2024-2025学年四川省内江一中高一（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年四川省内江一中高一（上）开学数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式正确的是( )
A. a6÷a2=a3B. 3x−2=13x2
C. 1 3−2= 3+2D. a −1a=− −a
2.若二次根式 2−x有意义，则x的取值范围是( )
A. x≥2B. x>2C. x≤2D. x<2
3.把x2−2xy+y2+x−y分解因式的结果是( )
A. (x−y)(x−y+1)B. (x−y)(x−y−1)
C. (x+y)(x−y+1)D. (x+y)(x−y−1)
4.某班级有20个女同学，22个男同学，班上每个同学的名字都写在一张小纸条上放入一个盒子搅匀如果老师随机地从盒子中取出1张纸条，则下列命题中正确的是( )
A. 抽到男同学名字的可能性是50%
B. 抽到女同学名字的可能性是50%
C. 抽到男同学名字的可能性小于抽到女同学名字的可能性
D. 抽到男同学名字的可能性大于抽到女同学名字的可能性
5.在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=2x2先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得到的抛物线的表达式为( )
A. y=2(x−3)2−4B. y=2(x+3)2+4
C. y=2(x−3)2+4D. y=2(x+3)2−4
6.如图，PA，PB是圆O切线，A、B为切点，AC是直径，∠P=40°，则∠BAC=( )
A. 40°
B. 30°
C. 20°
D. 10°
7.已知集合A={x|−3≤x<3}，B={x|x≥1}，则A∩B=( )
A. {x|x≥−3}B. {x|x≥1}C. {x|1≤x<3}D. {x|−3≤x<1}
8.一次函数y=kx+b与y=kbx(k,b为常数，且kb≠0)，它们在同一坐标系内的图象可能为( )
A. B.
C. D.
9.现在定义两种新运算，“▲”、“★”，对于任意两个整数，a▲b=a+b-1，a★b=a×b-1，则7★（-3▲5）的结果是（ ）
A. -6B. 48C. 6D. -48
10.如图，以点O为圆心，AB为直径的半圆经过点C，若C为弧AB的中点，若AB=4，则图中阴影部分的面积是( )
A. π
B. 2+2π
C. 2
D. 2+π
11.已知不等式ax2+bx−1>0的解集为{x|−12A. {x|x≤−3或x≥−2}B. {x|−3≤x≤−2}
C. {x|2≤x≤3}D. {x|x≤2或x≥3}
12.若实数a≠b，且a，b满足a2−8a+5=0，b2−8b+5=0，则代数式b−1a−1+a−1b−1的值为( )
A. −20B. 2C. 2或−20D. 2或20
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.5G是第五代移动通信技术，5G网络下载速度可以达到每秒1300000KB以上，这意味着下载一部高清电影只需1秒，将1300000用科学记数法表示应为______．
14.若|a−2|+(b+12)2=0，则(ab)2019= ______．
15.如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP=2，则CD= ______．
16.已知函数f(x)=x1+x，计算f(12024)+f(12023)+⋯+f(12)+f(1)+f(1)+f(2)+⋯+f(2024)= ______．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1) 2× 8−| 3−2|− 12÷ 4；
(2)先化简，再求值：(2−x−1x+1)÷x2+6x+9x2−1，其中x=2．
18.(本小题12分)
创建文明城市，构建美好家园.为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购购买2个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要420元，购买5个A型垃圾桶和1个B型垃圾桶共需要400元．
(1)求每个A型垃圾桶和每个B型垃圾桶各为多少元；
