江西省南昌市江西科技学院附属中学2023-2024学年上学期九年级期末数学试卷

这是一份江西省南昌市江西科技学院附属中学2023-2024学年上学期九年级期末数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.实数的相反数是( )
A. B. C. D.
2.某零件由两长方体组合而成如图所示，则它的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.下列运算中正确的是( )
A. B. C. D.
4.已知抛物线的对称轴为直线，则关于x的方程的根是( )
A. 0，4B. 1，5C. 1，D. ，5
5.如图，是的外接圆，AC是的直径，点P在上，若，则的度数是( )
A. B. C. D.
6.如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为( )
A. 5
B. 6
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.若分式的值为零，则x的值为______.
8.节俭办赛是北京申奥的一大理念和目标．根据此次冬奥会财政预算，赛事编制预算约为亿美元，亿可用科学记数法表示为______.
9.若a，是方程的两个根，则的值为______.
10.《九章算术》是中国古代数学著作之一，书中有这样一个问题：五只雀、六只燕共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只雀的重量为x斤，一只燕的重量为y斤，则可列方程组为__________.
11.如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转，得到，则点D到BC的距离是______.
12.平面内有四个点A、O、B、C，其中，，，则满足题意的OC长度为整数的值可以是______.
三、计算题：本大题共1小题，共3分。
13.计算：
四、解答题：本题共11小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题3分
如图，在中，，点E是BC的中点，在AE的延长线上取点D，使
求证：
15.本小题6分
解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
16.本小题6分
《小猪佩奇》这部动画片，估计同学们都非常喜欢．周末，小猪佩奇一家4口人小猪佩奇，小猪乔治，小猪妈妈，小猪爸爸来到一家餐厅就餐，包厢有一圆桌，旁边有四个座位
小猪佩奇随机到A座位的概率是______；
若现在由小猪佩奇，小猪乔治两人先后选座位，用树状图或列表的方法计算出小猪佩奇和小猪乔治坐对面的概率．
17.本小题6分
如图，四边形ABCD为正方形，点E在BC边上，请仅用无刻度直尺完成以下作图：
在图1中，以AE为边，在正方形ABCD内作一个平行四边形；
在图2中，在CD上找一个点M，使
18.本小题6分
如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点B，点C是点A关于y轴的对称点，连接AC，
求该反比例函数的解析式；
求的面积；
19.本小题8分
暑期将至，某校组织学生进行“防溺水”安全知识竞赛，老师从中随机抽取了部分学生的成绩得分取整数，满分为100分，整理后绘制成如图所示的不完整的扇形统计图和频数分布直方图.
其中A组的频数a比B组的频数b小请根据以上信息，解答下列问题：
本次共抽取______名学生， a的值为______；
在扇形统计图中，______， E组所占比例为______；
补全频数分布直方图；
若全校共有1500名学生，请根据抽样调查的结果，估计成绩在80分以上的学生人数.
20.本小题8分
2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，，，，机械臂端点C到工作台的距离
求A、C两点之间的距离；
求OD长．
结果精确到，参考数据：，，，
21.本小题8分
如图，点O是的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F，
连接AF，求证：AF是的切线；
若，，求FD的长．
22.本小题9分
为了迎接“十一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．
求m的值；
要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润利润=售价-进价不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？
在的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
23.本小题9分
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点A的坐标为，点在抛物线上.
求抛物线的表达式；
如图①，点P在y轴上，且点P在点C的下方，若，求点P的坐标；
如图②，E为线段CD上的动点，射线OE与线段AD交于点M，与抛物线交于点N，求的最大值.
24.本小题12分
如图1，四边形ABCD中，，，，，，于点将与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中，，
求证：≌；
从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移图，当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转图，当边PM旋转时停止．
①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积；
②如图2，点K在BH上，且若右移的速度为每秒1个单位长度，绕点D旋转的速度为每秒，求点K在区域含边界内的时长；
③如图3，在旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若，直接写出CF的长用含d的式子表示
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：的相反数是
故选：
根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案．
本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：从左面看，视图是一个矩形，由于物体正面看有上下两层，从左边看不到凹槽的棱，用虚线表示，
故选：
找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在左视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线．
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
3.【答案】D
【解析】解：，故此选项不合题意；
B.，无法合并同类项，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项符合题意．
故选：
直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
4.【答案】D
【解析】解：抛物线的对称轴为直线，
，
解得，
方程可以写成，
，
，
解得，，
故选：
【分析】根据抛物线的对称轴为直线，可以得到m的值，然后解方程即可．
本题考查二次函数的性质、解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，求出m的值．
5.【答案】C
【解析】解：是的直径，
，
，
，
由圆周角定理，得
故选：
根据直径所对的圆周角是直角得到，进而求出，根据圆周角定理解答即可．
本题考查的是圆周角定理，掌握直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，三角形的面积公式，关键在于证明三角形相似．
证明∽，求得AE：CE，再根据三角形的面积关系求得结果．
【解答】
解：，
∽，
，
，
故选：
7.【答案】3
【解析】解：，，
，
故答案为：
根据分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0即可得出答案．
本题考查了分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件是分子等于0且分母不等于0是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：亿
故答案为：
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法，正确记忆科学记数法的表示形式和a，n的值的取值要求是解题关键．
9.【答案】7
【解析】解：，是方程的两个根，
，，
故答案为：
根据根与系数的关系，即可得出、的值，整体代入此题得解．
本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
设每只雀有x斤，每只燕有y斤，根据五只雀、六只燕，共重1斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，列方程组即可．
【解答】
解：设每只雀有x斤，每只燕有y斤，
由题意得，
故答案为：
11.【答案】2
【解析】解：如图，连接BD，过点D作于H，
将绕点A逆时针旋转，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
点D到BC的距离是2，
故答案为：
由旋转的性质可得，，可证是等边三角形，由直角三角形的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
12.【答案】2，3，4
【解析】解：如图1，，，
，
点C在以点O为圆心的圆上，且在优弧AB上．
；
如图2，，，
，
四个点A、O、B、C共圆．
设这四点都在上．点C在优弧AB上运动．
连接OM、AM、AB、
，
，
又，
是等边三角形，
，
，即，
可以取整数3和
综上所述，OC可以取整数2，3，
故答案是：2，3，
分类讨论：如图1，根据圆周角定理可以推出点C在以点O为圆心的圆上；
如图2，根据已知条件可知对角，则四个点A、O、B、C共圆．分类讨论：如图1，如图2，在不同的四边形中，利用垂径定理、等边的性质来求OC的长度．
本题考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质．此题需要分类讨论，以防漏解．在解题时，还利用了圆周角定理，圆周角、弧、弦间的关系．
13.【答案】解：原式

