专题12.3 乘法公式【十大题型】-2024-2025学年八年级数学上册讲义（华东师大版）

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专题12.3 乘法公式【十大题型】【华东师大版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc180" 【题型1 利用乘法公式进行简便运算】  PAGEREF _Toc180 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc19409" 【题型2 利用乘法公式求代数式的值】  PAGEREF _Toc19409 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc25106" 【题型3 由完全平分式求字母的值】  PAGEREF _Toc25106 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc25012" 【题型4 平方差公式的几何背景】  PAGEREF _Toc25012 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc24586" 【题型5 完全平方公式的几何背景】  PAGEREF _Toc24586 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc24579" 【题型6 乘法公式的应用】  PAGEREF _Toc24579 \h 16 HYPERLINK \l "_Toc22301" 【题型7 乘法公式的证明】  PAGEREF _Toc22301 \h 19 HYPERLINK \l "_Toc5360" 【题型8 由乘法公式求最值】  PAGEREF _Toc5360 \h 23 HYPERLINK \l "_Toc6527" 【题型9 乘法公式的规律探究】  PAGEREF _Toc6527 \h 25 HYPERLINK \l "_Toc7022" 【题型10 乘法公式中的新定义问题】  PAGEREF _Toc7022 \h 29知识点：乘法公式1．平方差公式（1）平方差公式语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公式．（2）平方差公式的特点①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．②右边是相同项的平方减去相反项的平方．③公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以是多项式．2．完全平方公式（1）完全平方公式，语言叙述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式．（2）完全平方公式的特点：两个公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个“符号”不同；右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同．【题型1 利用乘法公式进行简便运算】【例1】（23-24八年级·江苏盐城·期中）用简便方法计算：502-49×51= ．【答案】1【分析】考查平方差公式的相关应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键；按照平方差公式将49×51进行转化为50-1×50+1，即可简便计算结果.【详解】502-49×51=502-50-1×50+1=502-502-1=502-502+1=1．故答案为：1．【变式1-1】（23-24八年级·宁夏银川·阶段练习）计算：(1)99×101；(2)20012-1．【答案】(1)9999(2)4004000【分析】本题考查平方差公式，（1）利用平方差公式进行计算即可；（2）利用平方差公式进行计算即可．【详解】（1）解：原式=100-1100+1=1002-12=10000-1=9999；（2）解：原式2001+12001-1=2002×2000=4004000．【变式1-2】（23-24八年级·上海徐汇·阶段练习）计算：201920192-2020×2018= .【答案】2019.【分析】原式利用数的变形化为平方差公式2020×2018=(2019+1)(2019-1)=20192-1，计算即可求出值．【详解】解：∵2020×2018=(2019+1)(2019-1)=20192-1∴201920192-2020×2018=201920192-(20192-1)=20191=2019故答案是：2019.【点睛】此题考查了用平方差公式进行简便计算，熟悉公式特点是解本题的关键．【变式1-3】（23-24八年级·湖南怀化·期末）计算：1012÷1-1221-1321-142…1-1202221-120232= ．【答案】2023【分析】利用平方差公式将1-1n2变形为1-1n1+1n，通过相邻的项约分化简即可求解．【详解】解：1012÷1-1221-1321-142…1-1202221-120232==1012÷1-121+121-131+131-141+14…1-120221+120221-120231+12023 =1012÷12×32×23×43×34×54×…×20212022×20232022×20222023×20242023=1012÷12×20242023=1012÷10122023=1012×20231012=2023故答案为：2023．【点睛】本题考查利用平方差公式进行简便运算，解题的关键是将1-1n2变形为1-1n1+1n．【题型2 利用乘法公式求代数式的值】【例2】（23-24八年级·重庆渝中·阶段练习）已知x2=2y+5，y2=2x+5(x≠y)，则x3+2x2y2+y3的值为 ．【答案】-12【分析】首先根据题意得出x2-y2=x+yx-y=2y-x且x2+y2=2x+y+10，从而进一步得出x+y=-2，由此进一步求出xy的值，最后再通过将所求式子分解为x+yx2+y2-xy+2进一步计算即可.【详解】∵x2=2y+5，y2=2x+5，∴x2-y2=x+yx-y=2y-x，x2+y2=2x+y+10，∵x≠y，而x+yx-y=2y-x，∴x+y=-2，∴x2+y2=2x+y+10=6=x+y2-2xy，∴xy=-1，∴x3+2x2y2+y3=x+yx2+y2-xy+2=-2×7+2=-12，故答案为：-12.【点睛】本题主要考查了乘法公式的综合运用，熟练掌握相关公式及方法是解题关键.【变式2-1】（23-24八年级·山东聊城·期末）若x+2y=8，x2+4y2=36，则xy= ．【答案】7【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式进行计算即可．【详解】解：∵ x+2y=8，x2+4y2=36， ∴(x+2y)2=64，∴x2+4xy+4y2=64，∴xy=7，故答案为：7．