(2)若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15200元，至少需购买A型垃圾桶多少个？
19.(本小题12分)
自我校深化课程改革以来，初中数学校本课程开设了：A.利用影长求物体高度；B，制作视力表；C.设计遮阳棚；D.池塘里有多少条鱼.四类数学实践活动选修课，供学生们选择，其中九年级11班和12班的两个班的同学将选择结果绘制成如右两幅不完整的统计图．
根据图中信息解决下列问题：
(1)本次共______名学生选修了数学实践活动课，扇形统计图中B所对应的扇形的圆心角为______度；
(2)补全条形统计图；
(3)选修C类数学实践活动的学生中有2名女生和2名男生表现出色，现从4人中随机抽取2人来帮助学校设计遮阳棚，请用列表或画树状图法求所抽取的两人恰好是1名女生和1名男生的概率．
20.(本小题12分)
问题背景：一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论.如图1，已知AD是△ABC的角平分线，则可证ABAC=BDCD.小慧的证明思路是：如图2，过点C作CE//AB，构造相似三角形来证明ABAC=BDCD.尝试证明：

(1)请参照小慧提供的思路，利用图2证明：ABAC=BDCD；
(2)应用拓展：如图3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的E点处．
①若AC=2，AB=4，求DE的长；
②若BC=m，∠C=α，求DE的长(用含m，α的式子表示)．
21.(本小题12分)
已知一次函数y=kx+b(k≠0)与x轴交于点A(3,0)，且过点(7,8)，回答下列问题．
(1)求该一次函数解析式；
(2)一次函数的解析式也称作该直线的斜截式方程，如解析式y=kx+b我们只需要将y向右移项就可以得到kx−y+b=0，将x前的系数k替代为未知数A，将y前的系数1替代为未知数B，将常数项b替代为未知数C，即可得到方程Ax+By+C=0，该二元一次方程也称为直线的一般方程(其中A一般为非负整数，且A、B不能同时为0).一般地，在平面直角坐标系中，我们求点到直线间的距离，可用下面的公式求解：
点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离(d)公式是：d=|A0x+By0+C| A2+B2
如：求：点P(1,1)到直线y=−13x+32的距离．
解：先将该解析式整理为一般方程：
(I)移项−13x−y+32=0
(II)将A化为非负整数即得一般式方程：2x+6y−9=0
由点到直线的距离公式，得d=|2×1+6×1−9| 22+62=1 40= 1020
①根据平行线的性质，我们利用点到直线的距离公式，也可以求两平行线间的距离．
已知(1)中的解析式代表的直线与直线2x−y+9=0平行，试求这两条直线间距离；
②已知一动点P(t2,t)(t为未知实数)，记h为点P到直线3x−4y+7=0的距离(点P不在该直线上)，求h的最小值．
22.(本小题12分)
如图，抛物线y=−12x2+bx+c与y轴交于点A(0,3)，与x轴交于点B(4,0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)连接AB，点C为线段AB上的一个动点，过点C作y轴的平行线交抛物线于点D，设C点的横坐标为m，线段CD长度为d(d≠0).求d与m的函数关系式(不要求写出自变量m的取值范围)；
(3)在(2)的条件下，连接AD，是否存在m值，使△ACD是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、原式=a4，所以A选项错误；
B、原式=3x2，所以B选项错误；
C、原式=−( 3+2)=− 3−2，所以C选项错误；
D、a<0，原式=− (−a)2×(−1a)=− −a，所以D选项正确．
故选：D．
由已知结合指数幂的运算性质及指数幂的定义检验各选项即可判断．
本题主要考查了指数幂的运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：若二次根式 2−x有意义，则2−x≥0，即x≤2．
故选：C．
根据二次根式下非负即可得．
本题考查二次根式的意义，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：易知x2−2xy+y2+x−y=(x−y)2+x−y=(x−y)(x−y+1)．
故选：A．
