北京市第四中学2024-2025学年八年级上学期月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份北京市第四中学2024-2025学年八年级上学期月考数学试题（原卷版+解析版），文件包含北京市第四中学2024-2025学年八年级上学期月考数学试题原卷版docx、北京市第四中学2024-2025学年八年级上学期月考数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共34页， 欢迎下载使用。
1. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A. 2，3，6B. 4，4，8C. 4，7，11D. 5，8，12
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．根据三角形的三边关系进行分析判断．
【详解】解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得
A、，不能组成三角形；
B、，不能组成三角形；
C、，不能组成三角形；
D、，能够组成三角形．
故选：D．
2. 如果，那么下列不等式变形不正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质即可依次判断．
【详解】解：A、∵，
∴，本选项不等式成立，不符合题意；
B、∵，
∴，本选项不等式成立，不符合题意；
C、∵，
∴，本选项不等式不成立，符合题意；
D、∵，
∴，，本选项不等式成立，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是不等式的性质，不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个代数式，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘除法则、幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原计算错误，不合题意；
B、，故错误，不合题意；
C、，原计算正确，符合题意；
D、，原计算错误，不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方法则，熟知以上知识是解题的关键．
4. 下面四个图形中，线段AD是△ABC的高的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】【分析】根据三角形高的定义：从顶点向对边作垂线，垂线段就是对应边上的高可判断.
【详解】A.线段AD与BC不垂直，所以不是△ABC的高；
B.线段AD与BC不垂直，所以不是△ABC的高；
C.线段AD与BC不垂直，所以不是△ABC的高；
D.线段AD与BC垂直，所以是△ABC的高.
故选D.
【点睛】本题考核知识点：三角形的高. 解题关键点：要理解三角形的高的定义以及条件：从顶点向对边作垂线，垂线段就是对应边上的高.
5. 实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，则实数a可能是（ ）

A. B. 2C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据a在数轴上位置可知，它在2和3之间.
【详解】∵1.72，∴3，故选项A、B均不符合题意；
∵1.41.5，∴23，故本选项符合题意；
∵3，故故本选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，熟知二次根式的性质的解答本题的关键．
6. 有一组数据有63个，最大值为93，最小值为21，若组距定为7，则组数为（ ）
A. 9B. 10C. 11D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了求组数，可根据数据的最大最小值求得二者的差值，再除以组距，若结果不是整数，那么得到的结果要进一，据此求解即可．
【详解】解：，
，
∴组数为，
故选：C．
7. 若一个正多边形的一个外角为，则这个正多边形的内角和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正多边形的外角度数求出多边形的边数，根据多边形的内角和公式即可求出多边形的内角和．
【详解】由题意，正多边形的边数为，
其内角和为．
故选B．
【点睛】考查多边形的内角和与外角和公式，熟练掌握公式是解题的关键．
8. 如图，下面哪个条件不能判断的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由平行线的判定定理求解判断即可．
【详解】解：A．由，根据内错角相等，两直线平行可判定，故A不符合题意；
B．由，根据同位角相等，两直线平行可判定，故B不符合题意；
C．由，根据同旁内角互补，两直线平行可判定，不能判定，故C符合题意；
D．由，根据同旁内角互补，两直线平行可判定，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握“内错角相等，两直线平行”、“同位角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键．
9. 已知，则a、b、c的大小关系为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】逆运用幂的乘方法则，把a、b、c都写成一个数的8次方的形式，比较底数得结论．
【详解】解 : ,
故选：B.
