江苏省镇江市外国语学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份江苏省镇江市外国语学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷，共17页。试卷主要包含了关于x的一元二次方程，关于x的方程a等内容，欢迎下载使用。

1．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，r为半径的圆与边AB有两个交点，则r的取值范围是（ ）
A．r＝B．r＞C．3＜r＜4D．
2．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1＝0的一个根是0，则实数a的值为（ ）
A．﹣1B．0C．1D．﹣1或1
3．一个等腰三角形的两条边长分别是方程2x2﹣13x+15＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．8B．11.5C．10D．8或11.5
4．已知a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则﹣的值为（ ）
A．B．C．﹣1D．1
5．关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是（ ）
A．x1＝﹣2，x2＝1B．x1＝1，x2＝3
C．x1＝﹣4，x2＝﹣1D．无法求解
6．已知关于x的一元二次方程有实数根，设此方程的一个实数根为t，令y＝4t2﹣4t﹣5m+4，则（ ）
A．y＞﹣2B．y≥﹣2C．y≤﹣2D．y＜﹣2
7．已知关于x的方程ax2+bx+c＝5的一个根是2，且二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝2，则这条抛物线的顶点坐标为（ ）
A．（2，﹣3）B．（2，1）C．（2，5）D．（5，2）
8．如图，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+2（a≠0）与y＝﹣ax2﹣2x（a≠0）的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
9．若抛物线y＝x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（ ）
A．（﹣3，﹣6）B．（﹣3，0）C．（﹣3，﹣5）D．（﹣3，﹣1）
二．填空题（共11小题）
10．已知关于x的方程（m+2）x2+4mx+1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是 ．
11．方程x2﹣2021x＝0中较小的根是 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（0，1）和（，0），则△OAB外接圆的圆心坐标是 ．
13．若一个三角形两条边长为和2和4，第三边长满足方程x2﹣7x+10＝0，则此三角形的周长为 ．
14．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
15．如图，在等腰直角△ABC中，斜边AB的长度为8，以AC为直径作圆，点P为半圆上的动点，连接BP，取BP的中点M，则CM的最小值为 ．
16．若一元二次方程x2﹣x+k＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
17．已知a﹣b＝8，ab+16≤0，则a+2b的值为 ．
18．如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，∠A＝30°，OB＝4，以O为圆心，OB为半径画弧，分别交OA、AB于点C、D，则阴影部分面积为 （结果保留π）．
19．已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a+b＝0；③a﹣b+c＜0；④b2＞4ac；⑤当x＜2时，y随x的增大而增大，你认为其中正确的是 .（填序号）
20．当x≤1时，二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为 ．
三．解答题（共7小题）
21．如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．
（1）求证：BD＝CD；
（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．
22．已知一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，且a、b满足b＝++3，求c的值．