根据完全平方公式并提取公因式即可得出结果．
本题主要考查分式分解定理，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：对于A，抽到男同学名字的可能性是22÷(22+20)≈52%，故A错误；
对于B，抽到女同学名字的可能性是48%，故B错误；
对于C，由于抽到男同学的概率大，所以抽到男同学名字的可能性大于抽到女同学名字的可能性，故C错误；
对于D，由AB可知抽到男同学名字的可能性大于抽到女同学名字的可能性，故D正确．
故选：D．
运用概率公式对各项进行逐一判断即可．
本题主要考查了概率的定义和性质，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：抛物线y=2x2先向左平移3个单位长度得到y=2(x+3)2，
将抛物线y=2(x+3)2向下平移4个单位长度得到y=2(x+3)2−4．
故选：D．
由函数图象的变换法则即可得解．
本题考查函数图象变换，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：连接OB，∵PA，PB是圆O切线，A、B为切点，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠APB=40°，
∴∠AOB=360°−∠OAP−∠APB−∠OBP=140°，
∵OA=OB，
∴∠BAC=∠OBA=12(180°−∠AOB)=20°，
故选：C．
连接OB，根据切线的性质得出∠OAP=∠OBP=90°，求出∠BOA，根据等腰三角形的性质求出∠BAC=∠OBA，根据三角形的内角和定理求出即可．
本题考查了圆的切线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能根据切线的性质得出∠OAP=∠OBP=90°是解此题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：A={x|−3≤x<3}，B={x|x≥1}，
则A∩B={x|1≤x<3}．
故选：C．
根据集合的交集运算可得答案．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】C
【解析】解：A中两直线满足条件kb>0k>0b<0，不符合题意；
B中两直线满足条件kb>0k<0b>0，不符合题意；
C中两直线满足条件kb<0k<0b>0，符合题意；
D中两直线满足条件kb<0k>0b>0，不符合题意．
故选：C．
由已知结合直线的位置关系与直线斜率及纵截距的关系检验各选项即可判断．
本题主要考查了一次函数性质的应用，属于基础题．
9.【答案】C
【解析】解：a▲b=a+b-1，
则-3▲5=-3+5-1=1，
a★b=a×b-1，
7★（-3▲5）=7★1=7×1-1=6．
故选：C．
根据已知条件，结合新定理，即可求解．
本题主要考查新定义的应用，属于基础题．
10.【答案】A
【解析】解：∵AB是圆O的直径，
∴∠AOC=∠BOC=90°，
∵AB=4，
∴OA=OC=OB=2，
∴S△AOC=S△BOC=12×2×2=2，
∴阴影部分的面积S=S△COB+S扇形AOC−S△AOC
=S扇形AOC
=90π×22360
=π．
故选：A．
求出∠AOC=∠BOC=90°，OA=OC=OB=2，求出阴影部分的面积=S扇形AOC，再根据扇形的面积公式求出答案即可．
本题考查了垂径定理，扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：已知扇形的圆心角是n°，半径是r，那么这个扇形的面积=nπr2360．
11.【答案】A
【解析】解：因为不等式ax2+bx−1>0的解集为{x|−12所以ax2+bx−1=0的两根为−12,−13，
即−12+(−13)=−ba−12×(−13)=−1a，
解得a=−6，b=−5．
所以不等式x2−bx−a≥0可化为x2+5x+6≥0，其解集为{x|x≤−3或x≥−2}．
故选：A．
由ax2+bx−1=0的两根为−12,−13，得出a，b，再由一元二次不等式的解法得出答案．
本题要考查了“三个二次”的关系，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
12.【答案】A
【解析】解：由已知条件可知，a、b为方程x2−8x+5=0的两根，此时△>0，
∴a+b=8，ab=5，
