北京市清华大学附属中学朝阳学校、望京学校2025届高三上学期开学检测数学试题

这是一份北京市清华大学附属中学朝阳学校、望京学校2025届高三上学期开学检测数学试题，共17页。试卷主要包含了解答题共6小题，共85分等内容，欢迎下载使用。
班级_________ 姓名________________________
一、选择题共10题，每题4分，共40分.
1．已知集合，，则
A．{1,2} B．{1,4}C．{2,3} D．{9,16}
2． 命题“”的否定是
A. B.
C. D.
3．下列函数中，是偶函数，且在区间上单调递增的为
A． B. C. D.
4.在同一个坐标系中画出函数的部分图象，其中，则下
列所给图象中可能正确的是
5.已知实数，，在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是
6.若向量，满足，，且，则与的夹角为
A． B． C． D．
7．已知，，满足，则
A． B． C． D．
8.已知实数，. “，”是””的
9.函数，.若存在，使得，则的最大值为
A. 5B. 6C. 7D. 8
10.已知函数 若对于任意正数，关于的方程都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数的个数为
二.填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）
如图所示，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点在第二象限，，则点的坐标为__________．
12.已知函数是上的奇函数，并且是周期为的周期函数，若，则
； ．
13. 已知，则的最小值为_________,此时等于______.
14. 已知函数，若对任意都有，则常数的一个取值为______．
15. 已知，给出以下命题：
① 当时，存在，有两个不同的零点
② 当时，存在，有三个不同的零点
③ 当时，对任意的，的图象关于直线对称
④ 当时，对任意的，有且只有两个零点
其中所有正确的命题序号是_____________.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16、（本小题满分13分） 已知函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若在区间上有且只有两个零点，求的取值范围.
17.（本小题共14分）某公司在2013~2021年生产经营某种产品的相关数据如下表所示：
注：年返修率=年返修台数年生产台数.
（Ⅰ）从2013~2020年中随机抽取一年，求该年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率；
（Ⅱ）公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀. 现从2013~2020年中随机选出3年，记表示这3年中生产部门获得考核优秀的次数，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）记公司在2013~2015年，2016~2018年，2019~2021年的年生产台数的方差分别为，，. 若，其中表示这两个数中最大的数．请写出的最大值和最小值.（只需写出结论）
18. （本小题满分13分）在中，，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为己知，使得存在且唯一确定，求的面积．
条件①：，； 条件②：，边上的高为；
条件③：，．
注：如果选择的条件不符合要求，第二问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，则按第一个解答计分．
19.（本小题共15分）
已知函数.
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程为，求；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）若关于的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：.
20. (本小题15分)
已知函数.
（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；
（Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（Ⅲ）讨论函数的零点个数.
21.（本小题共15分）
在平面直角坐标系中，为坐标原点. 对任意的点，定义.
任取点，记，若此时
成立，则称点相关.
（Ⅰ）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由；
①； ②.
（Ⅱ）给定，，点集.
(ⅰ)求集合中与点相关的点的个数；
(ⅱ)若，且对于任意的，点相关，求中元素个数的最大值.
高三开学检测试卷
一、选择题共10题，每题4分，共40分.
1．已知集合，，则B
A．{1,2} B．{1,4}C．{2,3} D．{9,16}
2． 命题“”的否定是C
A. B.
C. D.
3．下列函数中，是偶函数，且在区间上单调递增的为B
A． B. C. D.
4.在同一个坐标系中画出函数的部分图象，其中，则下
列所给图象中可能正确的是D
5.已知实数，，在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是D
6.若向量，满足，，且，则与的夹角为C
A． B． C． D．
7．已知，，满足，则A
A． B． C． D．
8.已知实数，. “，”是””的A
9.函数，.若存在，使得，则的最大值为
故选D
A. 5B. 6C. 7D. 8
10.已知函数 若对于任意正数，关于的方程都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数的个数为B
填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）
如图所示，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点在
第二象限，，则点的坐标为__________．11．
12.已知函数是上的奇函数，并且是周期为的周期函数，若，则
； ．12、，
13. 已知，则的最小值为_________,此时等于______. 13. 21；11
14. 已知函数，若对任意都有，则常数的一个取值为______．
14.
15. 已知，给出以下命题：
① 当时，存在，有两个不同的零点
② 当时，存在，有三个不同的零点
③ 当时，对任意的，的图象关于直线对称
④ 当时，对任意的，有且只有两个零点
其中所有正确的命题序号是_____________.
15、 eq \\ac(○,1)②③

三、解答题：本大题共6小题，共85分．
16、（本小题满分13分）
已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）若在区间上，求有且只有两个零点，求的取值范围.