【点睛】本题考查了整式的运算，掌握幂的乘方法则是解决本题的关键．
10. 四边形中，E、F两点在上，G点在上，各点位置如图所示．连接、后，根据图中标示的角与角度，下列关系判断正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，四边形内角和定理，平角的定义，根据三角形内角和定理和平角的定义可得，即可判断A、B；根据四边形内角和定理和平角的定义可得，，进而得到，据此可判断C、D．
【详解】解：∵，
∴，故A、B说法错误，不符合题意；
∵，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
∴，故C说法错误，不符合题意，D说法正确，符合题意．
故选：D．
二．填空题
11. 把方程中的x用含y的代数式表示出来是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了解二元一次方程．将y看做已知数求出x即可．
【详解】解：把移项得：
，
系数化1得：．
故答案为：．
12 计算________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，积的乘方计算，先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为：．
13. 已知方程组的解满足，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，先利用加减消元法求出方程的解为，再由得到，解方程即可．
【详解】解：
得：，
把代入①得：，
解得，
∴方程组的解为，
∵方程组的解满足，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为___________．

【答案】75°##75度
【解析】
【分析】利用三角形内角和定理和平行线的性质解题即可．
【详解】解：如图，

∵∠2=90°-30°=60°，
∴∠3=180°-45°-60°=75°，
∵a∥b，
∴∠1=∠3=75°，
故答案为：75°．
【点睛】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
15. 如图，七边形中，，的延长线相交于O点．若图中的外角的角度和为，则的度数为________．
【答案】##40度
【解析】
【分析】本题考查多边形内角和定理及内外角关系，解题关键是根据题意得到是五边形．
根据七边形中，，的延长线相交于点，得到是五边形，根据的外角和为，得到，结合内角和定理即可得到答案；
【详解】解：∵七边形中，，的延长线相交于点，
∴是五边形，
∵的外角和为，
∴，
∴，
故答案为：
16. 如图，用大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知，则点的坐标为_________．
【答案】（，）
【解析】
【分析】设长方形的长为x，宽为y，根据点A的坐标列出关于x、y的二元一次方程组，然后解方程组，进而可求得点B的坐标
【详解】解：设长方形的长为x，宽为y，
∵A(﹣2，6)，
∴，
解得：，
∴2x= ，
x+y= + = ，
∵点B在第二象限，
∴点B的坐标为（，），
故答案为：（，）．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、坐标与图形，根据点A坐标，结合图形，列出方程组是解答的关键．
17. 关于x的不等式组，有以下判断：
①若不等式组无解，则；
②若时，不等式组的整数解有5个，则；
③若不等式至少有5个负整数解，则；其中正确的是________．
【答案】①③##③①
【解析】
【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，根据不等式的解集情况求参数，先求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组的解集情况即可判断①②；根据题意可得至少有5个负整数解，据此可判断③．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
当不等式组无解是，则，则，故①正确；
当时，不等式组的整数解有5个，则不等式组有5个整数解，
∴，
∴，故②错误；
∵不等式至少有5个负整数解，
∴至少有5个负整数解，
∴，
∴，故③正确；
∴正确的有①③，
故答案为：①③．
18. “绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（）的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
利用路程速度时间，结合小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出车速的取值范围．
【详解】解： ．
根据题意得：，
解得：，
车速的取值范围是．
故答案为：．
三．解答题
19. 计算：
（1）；
（2）求x的值：．
（3）计算：
（4）计算：．
【答案】（1）
（2）或
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算，多项式乘以多项式，多项式除以单项式，求平方根的方法解方程：
（1）先计算立方根和算术平方根，再计算绝对值，最后计算加减法即可；
（2）根据求平方根的方法解方程即可；
（3）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可；
（4）根据多项式除以单项式的计算法则求解即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴或；
【小问3详解】
解：
；
【小问4详解】
解：
．
20. 解不等式组，并写出它的所有非负整数解．
【答案】原不等式组的解集为，不等式组的非负整数解为0，1．
【解析】
【分析】分别解出不等式组中的每一个不等式，即得出不等式组的解集，再在解集中找出非负整数即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
∴不等式组的非负整数解为0，1．
【点睛】本题考查求不等式组的整数解．掌握解不等式组的方法和步骤是解题关键．
21. 已知，求代数式的值．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了已知式子的值，整式乘法运算，求代数式的值及平方差公式，正确计算化简，整体代入计算即可．
【详解】解：
．
由，可得．
∴原式．
22. 如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E．
（1）若，，求的度数；
（2）直接写出、、三个角之间存在等量关系．