∴b−1a−1+a−1b−1=a2+b2−2(a+b)+2ab−(a+b)+1=(a+b)2−2ab−2(a+b)+2ab−(a+b)+1=−20
故选A
根据a≠b，知a、b满足条件a2−8a+5=0，b2−8b+5=0，可把a，b看成x2−8x+5=0的两个根，根据根与系数的关系即可解答求出结果．
本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是把a，b看成方程的两个根再求解，把要求的结果整理成含有两根和与积的形式．
13.【答案】1.3×106
【解析】解：由科学记数法的定义可得，1300000=1.3×106．
故答案为：1.3×106．
借助科学记数法定义即可得．
本题主要考查了科学记数法的定义，属于基础题．
14.【答案】−1
【解析】解：|a−2|+(b+12)2=0，
则a=2，b=−12，
故ab=−1，
故(ab)2019=−1．
故答案为：−1．
根据已知条件，先求出a，b，再进行运算，即可求解．
本题主要考查指数幂的运算法则，属于基础题．
15.【答案】4 5
【解析】解：连接OC如图所示：
⊙O的直径AB=12，
则OC=OB=6，
BP=2，
则OP=6−2=4，
故CP= OC2−OP2= 36−16=2 5，
故CD=2CP=4 5．
故答案为：4 5．
根据已知条件，结合垂径定理，即可求解．
本题主要考查与圆有关的比例线段，考查垂径定理的应用，属于基础题．
16.【答案】2024
【解析】解：由f(x)=x1+x，
得f(x)+f(1x)=x1+x+1x1+1x=x1+x+11+x=1，
所以f(12024)+f(12023)+⋯+f(12)+f(1)+f(1)+f(2)+⋯+f(2024)
=[f(12024)+f(2024)]+[f(12023)+f(2023)]+⋯+[f(12)+f(2)]+[f(1)+f(1)]
=1+1+1+⋯+1=2024．
故答案为：2024．
先求出f(x)+f(1x)，再观察所求，倒序相加即可得解．
本题考查倒序相加法，考查运算求解能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)原式=4−(2− 3)− 3=4−2+ 3− 3=2；
(2)∵x=2，
∴(2−x−1x+1)÷x2+6x+9x2−1=x+3x+1⋅(x+1)(x−1)(x+3)2=x−1x+3=2−12+3=15．
【解析】(1)进行根式的运算即可；
(2)根据完全平方式和平方差公式即可化简原式，然后代入x=2即可得出答案．
本题考查了根式的运算，平方差和完全平方公式，考查了计算能力，是基础题．
18.【答案】解：(1)设A型垃圾桶的价格为a元/个，B型垃圾桶的价格为b元/个，
由题意可得：2a+3b=4205a+b=400，
解得a=60，b=100，
所以每个A型垃圾桶为60元，每个B型垃圾桶为100元；
(2)设购买的A型垃圾桶为x(0≤x≤200)个，则购买的B型垃圾桶为200−x个，
由题意知：60x+100(200−x)≤15200，解得x≥120，
可得120≤x≤200，
即至少需购买A型垃圾桶120个．
【解析】(1)根据题意构造二元一次方程组，即可求得结果；
(2)设购买的A型垃圾桶为x(0≤x≤200)个，利用总费用可构造不等式，求得结果．
本题考查二次不等式的解法及用不等式解决实际应用，属于中档题．
19.【答案】60 144
【解析】解：(1)本次调查的学生人数为12÷20%=60(名)，
则扇形统计图中B所对应的扇形的圆心角为360°×2460=144°．
故答案为：60，144；
(2)A类别人数为60×15%=9(人)，则D类别人数为60−(9+24+12)=15(人)，
补全条形图如下：
(3)画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中所抽取的两人恰好是1名女生和1名男生的结果数为8，
∴所抽取的两人恰好是1名女生和1名男生的概率为812=23．
(1)用C类别人数除以其所占百分比可得总人数，用360°乘以B类别人数占总人数的比例即可得；
(2)总人数乘以A类别的百分比求得其人数，用总人数减去A，B，C的人数求得D类别的人数，据此补全图形即可；
(3)画树状图展示12种等可能的结果数，再找出所抽取的两人恰好是1名女生和1名男生的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图，是基础题．
20.【答案】(1)证明：∵AB/​/CE，∴∠BAD=∠CED，
