江苏省宿迁市第一高级中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）

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1. 命题“对任意，都有”的否定是
A. 对任意，都有B. 对任意，都有
C. 存在，使得D. 存在，使得
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称命题直接得到其否定命题.
【详解】解：命题“对任意，都有”的否定是存在，使得.
故选：D.
【点睛】本题考查全称命题的否定，是基础题.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由交集概念求解，
【详解】集合，，则，
故选：A
3. 已知，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式不等式解得的取值范围，根据充分不必要条件的定义，可得答案.
【详解】由不等式，等价于，解得，
由，故是充分不必要条件.
故选：A.
4. 设集合，其中为自然数集，，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化简集合，结合子集的定义即可判断A：求得，即可判断B，C；结合，，即可判断D．
【详解】解：集合，，
对于A，由子集的定义知：，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，因为，，故不成立，故D错误．
故选：C
5. 如图，已知矩形U表示全集，A、B是U的两个子集，则阴影部分可表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在阴影部分区域内任取一个元素x ，分析元素x 与各集合的关系，即可得出合适的选项.
【详解】解：在阴影部分区域内任取一个元素x ，
则 且，即且 ，
所以，阴影部分可表示为.
故选：D.
6. 某班班主任对全班女生进行了关于对唱歌、跳舞、书法是否有兴趣的问卷调查，要求每位同学至少选择一项，经统计有21人喜欢唱歌，17人喜欢跳舞，10人喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞的有12人，同时喜欢唱歌和书法的有6人，同时喜欢跳舞和书法的有5人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为（ ）
A. 27B. 23C. 25D. 29
【答案】A
【解析】
【分析】借助韦恩图处理集合运算的容斥问题.
【详解】作出韦恩图，如图所示，
可知5人只喜欢唱歌，2人只喜欢跳舞，1人只喜欢书法，同时喜欢唱歌和跳舞但不喜欢书法的有10人，同时喜欢唱歌和书法但不喜欢跳舞的有4人，
同时喜欢跳舞和书法但不喜欢唱歌的有3人，三种都喜欢的有2人，则该班女生人数为.
故选：A.
7. 已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题可得恒成立，由即可求出.
【详解】因为命题“，使”假命题，
所以恒成立，所以，解得，
故实数的取值范围是．
故选：B．
8. 关于的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】B
【解析】
【分析】根据描述易知甲、乙有一个为假命题，再假设甲为真或乙为真，即可判断出假命题.
【详解】若甲、乙为真命题，显然与丙、丁矛盾，
所以甲、乙有一个为假命题，而丙、丁为真命题，
假设甲为真，乙为假，则方程的两个根分别为，满足甲、丙、丁为真，乙为假；
假设乙真，甲为假，则丙、丁必有一个为假，不满足题设；
综上，假命题为乙.
故选：B
二、多选题
9. 若，则实数m的可能取值为（ ）
A. 4B. 2C. 1D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据元素和集合的关系、集合元素的互异性求得正确答案.
【详解】三个元素中有且只有一个是3，要分三类讨论．
当时，，此时，，故符合题意；
当时，，此时（注意检验），不满足集合中元素的互异性，故舍去；
当时，，经检验符合题意．
综上可知，或．
故选：ABD
10. 下列四个命题中正确的是（ ）
A. 由所确定的实数集合为
B. 同时满足的整数解的集合为
C. 集合可以化简为
D. 中含有三个元素
【答案】BC
【解析】
【分析】利用绝对值的意义，去绝对值符号，即可判定A；解不等式得到x的取值范围，用列举法表示出整数解的集合即可判定B；由，，，用列举法可判定C；用试根的方式找出满足条件的元素可判断D.
【详解】解：对于选项A，
当都是正数时，原式
当都是负数时，原式
当两正一负时，原式
当两负一正时，原式故A错误；
对于选项B，由，得，
所以符合条件的整数解的集合为，故B正确；
对于选项C，由，，，
可以得到符合条件的数对有，，，故C正确；
对于选项D，当a=2时，；当时，
当时，；当时，；
当时，；当时，，
所以集合A含有四个元素2，1，0，，故D错误.
故选：BC.
11. 设A为非空实数集，若对任意x，，都有，，且，则称A为封闭集．下列叙述中，正确的为（ ）
A. 集合为封闭集B. 集合为封闭集
C. 封闭集一定是无限集D. 若A为封闭集，则一定有
【答案】BD
【解析】
【分析】由封闭集的定义逐一判断即可求解
【详解】对于A，在集合中，
不在集合A中，集合A不是封闭集，故A错误；
对于B，集合，
设x，，则，，，，
，，，
集合为封闭集，故B正确；
对于C，封闭集不一定是无限集，如：{0}为封闭集，故C错误；
对于D，若A为封闭集，则取得，故D正确．
故选：BD
三、填空题
12. 已知，，若是的一个必要不充分条件，则实数的取值范围为_____
【答案】
【解析】
【分析】由必要不充分的推出关系列式求解，
【详解】由题意得，，而，故，得，
故答案为：
13. 写出“，不等式成立”的一个充分不必要条件______.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】寻找出充要条件，然后根据充分不必要条件的定义得出结论．
【详解】，不等式恒成立的充要条件是，即，
充分不必要条件可以写，…．
故答案为：（答案不唯一）．
14. 若集合，集合，若，则k的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【分析】由分式不等式的解法化简集合A，根据集合的基本运算和关系建立不等式关系即可．
【详解】，，，
，
故答案为：.
四、解答题
15. 已知集合，，，全集为实数集R．
（1）求，，；
（2）如果，求的取值范围．
【答案】（1），，或
（2）
【解析】
【分析】（1）利用集合的运算法则求解即可；
（2）在数轴上表示出集合和集合,利用已知条件求解.
【小问1详解】
∵，，
∴,,或，
【小问2详解】
因为集合，，且，
所以，
即的取值范围为.