【答案】（1）
（2），证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的定义：
（1）先得出，根据平分，可得，再根据，即可作答；
（2）根据平分，可得，结合， ，即可求解．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：，证明如下：
∵平分，
∴，
又∵，
∴
，
即．
23. 如图，在平面直角坐标系中，将平移至，点A对应点，点B对应点，点C对应点．

（1）画出平移后的，并写出和的坐标；
（2）求的面积；
（3）点P在y轴上，且的面积等于的面积，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）和的坐标分别为
（2）
（3）或．
【解析】
【分析】本题考查了图形与坐标，利用网格求面积，平移的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）由点A对应点，得出平移的方式为向右1个单位长度、向上3个单位长度，依次把其他对应点描出来，再依次连线，即可作答．
（2）运用割补法进行列式，代入数值进行计算，即可作答．
（3）先根据点的特征，且结合，得出再进行分类讨论，即可作答．
【小问1详解】
解：如图所示：

∴和的坐标分别为
【小问2详解】
解：
【小问3详解】
解：∵的面积等于的面积，
∴
∵点P在y轴上
∴
∴
则当在的上方时，，则；
则当在的下方时，，则；
综上或．
24. “全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1600元，20本文学名著比20本动漫书多400元(注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样)．
(1)求每本文学名著和动漫书各多少元？
(2)若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，而且文学名著不低于25本，总费用不超过2 000元，请求出所有符合条件的购书方案．
【答案】（1）每本文学名著和动漫书各为40元和20元；（2）方案一：文学名著购买25本，动漫书购买45本；方案二：文学名著购买26本，动漫书购买46本．
【解析】
【分析】（1）设每本文学名著x元，动漫书y元，根据题意列出方程组解答即可；
（2）根据学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，列出不等式组，解答即可．
【详解】解：(1)设每本文学名著x元，每本动漫书y元，
根据题意，得
解得
∴每本文学名著和动漫书各为40元和20元．
(2)设学校要求购买文学名著x本，则购买动漫书(x＋20)本，
根据题意，得

解得25≤x≤26．
∵x取整数，
∴x取25，26．
方案一：文学名著购买25本，动漫书购买45本；
方案二：文学名著购买26本，动漫书购买46本．
25. 给出如下定义：我们把有序实数对（a，b，c）叫做关于x的二次多项式的特征系数对．把关于x的二次多项式叫做有序实数对（a，b，c）的特征多项式．
（1）关于x的二次多项式的特征系数对为____________；
（2）求有序实数对（1，4，4）的特征多项式与有序实数对（1，－4，4）的特征多项式的乘积；
（3）若有序实数对（p，q，－1）的特征多项式与有序实数对（m，n，－2）的特征多项式的乘积的结果为；直接写出的值为____________．
【答案】（1）(3，2，-1)；
（2）；
（3）-6．
【解析】
【分析】(1 )根据特征系数对的定义即可解答；
(2)根据特征多项式的定义先写出多项式，然后再根据多项式乘多项式进行计算即可；
(3)根据特征多项式的定义先写出多项式，然后再令x =-2即可得出答案．
【小问1详解】
解：关于x的二次多项式的特征系数对为(3，2，-1)，
故答案为：(3，2，-1)；
【小问2详解】
解：有序实数对（1，4，4）的特征多项式为，有序实数对（1，-4，4）的特征多项式为，
；
【小问3详解】
解：根据题意得，
令，则，
，
，
，
．
故答案为：-6．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，新定义问题，给x赋予特殊值-2是解题的关键．
26. 3月14日是国际数学日，也称“日”．今年3月14日某校七年级300名学生参加了华容道、鲁班锁、九连环等六项数学趣味游戏比赛．比赛采取积分制，每参加一项可获得10至20分，达到90分及90分以上的学生可获得“日”徽章．学校为了解学生的积分情况，随机抽取了名学生，并对他们的积分进行整理、描述，绘制成下面的统计图（数据分为5组：，，，，）：
根据以上信息，完成下列问题．
（1）下列抽取样本的方式中，最合理的是 （填写序号）：
①从七年级的学生中抽取名男生；
②从七年级参加鲁班锁游戏的学生中抽取名学生；
③从七年级学号末位数字为5或0的学生中抽取名学生．
（2）写出的值，并补全频数分布直方图；
（3）这一组对应的扇形的圆心角度数是 ；
（4）这一组的学生积分是：81，82，90，93，93，93，96，98，98，请估计七年级学生获得“日”徽章的人数．
【答案】（1）③ （2）40，见解析
（3）
（4）120人
【解析】
【分析】本题主要考查了频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体，解题的关键是熟练掌握扇形统计图和频数分布直方图的特点．
（1）根据样本选取应该具有应具有代表性、客观性和随机性进行判断即可；
（2）根据的人数为4人，占总调查人数的，求出m的值即可；求出的人数，然后补全频数分布直方图即可；
（3）用乘的百分比，求出结果即可；
（4）用样本估计总体即可．
【小问1详解】
解：①从七年级的学生中抽取名男生不具有代表性和普遍性，故①不符合题意；
②从七年级参加鲁班锁游戏的学生中抽取名学生，不具有代表性和普遍性，故②不符合题意；
③从七年级学号末位数字为5或0的学生中抽取名学生，具有代表性和普遍性，故③符合题意．
故答案为：③；
【小问2详解】
解：，
的人数为，补全频数分布直方图，如图所示：
【小问3详解】
解：这一组对应的扇形的圆心角度数为：
．
【小问4详解】
解：这一组的学生积分达到90分或90分以上的人数为7人，
估计七年级学生获得“日”徽章的人数为：
（人）．
27. 如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点
（1）若，，则 ，∠Q= ；
（2）若，当的度数发生变化时，、的度数是否发生变化?若要变化，说明理由；若不变化，求出、的度数(用的代数式表示)；
（3）若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数.
