第一次月考卷（徐州专用）-2024-2025学年八年级数学上学期第一次月考模拟卷（江苏专用）

这是一份第一次月考卷（徐州专用）-2024-2025学年八年级数学上学期第一次月考模拟卷（江苏专用），共26页。试卷主要包含了考试范围等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共26题。答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在答题卡规定的位置上。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂答案，非选择、判断题必须使用黑色墨迹签字笔或钢笔答题，请将答案填写在答题卡规定的位置上。
3．考试范围：八年级数学上册第1-2章（苏科版）
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效。考试结束后将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（8小题，每小题2分，共16分）
1．第24届冬季奥林匹克运动会，于2022年2月在我国北京市和张家口市联合举行，在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知等腰三角形的一个内角等于30°，则它的一个底角是（ ）
A．75°B．30°C．75°或30°D．150°
3．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）判定两个三角形全等必不可少的条件是（ ）
A．至少有一组边对应相等B．至少有一对角对应相等
C．至少有两组边对应相等D．至少有两对角对应相等
4．（23-24七年级下·江苏南通·期末）如图，△ABC中，∠A=24°，△DEF中，∠F=66°，BC，EF边上的高相等，若AC=DF，则∠B的度数为（ ）
A．30°B．42°C．45°D．60°
5．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠BAD=35°，E是斜边BC的中点，则∠DAE的度数为（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
6．（23-24七年级下·陕西西安·期中）小曲在一个科学实验课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的均在同一平面上），过点作于点．现已知，测得，则的长为（ ）
A．B．C．D．无法确定
7．（23-24八年级上·湖北·周测）如图，过边长为1的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为（ ）
A．B．C．D．
8．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接和与的延长线交于点，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（10小题，每小题2分，共20分）
9．（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为．
10．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在正三角形网格中，已有两个小正三角形被涂黑，再将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有种．
11．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，D是延长线上的点，于E，交于点F，若，则的长为．
12．（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线分别交于点E、F，，则的周长为．
13．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，，则的值为．
14．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，腰AB的长为4，则底边的长为．
15．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，分别是边和上的点，将纸片沿折叠，点落到点的位置．如果，那么．
16．（23-24八年级下·福建宁德·期中）如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是．
17．（23-24八年级上·北京丰台·期中）如图，在长方形中，，延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为秒时，与全等．
18．（21-22八年级上·湖南怀化·期中）如图，是边长为4的等边三角形，，且，以D为顶点作一个角，使其两边分别交于点M．交于点N，连接，则的周长是．
三、解答题（8小题，共64分）
19．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，AD与相交于点，，，．
求证：
（1）；
（2）垂直平分BD．
20．（2024·江苏宿迁·二模）如图，已知中，．

（1）尺规作图：作的平分线交于点；（不写做法，保留作图痕迹）
（2）点在边上，连接，若，求证：．
21．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，在和中，点E在边上，，与交于点G．
（1）试说明：；
（2）若，求的度数．
22．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，与交于点F，点G为的中点，．
（1）求证：．
（2）若，求的度数．
23．（23-24八年级上·江苏淮安·阶段练习）定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”．
【理解概念】
（1）顶角为的等腰三角形“准等边三角形”．（填“是”或“不是”）
【巩固新知】
（2）已知是“准等边三角形”，其中，．求的度数．
24．（20-21八年级上·江苏徐州·期中）已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，l是过点A的一条直线，BD⊥l，CE⊥l，垂足分别为D、E．
（1）如图（1），求证：DE＝BD＋CE；
（2）若直线l绕A点旋转到图（2）位置时，其余条件不变，请把图形补充完整，写出BD、CE与DE之间的数量关系，并证明你的结论．
25．（23-24八年级下·广东深圳·期中）阅读材料：若，求m，n的值．
解：，，
，，，．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1），则_______， _______；
（2）已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求的周长．
（3）已知a、b、c分别是三边的长且，请判断的形状，并说明理由．
26．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知：如图1，是的角平分线，E是延长线上一点，．
（1）若，则°；
（2）在图1中，我们发现，无论∠ADE为何值时，总有，
规定：若两个角α、β满足：（k为正整数），则称β是α的“k级准余角”，若α、β恰好是某三角形的两个内角，则称该三角形是“k级准直角三角形”，如：∵是的“2级准余角”，若中，，则是“2级准直角三角形” ．
①下列说法正确的有．（多选题）
A．是的“2级准余角”；
