，解答下列各题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图形中，对称轴的条数最多的图形是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A．x2﹣9＝（x﹣3）2B．x2﹣x+4＝x（x﹣1）+4
C．（x+2）2＝x2+4x+4D．x2+2x＝x（x+2）
3．（3分）三角形的两边分别为11，23，则第三边长可以是（ ）
A．10B．11C．12D．13
4．（3分）如图：若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝2，则EC的长为（ ）
A．2B．2.5C．3D．5
5．（3分）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB＝AD＝DC，∠BAD＝40°，则∠C为（ ）
A．25°B．35°C．40°D．50°
6．（3分）如果x2+（m﹣2）x+9是个完全平方式，那么m的值是（ ）
A．8B．﹣4C．±8D．8或﹣4
7．（3分）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2
B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
D．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2
8．（3分）如图，过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当AP＝CQ时，PQ交AC于D，求DE的长为（ ）
A．B．C．D．不能确定
二、填空题（本题共6个小题，每个小题3分，共计18分）
9．（3分）如图是外周边缘为正八边形的木花窗挂件，则这个正八边形的每个内角度数为 ．
10．（3分）已知a+b＝2，则a2﹣b2+4b的值为 ．
11．（3分）分解因式：（a﹣b）2﹣4b2＝ ．
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD＝3，则BC的长为 ．
13．（3分）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数是 ．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝10cm．点C在直线l上，动点P从A点出发沿A→C的路径向终点C运动；动点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒1cm和2cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，分别过点P和Q作PM⊥直线l于M，QN⊥直线l于N．当点P运动时间为 秒时，△PMC与△QNC全等．
三、解答题（本题有5个小题，每个小题5分，共计25分）
15．（5分）先化简，再求值：
（2x﹣y）2﹣（y﹣2x）（﹣y﹣2x）+y（3x﹣2y），其中x，y满足|x+3y+7|+＝0．
16．（5分）分解因式：
①4x2﹣y2；
②a2（x﹣y）+16（y﹣x）．
17．（5分）已知一个等腰三角形内角为40°，求其它两个角的度数．
18．（5分）如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在边AB上，且AC＝DB，过点D作DE∥AC，并截取AB＝DE，且点C、E在AB同侧，连接BE．求证：BC＝EB．
19．（5分）如图，∠A＝∠D＝90°，BE平分∠ABC，且点E是AD的中点，求证：BC＝AB+CD．
20．（6分）在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）若∠CAE＝30°，求∠ACF度数．
21．（6分）如图所示，
（1）写出顶点C的坐标；
（2）作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出B1的坐标；
（3）若点A2（a，b）与点A关于x轴对称，求a﹣b的值．
22．（6分）如图，△ACB和△ECD都是等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．
（1）求证：AD＝BE；
（2）求∠AEB的度数．
五、解答下列各题（本题共2个小题，第23题7分，第24题8分，共计15分）
23．（7分）任意一个正整数都可以进行这样的分解：n＝p×q（p、q是正整数，且p≤q），正整数的所有这种分解中，如果p、q两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是正整数的最佳分解．并规定：F（n）＝．例如24可以分解成1×24，2×12，3×8或4×6，因为24﹣1＞12﹣2＞8﹣3＞6﹣4，所以4×6是24的最佳分解，所以F（24）＝．
（1）求F（18）的值；
（2）如果一个两位正整数，t＝10x+y（1≤x≤y≤9，x、y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差记为m，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数加上原来的两位正整数所得的和记为n，若mn为4752，那么我们称这个数为“最美数”，求所有“最美数”；
（3）在（2）所得“最美数”中，求F（t）的最大值．
24．（8分）探究与发现：
探究：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？
问题发现：
（1）已知如图1，∠FBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠FBC+∠ECB的数量关系；
