专题13.6 垂直平分线的判定与性质【十大题型】-2024-2025学年八年级数学上册讲义（华东师大版）

这是一份专题13.6 垂直平分线的判定与性质【十大题型】-2024-2025学年八年级数学上册讲义（华东师大版），文件包含专题136垂直平分线的判定与性质十大题型华东师大版原卷版docx、专题136垂直平分线的判定与性质十大题型华东师大版解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共55页， 欢迎下载使用。

专题13.6 垂直平分线的判定与性质【十大题型】【华东师大版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc9116" 【题型1 由垂直平分线的性质求线段长度】  PAGEREF _Toc9116 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc4003" 【题型2 由垂直平分线的性质求周长】  PAGEREF _Toc4003 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc13275" 【题型3 由垂直平分线的性质求角度】  PAGEREF _Toc13275 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc11263" 【题型4 由垂直平分线的性质求最值】  PAGEREF _Toc11263 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc31773" 【题型5 由垂直平分线的性质探究角度之间的关系】  PAGEREF _Toc31773 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc27991" 【题型6 由垂直平分线的性质进行证明】  PAGEREF _Toc27991 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc4954" 【题型7 证明是线段的垂直平分线】  PAGEREF _Toc4954 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc6380" 【题型8 尺规作线段的垂直平分线或垂线】  PAGEREF _Toc6380 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc13140" 【题型9 线段的垂直平分线的判定与性质的综合运用】  PAGEREF _Toc13140 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc27894" 【题型10 线段的垂直平分线的实际应用】  PAGEREF _Toc27894 \h 13知识点1：垂直平分线的性质（1）线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．（2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB．【题型1 由垂直平分线的性质求线段长度】【例1】（23-24八年级·重庆渝中·开学考试）如图，在△ABC中，DE⊥AC于点D，且AD=CD，∠ABE+∠CBE=180°，EF⊥BC于点F，若AB=7，BF=1，则BC= ．【变式1-1】（23-24八年级·广东佛山·期末）如图，已知线段AB，分别以点A,B为圆心，5为半径作弧相交于点C,D．连接CD，点E在CD上，连接CA,CB,EA,EB．若△ABC与△ABE的周长之差为4，则AE的长为 ．【变式1-2】（23-24八年级·江苏连云港·期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与边AB,AC分别交于点D，E，已知△ABC与△BCE的周长分别为20cm和12cm，则BD的长为 cm．  【变式1-3】（2024·广东广州·二模）如图：小文在一个周长为22cm的△ABC中，截出了一个周长为14cm的△ADC，发现点D刚好落在AB的垂直平分线上，请问AB的长是 cm．【题型2 由垂直平分线的性质求周长】【例2】（23-24八年级·广东梅州·期末）如图，在△ABC中，AB=11，AC=6，BC=8，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，则△BCE的周长为（    ）A．18 B．14 C．17 D．19【变式2-1】（23-24八年级·山东青岛·阶段练习）如图，在△ABC中，BC=12，AB的垂直平分线交BC边于点F，AC的垂直平分线交BC边于点H，则△AFH的周长是（    ）A．63 B．10 C．12 D．4+63【变式2-2】（23-24八年级·山西太原·期末）如图，在△ABC中，AE=CE=1,DE⊥AC．△BCD的周长为6，则△ABC的周长是 ．【变式2-3】（23-24八年级·山东青岛·期末）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE分别与AB、BC交于点D、E，AC的垂直平分线FG分别与BC、AC交于点F、G，BC=20，EF=7，则△AEF的周长是 ．【题型3 由垂直平分线的性质求角度】【例3】（23-24八年级·辽宁丹东·期中）如图，∠A=80°，点O是AB，AC的垂直平分线OD，OE的交点，则∠BOC的度数为（    ）  A．145° B．150° C．160° D．165°【变式3-1】（23-24八年级·北京东城·期末）如图，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，连接BE，则∠BEC的大小为（    ）  A．40° B．50° C．80° D．100°【变式3-2】（23-24八年级·陕西西安·期末）在△ABC中，AB，AC的垂直平分线FD，GE分别交BC于点 D，E，若∠B=30°，∠C=48°，则∠DAE的度数为（   ）A．26° B．15° C．24° D．30°【变式3-3】（23-24八年级·湖北武汉·期末）如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AOB=α，则∠AIB的大小为（   ）  A．α B．14α+90° C．12α+90° D．180°-12α【题型4 由垂直平分线的性质求最值】【例4】（23-24八年级·山东烟台·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，M为直线EF上任意一点．若BC=4，△ABC面积为10，则BM+MD长度的最小值为（    ）A．4 B．5 C．6 D．7【变式4-1】（23-24八年级·山东日照·期末）如图，△ABC的周长为30，BC=12,AC=5，作BC边的垂直平分线PF分别交AB，BC于点F,E．连接PB、PC，若点M是直线PF上的一个动点，则△MAC周长的最小值为 ．【变式4-2】（23-24八年级·吉林白城·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC的中点，点E、F分别是边AB、AC上的点．