（18）（本小题共14分）
某公司在2013~2021年生产经营某种产品的相关数据如下表所示：
注：年返修率=年返修台数年生产台数.
（Ⅰ）从2013~2020年中随机抽取一年，求该年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率；
（Ⅱ）公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀. 现从2013~2020年中随机选出3年，记表示这3年中生产部门获得考核优秀的次数，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）记公司在2013~2015年，2016~2018年，2019~2021年的年生产台数的方差分别为，，. 若，其中表示这两个数中最大的数．请写出的最大值和最小值.（只需写出结论）
（注：，其中为数据的平均数）
（18）（本小题共14分）
解：（Ⅰ）由图表知，2013~2020年中，产品的平均利润小于100元/台的年份只有2015年，2016年.
所以 从2013~2020年中随机抽取一年，该年生产的产品的平均利润不小于100元/台的概率为．
（Ⅱ）由图表知，2013~2020年中，返修率超过千分之一的年份只有2013，2015年，
所以的所有可能取值为．
，，．
所以的分布列为
故的数学期望．
（Ⅲ）的最大值为，最小值为．
18.在中，，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为己知，使得存在且唯一确定，求的面积．
条件①：，；
条件②：，边上的高为；
条件③：，．
注：如果选择的条件不符合要求，第二问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，则按第一个解答计分．
（18）（本小题14分）
解：（Ⅰ）因为，
所以． ……2分
所以．
因为，所以．
所以，解得． ……4分
又因为． ……5分
所以． ……6分
（Ⅱ）若选择条件①，．
在中，因为，
因为 ，所以． ……2分
因为，
所以，解得． ……5分
所以． ……6分
所以． ……8分
若选择条件②，边上的高为．
在中，因为，边上的高为，
所以．
因为，
所以，即．
因为，，所以为锐角或钝角，不唯一确定．
若选择条件③，
方法一：
因为，
所以，即．
因为,所以，．
因为，
所以．解得或（舍去）
所以．
方法二：
在中，因为，所以，即．
因为，所以，，
过作于D，即．
在中， ．
在中，．
所以．
所以．
（20）（本小题共15分）
已知函数.
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程为，求；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）若关于的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：.
解：（Ⅰ）因为 ，
所以 .
所以 ．
又因为 ，
所以 曲线在点处的切线方程为，即．所以
（Ⅱ）的定义域为.
.
当时，，所以 的单调递增区间为.
当时，令，得.
与在区间上的情况如下：
所以 的单调递减区间为，单调递增区间为.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
①当时，在上单调递增.
所以 至多有一个实根，不符合题意.
②当时，在上单调递减，在上单调递增.
所以 的最小值为.
若，则，所以 至多有一个实根，不符合题意.
若，即，得.
又 ，且在上单调递减，
所以 在上有唯一零点.
因为 方程有两个不相等的实数根，且较小的实数根为，
所以 在上的唯一零点就是.
方法一：
所以 ，.
所以 .
所以 “”等价于“”，即.
由（Ⅱ）知，当时，的最小值为.
又因为 ，所以 .
所以 .
方法二：
“”等价于“”.
又，
所以 .
因为 在上单调递减，
所以 “”等价于“”，
即.
因为 ，
令，则， .
即等价于，即.
所以 “”等价于“”.
令，.
所以 .
当时，，所以 在上单调递增.
所以 ，而.
所以 成立.
所以 .
20.已知函数.
（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；
（Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（Ⅲ）讨论函数的零点个数.
20. (本小题15分)
（20）（本小题15分）
解：（Ⅰ），所以，
， ……2分
所以切线斜率为，又切点为，
所以切线方程为．
（Ⅱ）， ……1分
因为函数在区间上单调递增，
所以当时，恒成立，即恒成立，
即恒成立． ……2分
又，
当且仅当，即时，有最小值，
所以． ……5分
经检验，时，函数在区间上单调递增，
所以实数的取值范围是．
（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知，在区间上单调递增，
且，所以在上恰有一个零点． ……2分
当时，令，得，
，故设两根为，
因为且，所以，
与的情况如下：
因为，所以且，
又当时，，
取，有，
再取，有．
所以函数在区间，各有一个零点，且，共3个零点；

综上，当时，的零点个数为1；当时，的零点个数为3．
（21）（本小题共14分）
在平面直角坐标系中，为坐标原点. 对任意的点，定义.
任取点，记，若此时
成立，则称点相关.
（Ⅰ）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由；
①； ②.
（Ⅱ）给定，，点集.
(ⅰ)求集合中与点相关的点的个数；
(ⅱ)若，且对于任意的，点相关，求中元素个数的最大值.
（21）（本小题共14分）
解：（Ⅰ）①由题知，进而有
，
，
所以.
所以两点相关；
②由题知，进而有
，
，
所以，
所以两点不相关.
（Ⅱ）(ⅰ)设的相关点为，，,
由题意，，.
因为点相关，则.
所以.
所以.
当时,,则相关点的个数共3个;
当时,则相关点的个数共个;
当时, ，则相关点的个数共个.
所以满足条件点B共有(个).
(ⅱ)集合中元素个数的最大值为.
符合题意
下证：集合中元素个数不超过.
设，若点相关，则
.
则.
所以.
设集合中共有个元素，分别为，，，
不妨设，而且满足当，.
下证：.
若，.
若，则必有.
记，，，，
显然，数列至多连续3项为0，必有，
假设，
则.
而,
因此，必有或.
可得，不可能同时为0，则.
所以.
必有，.
所以，，.
因此，，.
若，则，矛盾.
同理，，矛盾.
因此，假设不成立.
所以.
所以集合中元素个数的最大值为. A．
B．
C．
D．
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
（A）
（B）
（C）
无数
年 份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
年生产台数（单位：万台）
3
4
5
6
6
9
10
10
a
年返修台数（单位：台）
32
38
54
58
52
71
80
75
b
年利润（单位：百万元）
3.85
4.50
4.20
5.50
6.10
9.65
10.00
11.50
c
A．
B．
C．
D．
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
（A）
（B）
（C）
（D）无数
年 份
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
年生产台数（单位：万台）
3
4
5
6
6
9
10
10
a
年返修台数（单位：台）
32
38
54
58
52
71
80
75
b
年利润（单位：百万元）
3.85
4.50
4.20
5.50
6.10
9.65
10.00
11.50
c
极小值
+
0
-
0
+
增
极大
减
极小
增