北京市海淀区精华学校2024-2025学年高三上学期入学定位考试数学试题

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一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）C （2）D （3）B （4）A （5）D
（6）B （7）D （8）C （9）C （10）A
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11） （12）
（13） （14）（答案不唯一）
（15）① ③ ④
说明：12, 13, 14题都是第一个空3分，第二个2分；
15题 对一个给1分，对两个给3分，全对给5分，如果有错的，则给0分。
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（共14分）
解：（Ⅰ）连接，在中，
因为分别为，的中点，
所以 ……….2分
又平面，平面
所以平面． ……….4分
（Ⅱ）因为直三棱柱
所以平面，
所以， ……….5分
又为直角，
所以， ……….6分
又
所以平面， ……….7分
所以，
由（Ⅰ），
所以. ……….8分
（Ⅲ）建立空间直角坐标系， ……….9分
则，，，．
因此，．
设平面的法向量为，则
即 ……….11分
令，于是． ……….12分
设直线与平面所成角为．
所以． ……….14分
（17）（共13分）
解：（Ⅰ）由正弦定理 ， ……….3分
所以． ……….4分
代入得
所以. ……….5分
（Ⅱ）选择条件①：． ……….6分
因为， 所以. ……….8分
因为为锐角，所以 ……….9分
由余弦定理， ……….11分
代入得到
所以.
解得，（舍）. ……….12分
所以的周长为. ……….13分
选择条件②：. ……….6分
因为，所以, ……….7分
所以，以下同选择①.
选择条件 = 3 \* GB3 ③：． ……….6分
因为， 所以. ……….8分
因为为锐角，所以 ……….9分
由余弦定理， ……….11分
代入得到
所以, ……….12分
所以的周长为. ……….13分

（18）（共13分）
解：（Ⅰ）设事件为“某一天此款甜品销售量不超过个”， ……….1分
所以． ……….4分
（Ⅱ）. ……….5分
，
，
，
，
所以的分布列为
……….9分所以 ……….11分
（Ⅲ）可以认为此款甜品的销售情况发生了变化.
因为以前此款甜品的日销售量大于70个的频率为，
现在30天中有20天销售量大于70个，其频率远大于改进前,
所以可以认为此款甜品的销售情况发生了变化． ……….13分
(也可认为无法确定有无变化，30天中有20天销售量大于70个是随机事件，按之前频率估计计算30天中有20天销售量大于70个的概率比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化)
（19）（共15分）
解：（Ⅰ）由题设，
所以的方程为． ……….5分
（Ⅱ）法一：
设，所以 ……….6分
所以， ……….7分
直线的方程为． ……….8分
令，得 ……….9分
又， ……….10分
直线的方程为． ……….11分
令，得 ， ……….12分
所以．
所以 ， ……….14分
所以，
所以，
所以，. ……….15分
法二：
由题意直线斜率存在，且不为0，设直线的方程为．
……….6分
令，得 ……….7分
由 得． ……….8分
易得．设 ，则， ……….9分
，所以 ……….10分
直线的方程为． ……….11分
令，得 ， ……….12分
所以． ……….13分
所以，. ……….14分
所以，. ……….15分
（20）（共15分）
解：（Ⅰ）当时，，
所以 ． ……….2分
所以． ……….3分
所以直线的倾斜角为. ……….4分
（Ⅱ）因为． ……….5分
所以， ……….6分
所以直线的方程为， ……….7分
令. ……….8分
法一：
当时，，
所以.
当时，，
所以， ……….9分
所以对且成立，
即除切点之外，曲线在直线的上方. ……….10分
法二：
因为，
所以时，．
时，，，
与的变化情况如下表：
……….9分
所以，函数在处取得最小值，
所以对且成立，
即除切点之外，曲线在直线的上方. ……….10分
（Ⅲ= 3 \* ROMAN）因为函数在上单调递增，
所以对成立 ……….11分
令， ……….12分
所以， ……….13分
所以对成立， 所以在上单调递增， ……….14分
所以只需， 所以.
所以的取值范围为 . ……….15分
（21）（共15分）
解：（Ⅰ），，，,. ……….4分
（Ⅱ）假设数列单调递增，
因为， 所以，
所以
所以
所以，
所以，矛盾.
所以假设不成立，
所以数列 不是单调递增数列. ……….9分
（Ⅲ）若，
因为，，
所以

因为，又，所以， ……….11分
所以，，
所以，
因为，所以
所以，即
因为，且
所以
所以
所以
即，所以，
又所以，
此时 ，矛盾
所以不存在，使得 . ……….15分↘
↗