23．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2＝0．
（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个实数根x1，x2满足x1x2+x1+x2＝3，求m的值．
24．矩形ABCD中，AB＝17，BC＝，点P在AB边上，且满足AP＝3PC，求PB之长．
25．已知CD为△ABC的中线，∠A及∠BDC的度数分别是方程x2﹣75x+1350＝0的两根．
（1）求∠A及∠BDC的度数；
（2）求∠B的度数．
26．在学了乘法公式“（a±b）2＝a2±2ab+b2”的应用后，王老师提出问题：求代数式x2+4x+5的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．
同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；
解：x2+4x+5＝x2+4x+22﹣22+5＝（x+2）2+1，
∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．
当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1．
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）直接写出（x﹣1）2+3的最小值为 ．
（2）求代数式x2+10x+32的最小值．
（3）你认为代数式﹣+2x+5有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值．
（4）若7x﹣x2+y﹣11＝0，求x+y的最小值．
27．如图一，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点C，AD⊥EF，垂足为D．
（1）求证：∠CAD＝∠BAC；
（2）如图二，若把直线EF向上移动，使得EF与⊙O相交于G，C两点（点C在点G的右侧），连接AC，AG，若题中其他条件不变，这时图中是否存在与∠CAD相等的角？若存在，找出一个这样的角，并证明；若不存在，说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．【解答】解：如图，
∵BC＞AC，
∴以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB有两个交点，则圆的半径应大于CD，小于或等于AC，
由勾股定理知，AB＝＝5．
∵S△ABC＝AC•BC＝CD•AB＝×3×4＝×5•CD，
∴CD＝，
即R的取值范围是＜r≤3．
故选：D．
2．【解答】解：把x＝0代入方程得：
|a|﹣1＝0，
∴a＝±1，
∵a﹣1≠0，
∴a＝﹣1．
故选：A．
3．【解答】解：解方程2x2﹣13x+15＝0得：x＝5或1.5，
①当等腰三角形的三边为5，5，1.5时，能组成三角形，三角形的周长是5+5+1.5＝11.5，
②当等腰三角形的三边为1.5，1.5，5时，，1.5+1.5＜5，不符合三角形的三边关系定理，不能组成三角形，舍去，
∴该等腰三角形的周长是11.5．
故选：B．
4．【解答】解：∵知a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，
∴a2+a﹣1＝0，
∴a2+a＝1，即a（a+1）＝1，
∴﹣＝＝＝1．
故选：D．
5．【解答】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1（a，m，b均为常数，a≠0），
在方程a（x+m+2）2+b＝0中，
x+2＝﹣2或x+2＝1，
解得x1＝﹣4，x2＝﹣1，
故选：C．
6．【解答】解：∵方程有实数根，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×m≥0，
解得m≤1，
∵方程x2﹣x+m＝0的根为t，
∴t2﹣t+m＝0，
∴4t2﹣4t+m＝0，
即4t2﹣4t＝﹣m，
∴y＝4t2﹣4t﹣5m+4＝﹣m﹣5m+4＝﹣6m+4，
∵m≤1，
∴y≥﹣2．
故选：B．
7．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝2，方程ax2+bx+c＝5的一个根是2，
∴当x＝2时，y＝ax2+bx+c＝5，
∴抛物线的顶点坐标是（2，5）．
故选：C．
8．【解答】解：∵y＝ax+2，
∴b＝2，
∴一次函数图象与y轴的正半轴相交，
①当a＞0时，
则二次函数y＝﹣ax2﹣2x（a≠0）的图象开口向下，经过原点且对称轴为直线x＝﹣＝﹣＜0，
②当a＜0时，
则二次函数y＝﹣ax2﹣2x（a≠0）的图象开口向上，经过原点且对称轴为直线x＝﹣＝﹣＞0，
故D正确；