（2）类比探究：已知如图2，在△ABC中，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，试探究∠P与∠A的数量关系；
（3）拓展延伸：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，直接写出∠P与∠A+∠B的数量关系．
2023-2024学年四川省自贡市富顺县安和实验学校八年级（上）第三次月考数学试卷（12月份）
参考答案与试题解析
一、单选题（本题有8个小题，每个小题3分，共24分，每个小题只有一个选项符合题意）
1．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、圆有无数条对称轴，
B、此图形有1条对称轴，
C、矩形有2条对称轴，
D、有1条对称轴，
∴对称轴的条数最多的图形是圆，
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是正确确定对称轴．
2．【分析】根据因式分解的概念，将多项式相加写成多个单项式相乘的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案．
【解答】解：A．x2﹣9≠（x﹣3）2，故本项不合题意．
B．等式右边不是整式积的形式，故本项不合题意．
C．是整式的乘法，不是因式分解，故本项不合题意．
D．符合因式分解的定义，故本项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键．
3．【分析】三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此即可解决问题．
【解答】解：设三角形第三边长是x，
由题意得：23﹣11＜x＜23+11，
∴12＜x＜34，只有D选项在此范围内，
故选：D．
【点评】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是理解三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
4．【分析】根据全等三角形性质求出AC，即可求出答案．
【解答】解：∵△ABE≌△ACF，AB＝5，
∴AC＝AB＝5，
∵AE＝2，
∴EC＝AC﹣AE＝5﹣2＝3，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
5．【分析】先根据AB＝AD，利用三角形内角和定理求出∠B和∠ADB的度数，再根据三角形外角的性质即可求出∠C的大小．
【解答】解：∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB，
由∠BAD＝40°得∠B＝＝70°＝∠ADB，
∵AD＝DC，
∴∠C＝∠DAC，
∴∠C＝∠ADB＝35°．
故选：B．
【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理，三角形的外角性质的理解和掌握，解答此题的关键是利用三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
6．【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值．
【解答】解：∵关于x的二次三项式x2+（m﹣2）x+9是完全平方式，
∴x2+（m﹣2）x+9＝（x±3）2，
而（x±3）2＝x2±6x+9，
∴m﹣2＝±6，
∴m＝8或﹣4．
故选：D．
【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
7．【分析】第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于a2﹣b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a﹣b）的长方形，面积是（a+b）（a﹣b）；这两个图形的阴影部分的面积相等．
【解答】解：∵图甲中阴影部分的面积＝a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），
而两个图形中阴影部分的面积相等，
∴阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：C．
【点评】此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．
8．【分析】过P作BC的平行线交AC于F，通过求证△PFD和△QCD全等，推出FD＝CD，再通过证明△APF是等边三角形和PE⊥AC，推出AE＝EF，即可推出AE+DC＝EF+FD，可得ED＝AC，即可推出ED的长度．
【解答】解：过P作BC的平行线交AC于F，
∴∠Q＝∠FPD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠APF＝∠B＝60°，∠AFP＝∠ACB＝60°，
∴△APF是等边三角形，
∴AP＝PF，
∵AP＝CQ，
∴PF＝CQ，
∵在△PFD和△QCD中，
，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD＝CD，
∵PE⊥AC于E，△APF是等边三角形，
∴AE＝EF，
∴AE+DC＝EF+FD，
∴ED＝AC，
∵AC＝1，
∴DE＝．
故选：A．
【点评】本题主要考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质，关键在于正确地作出辅助线，熟练运用相关的性质、定理，认真地进行计算．
二、填空题（本题共6个小题，每个小题3分，共计18分）