【变式2-2】（23-24八年级·江苏盐城·期中）如果a2-2a=1，那么代数式a(a-2)+(a-1)2的值为（    ）A．-1 B．1 C．3 D．2【答案】C【分析】本题考查了整式的化简求值；分别利用单项式乘多项式法则与完全平方公式展开，再合并同类项，最后整体代入即可．【详解】解：a(a-2)+(a-1)2=a2-2a+a2-2a+1=2a2-4a+1=2(a2-2a)+1；当a2-2a=1时原式=2×1+1=3．故选：C．【变式2-3】（23-24八年级·重庆北碚·期末）已知a，b满足a2+1b2+4=8ab，则ab+1b= ．【答案】52【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．由a-12≥0，b-22≥0，a2+1b2+4=8ab，得a=1，b=2，代入求解即可．【详解】解：∵a-12≥0，b-22≥0，∴a2+1≥2a，b2+4≥4b，当a=1及b=2时，等号成立，∴a2+1b2+4≥8ab，当a=1及b=2时，等号成立，∵a2+1b2+4=8ab，∴a=1，b=2，∴ab+1b=1×2+12=52．故答案为：52．【题型3 由完全平分式求字母的值】【例3】（23-24八年级·全国·课后作业）若多项式4x2+Q+1是完全平方式，请你写出所有满足条件的单项式Q是 ．【答案】±4x , 4x4，-1，-4x2【分析】根据题意可知本题是考查完全平方式，设这个单项式为Q，①如果这里首末两项是2x和1这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和1积的2倍，故Q = ±4x; ②如果如果这里首末两项是Q和1，则乘积项是4x2=2×2x2，所以Q = 4x4.【详解】解：∵4x2 +1±4x = (2x±1)24x2+1+4x4 = (2x2+1)2;∴加上的单项式可以是±4x , 4x4,-1，-4x2中任意一个,故答案为：±4x , 4x4，-1，-4x2【点睛】本题主要考查完全公式的有关知识，根据已知两个项分类讨论求出第三项是解题的关键.【变式3-1】（23-24八年级·山东青岛·期末）若x2-kx+36是一个完全平方式，则k= ．【答案】±12【分析】本题主要考查完全平方式，利用完全平方式的结构特征即可求出结果．【详解】解：∵ x2-kx+36是一个完全平方式即x±62= x2±12x+36∴k=±12故答案为：±12．【变式3-2】（23-24八年级·陕西宝鸡·期末）已知x2+2k+1x+16是一个完全平方式，则k的值为（    ）A．2 B．3或-5 C．1 D．±2【答案】B【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．【详解】解：∵x2+2k+1x+16是一个完全平方式，∴2k+1=±4×2，解得：k=3或k=-5，故选：B．【变式3-3】（23-24八年级·上海长宁·期中）填空：已知多项式x2+x4+ 是一个完全平方.（请在横线上填上所以的适当的单项式.）【答案】14x6；14;2x3【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．【详解】解：完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2 ，分情况讨论：（1）当x4相当于2ab项时， x2+x4+14x6=(x+12x3)2，可满足题意；（2）当x2相当于2ab项时，x2+x4+14=(x2+12)2，可满足题意；（3）当x4与x2相当于a与b，则需要求的是2ab项，则x2+x4+2x3=(x+x2)2，可满足题意.故答案为14x6；14；2x3.【点睛】本题考查了完全平方式，以及单项式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【题型4 平方差公式的几何背景】【例4】（23-24八年级·安徽六安·期中）如图，边长为a的大正方形是由1个边长为b的小正方形和4个形状大小完全相同的梯形组成．(1)用含a，b的代数式表示其中一个梯形的面积：_________；(2)请用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，由此，你能得到一个怎样的公式？【答案】(1)14a+ba-b或14a2-b2(2)方法一：a+ba-b，方法二：a2-b2；公式：a+ba-b=a2-b2【分析】本题主要考查的是平方差公式的几何背景，整式的运用，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．（1）根据梯形的面积公式求解即可；（2）方法一：用（1）中梯形面积乘以4即可；方法二，用大正方形的面积减去小正方形的面积即可．【详解】（1）解：根据题意得：梯形的面积为a+b×a-b22=14a+ba-b，或：a2-b2÷4=14a2-b2；故答案为：14a+ba-b或14a2-b2；（2）解：方法一：用梯形面积乘以4，即14a+ba-b×4=a+ba-b；方法二：用大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2-b2．【变式4-1】（23-24八年级·浙江杭州·期中）两个大小不一的正方形①和②如图1放置时，AB=a，CD=b．现有①和②两种正方形各四个，摆放成如图2所示形状，那么阴影部分的面积可用a，b表示为（　　）A．4a2-4b2 B．4ab C．a2-b2 D．ab【答案】B【分析】本题考查了整式的运算，设正方形②的边长为x，正方形①的边长为y，由图1可得x+y=a，x-y=b，即可得x+yx-y=ab，得到x2-y2=ab，再由图2可得S阴影=4x2-4y2=4x2-y2=4ab，即可求解，掌握平方差公式的运用是解题的关键．【详解】解：设正方形②的边长为x，正方形①的边长为y，由图1可得，x+y=a，x-y=b，∴x+yx-y=ab，即x2-y2=ab，∴S阴影=4x2-4y2=4x2-y2=4ab，故选：B．【变式4-2】（23-24八年级·陕西咸阳·阶段练习）【知识生成】（1）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，例如：从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形如图1，然后将剩余部分拼成一个长方形如图2．图1中剩余部分的面积为______，图2的面积为______，请写出这个代数恒等式；【知识应用】（2）应用（1）中的公式，完成下面任务：若m是不为0的有理数，已知P=a+2ma-2m，Q=a+ma-m，比较P、Q大小；【知识迁移】（3）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图3表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图3中图形的变化关系，通过计算写出一个代数恒等式．  【答案】（1）-3m2；（2）P