故选：D．
9．【解答】解：∵某定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴该定弦抛物线过点（0，0）、（2，0），
∴该抛物线解析式为y＝x（x﹣2）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1．
将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新抛物线的解析式为y＝（x﹣1+2）2﹣1﹣3＝（x+1）2﹣4．
当x＝﹣3时，y＝（x+1）2﹣4＝0，
∴得到的新抛物线过点（﹣3，0）．
故选：B．
二．填空题（共11小题）
10．【解答】解：由题意得：m+2≠0，
解得：m≠﹣2，
故答案为：m≠﹣2．
11．【解答】解：∵x2﹣2021x＝0，
∴x（x﹣2021）＝0，
则x＝0或x﹣2021＝0，
解得x1＝0，x2＝2021，
∴方程x2﹣2021x＝0中较小的根是0，
故答案为：0．
12．【解答】解：∵△AOB是直角三角形，
∴△OAB外接圆的圆心是斜边AB的中点，
∵点A、B的坐标分别为（0，1）和（，0），
∴△OAB外接圆的圆心坐标是（，），
故答案为：（，）．
13．【解答】解：∵x2﹣7x+10＝0，
∴（x﹣2）（x﹣5）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣5＝0，
解得：x＝2或x＝5，
当x＝2时，三边2+2＝4，不能构成三角形；
当x＝5时，此三角形的周长为2+4+5＝11，
故答案为：11
14．【解答】解：由已知得：，
即，
解得：k＞﹣1且k≠0．
故答案为：k＞﹣1且k≠0．
15．【解答】解：如图，连接PA、PC，取AB、BC的中点E、F，连接EF、EM、FM，取EF的中点O，连接OM，OC，CM．
∵AC是直径，
∴∠APC＝90°，
∵BE＝EA，BM＝MP，
∴EM∥PA，
同理FM∥PC，
∴∠BME＝∠BPA，∠BMF＝∠BPC，
∴∠BME+∠BMF＝∠BPA+∠BPC＝90°，
∴∠EMF＝90°，
∴点M的轨迹是（EF为直径的半圆，图中红线部分），
∵BC＝AC，∠ACB＝90°，AB＝8，
∴AC＝BC＝4，
∵AE＝EB，BF＝CF＝2，
∴EF＝AC＝2，EF∥AC，
∴∠EFB＝∠EFC＝∠ACB＝90°，OE＝OF＝OM＝，
∴OC＝＝＝，
∵CM≥OC﹣OM，
∴CM≥﹣．
则CM的最小值为．
故答案为：﹣．
16．【解答】解：由一元二次方程x2﹣x+k＝0可知，a＝1，b＝﹣1，c＝k，
∵方程有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0，即（﹣1）2﹣4k≥0，解得k≤．
故答案为：k≤．
17．【解答】解：∵a﹣b＝8，
∴a＝8+b，
∵ab+16≤0，
∴（8+b）b+16＝b2+8b+16＝（b+4）2≤0，
∴（b+4）2＝0，
∴b＝﹣4，a＝4，
∴a+2b＝4+2×（﹣4）＝﹣4，
故答案为：﹣4．
18．【解答】解：在△AOB中，∠AOB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，AB＝2OB＝8，
∴OA＝＝＝4，
∵OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∴∠DOA＝∠AOB﹣∠BOD＝30°，
∴∠DOA＝∠A，
∴DO＝DA，过D作DC⊥OA于C，
∴OC＝AC＝OA＝2，
在Rt△ODC中，
∵∠DOA＝30°，
∴CD＝OD＝OB＝×4＝2，
∴S阴影＝S△AOD﹣S扇形＝×4×2﹣＝4﹣，
故答案为：4﹣．
19．【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（0，0），结论①正确；
②∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，且抛物线过原点，
∴﹣＝2，c＝0，
∴b＝﹣4a，c＝0，
∴4a+b＝0，结论②正确；
③∵当x＝﹣1时，y值为正，
∴a﹣b+c＞0，结论③错误；
④由图象得二次函数与x轴交点有两个知，b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，结论④正确；
⑤观察函数图象可知：当x＜2时，y随x增大而减小，结论⑤错误．
综上所述，正确的结论有：①②④．
故答案为：①②④．
20．【解答】解：二次函数对称轴为直线x＝m，
①m≤1时，x＝m取得最大值，m2+1＝4，
解得m＝±，
∵m＝都不满足﹣1≤m≤1的范围，
∴m＝﹣；
②m＞1时，x＝1取得最大值，﹣（1﹣m）2+m2+1＝4，
解得m＝2．
综上所述，m＝﹣或2时，二次函数有最大值4．
故答案为：2或．