【解析】利用负整数指数幂的意义，零指数幂的意义和绝对值的意义解答即可．
本题主要考查了实数的运算，负整数指数幂的意义，零指数幂的意义和绝对值的意义，正确利用上述法则与性质化简运算是解题的关键．
14.【答案】证明：，
，
点E是BC的中点，，
，
，

【解析】根据等腰三角形的性质证明，即可解决问题．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的性质．
15.【答案】解：解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式的解集表示在数轴上如下：

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16.【答案】
【解析】解：小猪佩奇随机到A座位的概率；
故答案为；
画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中小猪佩奇和小猪乔治坐对面的结果数为4，
所以小猪佩奇和小猪乔治坐对面的概率
直接利用概率公式计算；
先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出小猪佩奇和小猪乔治坐对面的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
17.【答案】解：如图1，连接AC，BD相交于点O，连接EO并延长，交AD于点F，连接CF，
则平行四边形AECF即为所求．
如图2，连接AC，BD相交于点O，连接EO并延长，交AD于点F，连接CF交BD于点G，连接AG并延长，交CD于点M，
则点M即为所求．

【解析】结合正方形的性质以及平行四边形的判定，连接AC，BD相交于点O，连接EO并延长，交AD于点F，连接CF，则平行四边形AECF即为所求．
结合正方形的性质，连接AC，BD相交于点O，连接EO并延长，交AD于点F，连接CF交BD于点G，连接AG并延长，交CD于点M，则点M即为所求．
本题考查作图-复杂作图、平行四边形的判定与性质、正方形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18.【答案】解：把点代入得：，
，
反比例函数的解析式为；
反比例函数与正比例函数的图象交于点和点B，
，
点C是点A关于y轴的对称点，
，
，