9．【分析】根据多边形的内角和公式列式计算即可得解．
【解答】解：这个正八边形每个内角的度数＝×（8﹣2）×180°＝135°．
故答案为：135°．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．
10．【分析】把所给式子整理为含（a+b）的式子的形式，再代入求值即可．
【解答】解：∵a+b＝2，
∴a2﹣b2+4b，
＝（a+b）（a﹣b）+4b，
＝2（a﹣b）+4b，
＝2a+2b，
＝2（a+b），
＝2×2，
＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了利用平方差公式分解因式，利用平方差公式和提公因式法整理出a+b的形式是求解本题的关键，同时还隐含了整体代入的数学思想．
11．【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：（a﹣b）2﹣4b2
＝（a﹣b+2b）（a﹣b﹣2b）
＝（a+b）（a﹣3b）．
故答案为：（a+b）（a﹣3b）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
12．【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝BD，求出∠BAD和∠CAD，根据直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴DB＝DA，
∴∠BAD＝∠B＝30°，
∴∠CAD＝30°，
∴AD＝2CD＝6，
∴DB＝AD＝6，
∴BC＝3+6＝9，
故答案为：9
【点评】本题考查的是直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．
13．【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″＝∠HAA′＝60°，进而得出∠AMN+∠ANM＝2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．
【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于点M，交CD于点N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠DAB＝120°，
∴∠HAA′＝60°，
∴∠AA′M+∠A″＝∠HAA′＝60°，
∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×60°＝120°，
故答案为：120°．
【点评】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．
14．【分析】对点P和点Q是否重合进行分类讨论，通过证明全等即可得到结果．
【解答】解：如图1所示：
∵△PMC≌△CNQ，
∴PC＝QC，
∴8﹣t＝10﹣2t，
解得：t＝2；
如图2所示：
∵点P与点Q重合，
∴△PMC≌△QNC，
∴8﹣t＝2t﹣10，
解得：t＝6；
故答案为：2或6．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，准确分析计算是解题的关键．
三、解答题（本题有5个小题，每个小题5分，共计25分）
15．【分析】直接利用整式的混合运算法则以及绝对值、算术平方根的性质得出x，y的值，进而计算得出答案．
【解答】解：原式＝4x2﹣4xy+y2﹣4x2+y2+3xy﹣2y2
＝﹣xy，
∵|x+3y+7|+＝0，
∴，
解得：，
∴原式＝﹣2×（﹣3）＝6．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
16．【分析】①用平方差公式因式分解即可；
②先提取公因式，再用平方差公式因式分解即可．
【解答】解：①4x2﹣y2
＝（2x+y）（2x﹣y）；
②a2（x﹣y）+16（y﹣x）
＝a2（x﹣y）﹣16（x﹣y）
＝（x﹣y）（a2﹣16）
＝（x﹣y）（a+4）（a﹣4）．
【点评】本题考查因式分解，熟练掌握提取公因式法、公式法因式分解的方法是解题的关键．
17．【分析】由一个等腰三角形内角为40°，分别从40°是等腰三角形顶角与40°是底角去分析求解即可求得答案．
【解答】解：（1）当40°是等腰三角形顶角时，底角度数为70°，70°；
（2）当40°是底角时，另一个底角40°，顶角为100°；
答：其它两个角的度数为：70°，70°或40°，100°．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握分类讨论思想的应用，小心别漏解．
18．【分析】由DE∥AC，根据平行线的性质得出∠EDB＝∠A，又BD＝CA，DE＝AB，利用SAS即可证明△DEB≌△ABC，从而得到EB＝BC．
【解答】证明：∵DE∥AC，
∴∠EDB＝∠A．
在△DEB与△ABC中，
，
∴△DEB≌△ABC（SAS），
∴EB＝BC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理与性质．
19．【分析】过点E作EF⊥BC于点F，只要证明△ABE≌△FBE（AAS），Rt△CDE≌Rt△CFE（HL） 即可解决问题；
【解答】证明：过点E作EF⊥BC于点F，则∠EFB＝∠A＝90°，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠FBE，∵BE＝BE，
∴△ABE≌△FBE（AAS），
∴AE＝EF，AB＝BF，
又点E是AD的中点，
∴AE＝ED＝EF，
∴Rt△CDE≌Rt△CFE（HL），
∴CD＝CF，
∴BC＝CF+BF＝AB+CD．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