三．解答题（共7小题）
21．【解答】（1）证明：∵AD为直径，AD⊥BC，
∴由垂径定理得：
∴根据圆心角、弧、弦之间的关系得：BD＝CD．
（2）解：B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．
理由：由（1）知：，
∴∠1＝∠2，
又∵∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴∠DBE＝∠3+∠4，∠DEB＝∠1+∠5，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠4＝∠5，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE．
由（1）知：BD＝CD
∴DB＝DE＝DC．
∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．（7分）
22．【解答】解：∵a﹣2≥0，a﹣2≤0，
∴a＝2，
∴b＝3，
∵一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根是1，
∴a+b+c＝0，
∴2+3+c＝0，
∴c＝﹣5．
23．【解答】（1）证明：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×（﹣m2）＝16+4m2．
∵m2≥0，
∴16+4m2＞0，即Δ＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根．
（2）解：∵方程x2﹣4x﹣m2＝0的两个实数根分别为x1、x2，
∴x1+x2＝4，x1x2＝﹣m2．
又∵x1x2+x1+x2＝3，
∴﹣m2+4＝3，即m2＝1，
解得m＝±1．
故m的值为±1．
24．【解答】解：设PB为x，则AP＝17﹣x，
∵AP＝3PC，
∴PC＝，
在Rt△PBC中，PC2＝PB2+BC2，
∴x2+21＝（）2，
∴4x2﹣17x﹣50＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣（不符合题意舍去），
答：PB之长为2．
25．【解答】解：（1）x2﹣75x+1350＝0，
（x﹣30）（x﹣45）＝0，
x﹣30＝0或x﹣45＝0，
x1＝30，x2＝45，
∵∠BDC＝∠A+∠ACD，
∴∠BDC＞∠A，
∴∠BDC＝45°，∠A＝30°
∴∠A的度数为30°，∠BDC的度数为45°；
（2）过点B作BH⊥AC，垂足为H，连接HD，
∴∠AHB＝∠CHB＝90°，
∵∠A＝30°，
∴∠ABH＝90°﹣∠A＝60°，
∵DH是斜边AB上的中线，
∴DH＝BD＝AB，
∴△BHD是等边三角形，
∴HD＝HB，∠HDB＝∠ABH＝60°，
∵∠BDC＝45°，
∴∠HDC＝∠HDB﹣∠BDC＝15°，
∵∠ACD＝∠BDC﹣∠A＝15°，
∴∠ACD＝∠HDC＝15°，
∴HD＝HC，
∴HB＝HC，
∴∠HBC＝∠HCB＝45°，
∴∠ABC＝∠ABH+∠HBC＝105°，
∴∠ABC的度数为105°．
26．【解答】解：（1）（x﹣1）2+3的最小值为3．
故答案为：3；
（2）x2+10x+32
＝x2+10x+52﹣52+32
＝（x+5）2+7，
∵（x+5）2≥0，
∴（x+5）2+7≥7，
∴当（x+5）2＝0时，（x+5）2+7的值最小，最小值为7，
∴x2+10x+32的最小值为7；
（3）﹣+2x+5＝﹣（x2﹣6x+9）+8＝﹣（x﹣3）2+8，
∵﹣（x﹣3）2≤0，
∴﹣（x﹣3）2+8≤8，
∴代数式﹣+2x+5有最大值，最大值为8；
（4）∵7x﹣x2+y﹣11＝0，
∴y＝x2﹣7x+11，
∴x+y＝x2﹣7x+11+x＝x2﹣6x+11＝x2﹣6x+32﹣32+11＝（x﹣3）2+2，
∵（x﹣3）2≥0，
∴（x﹣3）2+2≥2，
当（x﹣3）2＝0时，（x﹣3）2+2的值最小，最小值为2，
∴x+y的最小值为2．
27．【解答】（1）证明：如图一，连接OC，则OC⊥EF，且OC＝OA，
易得∠OCA＝∠OAC．
∵AD⊥EF，
∴OC∥AD．
∴∠OCA＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠OAC．
即∠CAD＝∠BAC．
（2）解：与∠CAD相等的角是∠BAG．
证明如下：
如图二，连接BG．
∵四边形ACGB是⊙O的内接四边形，
∴∠ABG+∠ACG＝180°．
∵D，C，G共线，
∴∠ACD+∠ACG＝180°．
∴∠ACD＝∠ABG．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BAG+∠ABG＝90°
∵AD⊥EF
∴∠CAD+∠ACD＝90°
∴∠CAD＝∠BAG．