【答案】（1），；
（2），；
（3）或或或．
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
（1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；
（2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解；
（3）设，由（）可知，．再由不变，即可分类讨论①当时，②当时，③当时和④当时，分别列出关于的等式，解出即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴，．
∵平分，
∴．
∴；
∴．
∵平分，平分，
∴，．
∵，
∴，即，
∴．
故答案为：，；
【小问2详解】
解：∵，
∴．
∵，
∴，．
∵平分，平分，
∴，．
∴
．
∴．
由（）可知不变，
∴．
【小问3详解】
争：设，
由（）可知，．
∵，
∴可分类讨论：①当时，
∴，
解得：，
∴；
②当时，
∴，
解得：，
∴；
③当时，
∴，
解得：，
∴；
④当时，
∴，
解得：，
∴．
综上可知或或或．
附加题
28. 小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点．
（1）已知多项式，则此多项式的零点为__________；
（2）已知多项式有一个零点为1，求多项式B的另一个零点；
（3）小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“2系多项式”．若多项式是“2系多项式”，求a与c的值．
【答案】（1）或2；
（2）多项式B的另一个零点为；
（3），．
【解析】
【分析】（1）根据多项式的零点的定义即可求解；
（2）根据多项式的零点的定义将代入，求得，再解一元二次方程即可求解；
（3）令，求得的一个零点为5，根据“2系多项式”的定义求得方程的两个根为，，再利用根与系数的关系即可求解．
【小问1详解】
解：令，
∴或，
∴或，
则此多项式的零点为或2；
故答案为：或2；
【小问2详解】
解：∵多项式有一个零点为1，
∴将代入，得，
解得，
∴，
令，解得，
∴多项式B的另一个零点为；
【小问3详解】
解：∵是“2系多项式”，
令，解得，即的一个零点为5，
∴设的另一个零点为y，则，解得，
即时，，则①，
令，
根据题意，方程的两个根为，，
∴，，
∴②，③，
解①②③得，，
∴，．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，多项式的零点的定义，理解题意，利用参数构建方程解决问题是解题的关键．
29. 在平面直角坐标系中，定义为点Px,y的“a加反应点”．例如，点的“3加反应点”为．
（1）点的“加反应点”的坐标是 ；
（2）已知点，
①若线段上存在点P，其“2加反应点”恰好落在x轴上，求n的取值范围；
②长方形的顶点坐标分别为，若对于线段上的任意点P，都存在同一个a，使点P的“a加反应点”恰好落在长方形的边上，直接写出n的取值范围： ．
【答案】（1）
（2）①；②或
【解析】
【分析】（1）根据“加反应点”的定义进行求解即可；
（2）①设，则，根据在x轴上的点的纵坐标为0得到，则，再由即可得到答案；②设，则点P的“a加反应点”的坐标为，再分点落在长方形四条边上共4种情况，讨论求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得，点的“−1加反应点”的坐标是，即，
故答案为：；
【小问2详解】
解：①∵，点P为线段上一点，
∴可设，
∴点P的“2加反应点”的坐标为，即，
∵恰好落在x轴上，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，点P为线段上一点，
∴可设，
∴点P的“a加反应点”的坐标为，
当点在长方形的边上时，且，
由得，
由得，
∴
∵，
∴，
解得：；
当点在长方形的边上时，且，
由得，
由得，
∴
∵，
∴，
解得：；
当点在长方形的边上时，且，
由得，
∴，
解得：，
∵，
∴，
解得：；
当点在长方形的边上时，且，
由得，
∴，
解得：，
∵，
∴，
解得：；
综上分析可知，n的取值范围是或．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，解一元一次不等式组，正确利用题意得到列出相应的不等式组是解题的关键．