16. 成化高中小伟同学在学习完第一章集合后对高中数学非常感兴趣，他在图书馆查阅资料后发现在集合论中有“差集”的定义如下：且 .
（1）若，，求；
（2）若，，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）运用“差集”的定义即可得；
（2）计算出集合、后，运用“差集”的定义即可得.
【小问1详解】
由，，
则；
【小问2详解】
由，
或x>2，
则.
17. 已知
（1）当时，求；
（2）在①是的必要条件；②；③这三个条件中任选一个，求实数a的取值范围.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分式不等式可化为，求解即可化简B，再求即可；
（2）条件①②③均等价于，可得，求解即可
【小问1详解】
由分式不等式可化为，则不等式解集为，即有B=,
，，故；
【小问2详解】
条件①②③均等价于，则有，解得，实数a的取值范围为；
18. 已知命题，命题.
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题和均为真命题，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）当命题p为真命题时，，进而求出实数的取值范围；
（2）当命题q为真命题时，利用求出实数的取值范围，再根据和均为真命题，求出交集确定实数的取值范围.
【小问1详解】
当命题p为真命题时
在上恒成立

又因为命题为真命题
所以，即实数a的取值范围是
【小问2详解】
当命题q为真命题时
因为
所以
所以
又因为命题和均为真命题
所以
所以，即实数a的取值范围是
19. 对，定义一种新的运算，规定：（其中，，），已知，．
（1）求，的值；
（2）若，解不等式组．
【答案】（1），；
（2）．
【解析】
【分析】（1）先根据规定的新运算列出关于，的方程组，再解之即可；
（2）由，得出，，根据规定的新运算列出关于的不等式组，解之即可.
【小问1详解】
由题意，可知，
，
解得，；
【小问2详解】
由（1）知，，
因为，
所以，，
所以，，
所以．
所以，
，
由，得，
由，得，
综上，原不等式组的解集为.