B．是的“3级准余角”；
C．若是“2级准直角三角形”，则一定是等腰三角形；
D．若是“3级准直角三角形”，则一定不是直角三角形；
②如图2，已知，，若是的“3级准余角”，求的度数；
③如图3，B为直线上一点，点A在直线外，，在直线上是否存在点P，使是“2级准直角三角形”? 如果存在，请直接写出的度数，如果不存在，请简要说明理由．
参考答案
一、选择题（8小题，每小题2分，共16分）
1．D
【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：选项A、B、C的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
选项D的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
故选：D．
2．C
【分析】此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，由于不明确30°的角是等腰三角形的底角还是顶角，所以要采用分类讨论的思想．分30°的角是顶角和底角两种情况讨论即可．
【详解】解：当30°的角为等腰三角形的顶角时，
底角的度数，
当30°的角为等腰三角形的底角时，其底角为30°，故它的底角的度数是75°或30°．
故选：C．
3．A
【分析】本题考查全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理易得，必不可少的条件为至少有一组对边相等．
【详解】解：全等三角形的判定定理包括：，每种判定方法都必须由边的参与，即至少有一组对边相等．
故选：A．
4．B
【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是关键．分别过、两点作，于点、，证明得利用三角形的外角性质即可得解。
【详解】解：分别过、两点作，于点、，
∵在和中，
∴
∴
∵，
∴
故选：．
5．B
【分析】根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵， E是斜边的中点，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
6．B
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明，即可求解．
【详解】解：
，
又，，
，
，
．
在和中，
，，，
，
．
∵，
∴
故选：B．
7．B
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用，过P作交于F，得出等边三角形，推出，根据等腰三角形性质求出，证，推出，推出即可．
【详解】解：过P作交于F．
，是等边三角形，
，是等边三角形，
，
，
，
，
．
∵在和中，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
8．D
【分析】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，在解答时作辅助线的延长线于P，过点G作于Q构造出全等三角形是难点，运用全等三角形的性质是关键，分析题意，根据正方形的性质可得可求出，由“边角边”可得，可判断①是否正确；设、相交于点N，由可得，即可判断②的正确性；根据同角的余角相等求出，再证明，根据全等三角形性质即可判断④是否正确；证明，根据全等三角形的对应边相等即可判断③是否正确，从而完成解答．
【详解】解：在正方形和中，，，
，即，
在和中，，，
，
，故①正确；
设相交于点N，
，
，
，
，
，故②正确；
过点G作于Q，过点E作的延长线于P，如图所示：
，
，
，
，
，
在和中，
，，
，
，故④正确；
同理可得，
，
在和中，
，，
，
，
是的中线，故③正确．
综上所述，①②③④结论都正确，共4个．
故选：D．
二、填空题（10小题，每小题2分，共20分）
9．6
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．分两种情况讨论：当6为一腰长时；当2为一腰长时；分别求出第三条边长，并根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，即可得出答案．
【详解】解：当6为一腰长时，则另一腰长为6，底边长为2，
，
能构成三角形，
第三边长为6；
当2为一腰长时，则另一腰长为2，底边长为6，
，
不能构成三角形，舍去；
综上，第三边长为6，
故答案为：6．
10．3
【分析】本题考查了利用轴对称设计图案的知识，关键是掌握好轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称的概念作答．如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：如图所示：将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成一个轴对称图形的方法有3种．
故答案为：3．
11．1.6//
【分析】此题考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质，由，D是延长线上的点，得，而，则，可根据“”证明，则，求得，则，于是得到问题的答案．
【详解】∵，D是延长线上的点，
∴，
∵于E，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：1.6．
12．13
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．直接根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．
【详解】解：的垂直平分线分别交于点E、F，
，
，
的周长为，
故答案为：13．
13．10
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，先根据平分线的定义和平行线的性质得出，结合“等角对等边”得出，同理推导得出，再根据得出答案．
【详解】∵平分，，
∴，，
∴，
∴．
同理：．
∵，，
∴．
故答案为：10．
14．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，腰AB的长为4，则底边的长为．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论：①腰是底的2倍；②底是腰的2倍，再利用三角形三边关系进行检验即可得到答案，利用分类讨论思想，熟练掌握三角形三边关系是解题关键．
【详解】解：当腰是底的2倍时，底边为，则，可以构成三角形；
当底是腰的2倍时，底边为，则，不能构成三角形；
故答案为：．
15．55
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，找出角度之间的数量关系是解题关键．由折叠的性质和平行线的性质，得出，再由三角形外角的性质，得到，进而得到，然后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：由折叠的性质可知，，，
，
，
，
,
，
，
，
，
，
故答案为：55．
16．2
【分析】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等，垂直平分线上的点到两端距离相等．连接，通过证明，得出，在证明，得出，即可解答．
【详解】解：连接，
∵平分，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
∴，
故答案为：2．
17．1或7