20．【分析】（1）根据HL可证明Rt△ABE≌Rt△CBF；
（2）由全等三角形的性质得出∠BCF＝∠BAE＝15°，则可得出答案．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠CBF＝∠ABE＝90°，
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；
（2）解：∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠CAB＝∠ACB＝45°，
又∵∠BAE＝∠CAB﹣∠CAE＝45°﹣30°＝15°，
由（1）知：Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF＝∠BAE＝15°，
∴∠ACF＝∠BCF+∠ACB＝15°+45°＝60°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
21．【分析】（1）根据点的坐标的定义写出坐标即可；
（2）作出A、B、C三点关于y轴的对称点A1、B1、C1即可；
（3）根据轴对称的性质求出a、b的值即可；
【解答】解：（1）C（﹣2，﹣1）．
（2）△ABC关于y轴对称的△A1B1C1如图所示；
如图，B1（﹣3，1）．
（3）∵A（1，2）与A2（a，b）关于x轴对称，
可得：a＝1，b＝﹣2，
∴a﹣b＝3．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
22．【分析】（1）由条件△ACB和△DCE均为等边三角形，易证△ACD≌△BCE，从而得到对应边相等，即AD＝BE；
（2）根据△ACD≌△BCE，可得∠ADC＝∠BEC，由点A，D，E在同一直线上，可求出∠ADC＝120°，从而可以求出∠AEB的度数；
【解答】证明：（1）∵△ACB和△ECD都是等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
又∵∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴AD＝BE；
（2）在等边△ECD中，
∠CDE＝∠CED＝60°，
∴∠ADC＝120°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠BEC＝∠ADC＝120°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝120°﹣60°＝60°．
【点评】主要考查了全等三角形的判定方法和性质，等边三角形的性质的综合应用．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
五、解答下列各题（本题共2个小题，第23题7分，第24题8分，共计15分）
23．【分析】（1）先将18分解为：18＝1×18＝2×9＝3×6，3和6两因数之差的绝对值最小，所以3×6是18最佳分解，由此得F（18）的值；
（2）分别表示m和n，根据mn＝4752列式：99（y﹣x）（x+y）＝4752，根据题意分别求出符合条件的所有“最美数”；
（3）由（2）知：有两个最美数，分别求其F（t）的值，确定其最大值即可．
【解答】解：（1）∵18＝1×18＝2×9＝3×6，
∴3×6是18最佳分解，…（2分）
∴F（18）＝＝； …（3分）
（2）m＝（10y+x）﹣（10x+y）＝9（y﹣x），…（4分）
n＝（10y+x）+（10x+y）＝11（x+y），…（5分）
∴mn＝9（y﹣x）×11（x+y）＝99（y﹣x）（x+y），
∴99（y﹣x）（x+y）＝4752，即（y﹣x）（x+y）＝48，…（6分）
∵1≤x≤y≤9，x、y为自然数，
∴y﹣x＜x+y，
∴或或或或，
解得：（不合题意），（不合题意），（不合题意），，，
∴最美数为48和17．…（8分）
（3）∵48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8，
∴F（48）＝＝，
∵17＝1×17，
∴F（17）＝，
∴F（t）的最大值为．…（10分）
【点评】此题考查了因式分解的应用，弄清题中“最美数”的定义是解本题的关键．
24．【分析】（1）根据三角形外角的性质表示出∠FBC和∠ECB即可解答；
（2）先根据角平分线的性质求得∠PBC＝∠ABP，∠PCB＝∠ACP，然后利用三角形的内角和定理表示出∠P即可解答；
（3）根据（1）和（2）的结论代入整理即可．
【解答】解：（1）∵∠FBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC，
∴∠FBC+∠ECB＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A，
即∠FBC+∠ECB＝180°+∠A；
（2）∵BP平分∠ABC，
∴∠PBC＝∠ABP，
同理，∠PCB＝∠ACP，
∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠PCB＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，
即∠P＝90°+∠A；
（3）如图，延长DA、CB交于点O，
由（2）中结论知，∠P＝90°+∠O，由（1）中结论知，∠DAB+∠CBA＝180°+∠O，
∴∠P＝90°+（∠DAB+∠CBA﹣180°）＝（∠DAB+∠CBA），
即∠P＝（∠A+∠B）．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角以及角平分线的定义，解题的关键是根据外角的性质以及角平分线的定义正确表示角之间的关系．