又∠ADB=∠CDE，
∴△ADB∽△EDC，∴ABEC=BDCD，
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，
又∠BAD=∠CED，
∴∠CAD=∠CED，∴AC=EC，∴ABAC=BDCD．
(2)解：①由翻折条件可知：AD平分∠BAC，CD=DE，
由(1)得：ABAC=BDCD，
∵AC=2，AB=4，∴BD=2CD，且BC2=AB2+AC2=20，
∴BC=2 5，
∴DE=CD=13BC=2 53．
②在Rt△ABC中，BC=m，∠C=α，
∴AC=mcsα，AB=msinα，
由翻折条件可知：AD平分∠BAC，CD=DE，
由(1)得：ABAC=BDCD，即BD=CDtanα，
∴BC=BD+CD=CD(1+tanα)=m，
∴DE=CD=m1+tanα．
【解析】(1)先证△ADB∽△EDC，可得ABEC=BDCD，再结合角平分线的性质，证明AC=EC，即可；
(2)①由(1)中结论可得BD=2CD，结合勾股定理和CD=DE，即可得解；
②利用锐角三角函数表示出AB，AC，根据①的方法，求解即可．
本题考查三角形中的几何计算，熟练掌握角平分线的性质定理，相似三角形的判定与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)将点(3,0)，(7,8)代入y=kx+b(k≠0)得
3k+b=07k+b=8，解得k=2b=−6，
所以一次函数的解析式为y=2x−6．
(2)①由(1)得一次函数的解析式为y=2x−6，
转化为2x−y−6=0，且与2x−y+9=0，
在直线2x−y+9=0上取一点(1,11)，
则点(1,11)到直线2x−y−6=0的距离为d=|2×1−11−6| 22+(−1)2=3 5．
②根据点到直线的距离公式得h=|3t2−4t+7| 32+42=|3(t−23)2+173|5，
当t=23时，hmin=1735=1715．
【解析】(1)将点(3,0)，(7,8)代入y=kx+b(k≠0)解方程组即可；
(2)①在直线2x−y+9=0上取一点(1,11)，由点(1,11)到直线2x−y−6=0的距离公式计算即可．
②由点到线的距离公式得h=|3t2−4t+7| 32+42=|3(t−23)2+173|5，再通过二次函数求最小值即可．
本题考查两条直线间的距离，属于中档题．
22.【答案】解：(1)将A、B点坐标代入，得−12×42+4b+c=0c=3，
解得b=54c=3，
抛物线的解析式为y=−12x2+54x+3；
(2)如图：

设AB的解析式为y=kx+b，将B、A的坐标代入，得4k+b=0b=3，
解得k=−34b=3，
AB的解析式为y=−34x+3，
C在直线AB上，C(m,−34m+3)，D(m,−12m2+54m+3)．
CD的长为−12m2+54m+3−(−34m+3)=−12m2+2m，
即d=−12m2+2m；
(3)AC2=m2+(34m)2，CD2=(−12m2+2m)2，AD2=m2+(−12m2+54m)2，
①当AC=AD时，m2+(34m)2=m2+(−12m2+54m)2，
化简得(−12m2+2m)(−12m2+12m)=0，
解得m=0(不符合题意，舍)，m=4(不符合题意，舍)，m=1；
②当AC=CD时，m2+(34m)2=(−12m2+2m)2，
化简得(−12m2+134m)(−12m2+34m)=0，
解得m=0(不符合题意，舍)，m=132(不符合题意，舍)，m=32；
③当AD=CD时，m2+(−12m2+54m)2=(−12m2+2m)2，
化简得−m2(34m−2316)=0，解得m=2312．
综上所述：m的值为1、32或2312．
【解析】(1)根据待定系数法，可得函数解析式；
(2)根据自变量与函数值的对应关系，可得C、D点坐标，根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得答案；
(3)根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据因式分解法解方程，可得答案．
本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标得出函数解析式；利用等腰三角形的定义得出关于m的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．