重庆市2025届高三上学期9月大联考数学试题（原卷版）

这是一份重庆市2025届高三上学期9月大联考数学试题（原卷版），共5页。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知集合，，则集合的真子集的个数为（ ）
A. 7B. 8C. 31D. 32
2. 若复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知且，则的最小值为（ ）
A. 4B. 6C. D. 8
4. 已知向量的夹角为，且，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知α，，且，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 命题在上为减函数，命题在为增函数，则命题是命题的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
7. 某校高三数学老师共有20人，他们的年龄分布如下表所示：
下列说法正确的是（ ）
A. 这20人年龄分位数的估计值是46.5
B. 这20人年龄的中位数的估计值是41
C. 这20人年龄的极差的估计值是55
D. 这20人年龄的众数的估计值是35
8. 已知函数，.当时，恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9. 某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为、、，现采用分层抽样的方法从中抽取人，进行某项兴趣调查．已知抽出的人中有人对此感兴趣，有人不感兴趣，现从这人中随机抽取人做进一步的深入访谈，用表示抽取的人中感兴趣的学生人数，则（ ）
A. 从甲、乙、丙三个社团抽取人数分别为人、人、人
B. 随机变量
C. 随机变量的数学期望为
D. 若事件“抽取的3人都感兴趣”，则
10. 在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（ ）
A. 开口向上抛物线的方程为
B. AB=4
C. 直线截第一象限花瓣的弦长最大值为
D. 阴影区域的面积大于4
11. 已知直线，A是之间的一定点并且点A到的距离分别为1，2，B是直线上一动点，作，且使AC与直线交于点C，，则（ ）
A. 面积的最小值为
B. 点到直线的距离为定值
C. 当时，的外接圆半径为
D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 一个词典里包含个不同的单词，其中有个以字母“”开头，其余以其他字母开头.从中选择个单词组成一个新的子集，其中至少包含两个“”开头，一共有__________个这样的子集.（要求用数字作答）
13. 在的展开式中，若的系数为，则_____.
14. 已知函数，若函数，当恰有3个零点时，求的取值范围为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在三棱锥中，，，点是的中点.

（1）求绕旋转一周形成的几何体的体积；
（2）点在棱上，且，求直线与平面所成角的大小.
16. 已知的内角所对的边分别是.
（1）求角；
（2）若外接圆的面积为，且为锐角三角形，求周长的取值范围.
17. 夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是，若在前一天选择绿豆汤的条件下，后一天继续选择绿豆汤的概率为，而在前一天选择银耳羹的条件下，后一天继续选择银耳羹的概率为，如此往复．（提示：设表示第天选择绿豆汤）
（1）求该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率
（2）求该同学第2天选择绿豆汤的概率；
（3）记该同学第天选择绿豆汤的概率为，求出的通项公式.
18. 已知数列的前项和为，满足，数列是等比数列，公比.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列满足，其中.
（i）求数列前2024项和；
（ii）求.
19. 已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，渐近线方程为.
（1）求的方程；
（2）若互相垂直两条直线均过点，且，直线交于两点，直线交于两点，分别为弦和的中点，直线交轴于点，设.
①求；
②记，，求.
年龄
人数
1
2
6
5
4
2