将△ABC沿直线EF翻折，使点A与点C重合．点P是直线EF上的任意一点，连接PD、PC．若BC=3，△ABC的面积为9．则△CDP周长的最小值为 ．【变式4-3】（23-24八年级·山西临汾·期末） 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连接PA，PB．将线段AB沿直线MN对折，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC=BC，点P是直线MN上任意一点．  求证：PA=PB分析图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得PA=PB．(1)请结合以上分析、利用图1写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． (2)定理应用：如图2，在△ABC中AB=AC，AB的垂直平分线交AB与点N，交AC于点M，连接MB，若AB=10cm，△MBC的周长是18cm．①求BC的长  ②点P是直线MN上一动点，在运动的过程中，△PBC的周长是否存在最小值？若存在，标出点P的位置，并求出此时△PBC的周长；若不存在，说明理由．【题型5 由垂直平分线的性质探究角度之间的关系】【例5】（2024八年级·上海·专题练习）如图，在△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小： .（提示：可添加辅助线）  【变式5-1】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上.（1）线段AB、AC、CE三者之间的长度有什么关系？（2）线段AB+BD与DE有怎样的关系呢？【变式5-2】（23-24八年级·福建龙岩·开学考试）如图， △ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连接EG、EF．(1)求证：BG=CF；(2)请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．【变式5-3】（23-24八年级·山东烟台·期末）如图，△ABC中，∠ABC=45°,AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F．(1)求证：DC=DF；(2)若点E恰在线段AD的垂直平分线上，求证：AB=BD+DF．【题型6 由垂直平分线的性质进行证明】【例6】（2024·四川南充·中考真题）如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E．(1)求证：△BDE≌△CDA．(2)若AD⊥BC，求证：BA=BE【变式6-1】（23-24八年级·湖北襄阳·期末）如图，D，E分别是AB，AC的中点，CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E．求证：AC=AB．  【变式6-2】（23-24八年级·陕西榆林·期末）如图，在四边形ABDC中，AD所在直线垂直平分线段BC，过点C作CF∥BD交AB于点F，延长AB，CD交于点E．求证：  (1)CB平分∠ECF；(2)∠ACF=∠E．【变式6-3】（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点G，交AB于点E，EF∥BC交AC于点F，求证：∠DEC=∠FEC． 知识点2：垂直平分线的判定与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．【题型7 证明是线段的垂直平分线】【例7】（23-24八年级·江苏泰州·期中）如图，已知△ABC中，AB=AC，点D,E分别为AB，AC上的点，BE=CD．(1)△ABD与△ACE全等吗？为什么？(2)连接AF,DE，求证：AF垂直平分DE．【变式7-1】（23-24八年级·江苏南通·阶段练习）如图，在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD与CE相交于F．  (1)求证：AF=CF；(2)连接BF，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由．【变式7-2】（23-24八年级·江苏·周测）如图，已知△ABC，点P为∠BAC的平分线上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F(1)求证∶ PE=PF (2)若BE=CF，求证：点P在BC的垂直平分线上．【变式7-3】（23-24八年级·江苏·周测）如图，OC是∠AOB的平分线，D、E两点分别在边OA、OB上，且OD=OE，点F在OC上，连接DF、EF、DE．  (1)DE与OF有何关系？为什么？(2)求证：DF=EF． 【题型8 尺规作线段的垂直平分线或垂线】【例8】（2024·山东青岛·一模）已知△ABC，在BC上方求作一点P，使PB=PC，且S△PBC=S△ABC．【变式8-1】（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图，已知△ABC AB90°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，F，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点M，N，直线EF，MN交于点P．(1)求证：点P在线段BC的垂直平分线上；(2)已知∠FAN=56°，求∠FPN的度数．【变式9-3】（23-24八年级·山东烟台·期末）如图，DA⊥AB，垂足为A,CB⊥AB，垂足为B，E为AB的中点，AB=BC,CE⊥BD．（1）求证：BE=AD．（2）有同学认为AC是线段DE的垂直平分线，你认为对吗？说说你的理由；（3）若∠ABD=25°，求∠BDC的度数．【题型10 线段的垂直平分线的实际应用】【例10】（2024八年级·全国·专题练习）如图所示，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄，请利用尺规作图法，在AB上找一点C，使得汽车行驶到C处时，到村庄M，N的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）  【变式10-1】（23-24八年级·全国·课后作业）有一段关于古代藏宝图的记载（如图）：“从赤石向一棵杉树笔直走去，恰好在其连线中点处向右转90°前进，到达唐伽山山脚的一个洞穴，宝物就在洞穴中．”怎样根据这段记载找到藏宝洞穴的位置？在图上标出藏宝洞穴的位置．【变式10-2】（23-24八年级·湖南永州·期中）如图，A、B、C三个居民小区，现要建一个生活超市，使它到这三个居民小区的距离相等，试确定生活超市位置P．  【变式10-3】（23-24八年级·贵州毕节·期末）作图题：金沙县新城区黄河大道l的一侧有A、B两个商住小区，为了方便居民出行，公交公司准备在黄河大道l上修建一个公交车站．请问公交车站P建在什么位置从商住小区A乘坐公交车到小区B的路程最近，请在图中做出点P的位置．