【解析】把点代入可得k的值，求得反比例函数的解析式；
根据对称性求得B、C的坐标然后利用三角形面积公式可求解．
本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数的性质，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
19.【答案】；
；
人，
“C组”频数为：人，
“E组”频数为：人，
补全频数分布直方图如图所示：
人，
答：估计成绩在80分以上的学生人数大约为660人．
【解析】解：组的频数a比B组的频数b小15，A组的频率比B组的频率小，
因此调查人数为：人，
人，
故答案为：150，12；
，即，
“E组”所占的百分比为，
故答案为：144，4；
见答案；
见答案.
组的频数a比B组的频数b小15，而A组的频频率比B组的频率小，可求出调查人数，再根据频数、频率、总数之间的关系求出a的值即可；
求出“D组”所占的百分比即可求出相应的圆心角度数及“E组”所占的百分比；
求出b的值，“C组”频数以及“E组”频数即可；
求出样本中成绩在80分以上的学生所占的百分比，即可估计整体中成绩在80分以上的学生人数．
本题考查频数分布直方图，扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提，掌握频数、频率、总数之间的关系是解决问题的关键．
20.【答案】解：如图，过点A作，垂足为E，
在中，，，
，，
，，
，，
，
在中，由勾股定理
故A，C两点之间距离为
过点A作，垂足为F，
，，
，
在中，由勾股定理
的长为
【解析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理等知识；正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
过点A作，垂足为E，在中，由，，可求AE和BE，即可得出AC的长；
过点A作，垂足为F，在中，由勾股定理可求出AF，即OD的长．
21.【答案】证明：在和中，
，
≌，
，
与相切，
，
，
即，
是的半径，
是的切线；
解：在中，，，，
，
，，
∽，
，
设的半径为r，则，
解得，
在中，，，，
，
，
即FD的长为
【解析】根据SAS证≌，得出，即可得出结论；
根据勾股定理求出AF，证∽，设圆O的半径为r，根据线段比例关系列方程求出r，利用勾股定理求出OF，最后根据求出即可．
本题主要考查切线的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．
22.【答案】解：依题意得，，
整理得，，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
所以，；
设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋双，
根据题意得，，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
所以，不等式组的解集是，
是正整数，，
共有11种方案；
设总利润为W，则，
①当时，，W随x的增大而增大，
所以，当时，W有最大值，
即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双；
②当时，，，中所有方案获利都一样；
③当时，，W随x的增大而减小，
所以，当时，W有最大值，
即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双．
【解析】用总价除以单价表示出购进鞋的数量，根据两种鞋的数量相等列出方程求解即可；
设购进甲种运动鞋x双，表示出乙种运动鞋双，然后根据总利润列出一元一次不等式，求出不等式组的解集后，再根据鞋的双数是正整数解答；
设总利润为W，根据总利润等于两种鞋的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可．
本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系，要根据一次项系数的情况分情况讨论．
23.【答案】解：点，在抛物线上，
，
解得：，
抛物线的表达式为
解法一：
如图，过点P作交DC的延长线于点E，过点P作x轴的平行线FG，过点D作于点F，过点E作于点G，
，，
又，
为等腰直角三角形，，
设点P坐标为，
点D坐标为，
，，
，，
又
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
为抛物线与y轴交点，
当时，，
，
又点D坐标为，
设直线CD的表达式为，
，
解得：，
直线CD的表达式为，
把代入，
得：，
解得：，
点P的坐标为
解法二：
把CD绕点C逆时针旋转得到线段CF，连接DF，
为等腰直角三角形，，，
与y轴的交点即为P点，
作轴于G，作轴于H，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
为抛物线与y轴交点，
，
点D坐标为，
，，
，，
，
坐标为，
设直线CF的表达式为，
，
解得：，，
直线CF的表达式为，
当时，，
点P的坐标为
解法三：
过P作于点E，过点D作于F，
，
为抛物线与y轴交点，
，
点D坐标为，
，
，，
，
，
又，
∽，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
点P的坐标为
解法一：
过点N作轴，交直线AD于点H，则，
又，
∽，
，
由点A坐标为，点D坐标为，
可求得直线AD的表达式为，
当时，，
直线AD与y轴的交点坐标为，
，
设，
的坐标为，其中，
，
，
，，
时，取最大值，最大值为
解法二：
过点N作轴，交直线AD于点Q，则，
又，
∽，
，
由点A坐标为，点D坐标为，
可求得直线AD的表达式为，
设点N坐标为，
点Q坐标为，其中，
，
，
，，
时，取最大值，最大值为
【解析】利用待定系数法求抛物线的解析式即可；
解法一：如图，过点P作交DC的延长线于点E，过点P作x轴的平行线FG，过点D作于点F，过点E作于点G，设点P坐标为，先证明≌，可得出，再求出直线CD的表达式为，最后把代入求解即可；
解法二：把CD绕点C逆时针旋转得到线段CF，连接DF，先证明≌，再求出直线CF的表达式为，即可求解；
解法三：过P作于点E，过点D作于F，利用勾股定理求出，然后证明∽，再利用勾股定理求出，即可求解；
解法一：过点N作轴，交直线AD于点H，则，由∽得到，利用待定系数求得直线AD的表达式为，设，得到N的坐标，其中，可得出，所以，再根据二次函数的性质即可求解；
解法二：过点N作轴，交直线AD于点Q，则，由∽得出，利用待定系数法求得直线AD的表达式为，设点N坐标为，得出点Q坐标为，其中，可得出，再根据二次函数的性质即可求解．
本题考查函数的综合应用，解题的关键是掌握函数的相关应用和性质．
24.【答案】证明：，，
，
，
，
，
，
四边形ABHD是矩形，
，，
在中，，，，
，
，
，，
在和中，
，
≌；
解：①如图1中，PQ扫过的面积=平行四边形的面积+扇形的面积．
设交AM于点
，，
，
扫过的面积；
②如图中，连接当DM运动到与DH重合时，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
点K在区域含边界内的时长；
③如图3中，
在中，，，
，
，
，，
，
，，
，
，，
∽，
，
，
，

【解析】解直角三角形求出QM，再根据AAS证明三角形全等即可；
①如图1中，PQ扫过的面积=平行四边形的面积+扇形的面积；
②如图中，连接当DM运动到与DH重合时，求出，可得结论；
③利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性质求出EF，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．运动鞋
价格
甲
乙
进价元/双
m
售价元/双
240
160