【分析】本题考查了全等三角形的判定，判定方法有：．根据题意，分两种情况进行讨论，根据题意得出和即可求得．
【详解】解：由题意得：，
若，
根据证得，
，即，
若，
根据证得，
，即．
当t的值为1或7秒时．与全等．
故答案为：1或7．
18．8
【分析】本题考查了三角形全等的判定及性质、等边三角形的判定及性质，先作辅助线，两次证得三角形全等可得结果，作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：∵是等腰三角形，且，
∴，
∵是边长为4的等边三角形，
∴，
∴，
延长至F，使，连接，如图所示：
，
在和中，
，
∴（SAS），
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，
，
∴（SAS）
∴，
∴的周长是：
．
故答案为：8．
三、解答题（8小题，共64分）
19．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
（1）证明，可得结论；
（2）根据线段的垂直平分线的判定解决问题即可．
【详解】（1）证明：在与中，
，
∴，
∴．
（2）证明：由（1）得，
∴，
∴点O在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点E在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分．
20．（1）见详解；（2）见详解
【分析】（1）利用基本作图作的平分线即可；
（2）过点作于点，如图，先根据角平分线的性质得到，再证明得到，接着证明，得到，然后利用等线段代换得到结论．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和全等三角形的判定与性质．
【详解】（1）解：如图，为所作；

（2）证明：过点作于点，如图，
为的平分线，，，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
∴，
，
．
21．（1）见解析；（2）见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质是解题的关键．
（1）根据等式的性质得，再利用即可证明结论；
（2）由三角形内角和定理可得，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，最后三角形内角和以及角的和差即可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
22．（1）见解析；（2）
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，正确地找出辅助线是解题的关键．
（1）连接，根据垂直的定义得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，等量代换得到，根据等腰三角形的性质得到结论；
（2）根据（1）易得，，，设，则，，根据三角形外角的性质可得，，列出等式可求得的值，再根据即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
是边上的高线，
，
是边上的中线，
是边上的中线，
，
，
，
∵点G为的中点，
．
（2）解：连接，
由（1）可知：，，
，，
，，
设，则，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
．
23．（1）不是；（2）的度数为或
【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，等腰三角形的性质，分情况讨论是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质求出等腰三角形的两个底角，然后根据“准等边三角形”的定义，即可解答；
（2）分两种情况：当时；当时；然后分别进行计算即可解答．
【详解】解：（1）∵等腰三角形的顶角为，
∴等腰三角形的两个底角度数分别为，
∴顶角为的等腰三角形不是“准等边三角形”；
故答案为：不是；
（2）∵是“准等边三角形”，，，
∴分两种情况：
当时，
∴，
∴；
当时，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述：的度数为或．
24．（1）详见解析；（2）结论：DE＝CE﹣BD，详见解析
【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE；
（2）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出BD、CE与DE之间的数量关系．
【详解】解：（1）证明：∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDA＝∠AEC＝90°
又∵，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∠BAD＋∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD
在△ABD和△CAE中
∴△ABD ≌△CAE
∴BD＝AE，AD＝CE
∵DE＝AD＋AE，∴DE＝CE＋BD ．
（2）如图②所示：
结论：DE＝CE﹣BD
证明：∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDA＝∠AEC ＝ 90°
∵∠BAD＋∠CAE＝90°，∠BAD＋∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD
在△ABD和△CAE中
∴△ABD≌△CAE（AAS）
∴BD＝AE，AD＝CE
∵DE＝AD﹣AE
∴DE＝CE﹣BD
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出△ABD≌△CAE是解题关键．
25．（1），1；
（2）9；
（3）三角形为等边三角形，理由见解析．
【分析】本题考查配方法的应用，解题关键是掌握完全平放式的非负性，熟练掌握配方法．
（1）（2）（3）都是用完全平方公式进行配方，再利用偶次方的非负性得平方为0的数只有0，从而分别得解.
【详解】（1）解：由：，得：
，
，，
，，
，．
故答案为：； 1．
（2）解：由得：
，
，，
，；
已知的三边长a、b、c都是正整数，由三角形三边关系知，
的周长为9．
（3）解：由，
配方可得，
即，
，
，
三角形为等边三角形.
26．（1）
（2）①②③存在，的度数分别是
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握相关图形的性质是解题关键，
（1）根据三角形外角的性质结合角平分线定义完成解答即可；
（2）①根据k级准直角三角形定义结合三角形内角和定理判断即可；
②根据k级准直角三角形定义结合平行线的性质计算即可；
③根据①中结论，分两种情况分别根据k级准直角三角形定义计算即可；
【详解】（1）解：是的角平分线，
；
（2）解：①A、
是的“2级准余角”，正确；
B、
是的“3级准余角”，正确；
C、若是“2级准直角三角形”，设，即
，
，
则一定是等腰三角形，正确；
D、若是“3级准直角三角形”，设，即，
，
当时，，，
则也有可能是直角三角形，故原说法错误；
故说法正确的是：；
②
，
是的“3级准余角”，
，
解得：；
③存在，理由如下：
当点P在右侧时，是“2级准直角三角形”，，
由①知为等腰三角形，
当时，；
当时，则；
当时，则；
当点P在右侧时，是“2级准直角三角形”，，
，
由①知为等腰三角形，
时，；
综上所述，的度数分别是．