小学数学人教版（2024）五年级上册7 数学广角——植树问题精品学案

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1.两端都载的植树问题
两端都栽，栽的棵数与间隔数的关系：棵数=间隔数+1；间隔数=总长÷间隔距离。
2.两端都不载的植树问题
两端都不栽，栽的棵数与间隔数的关系：棵数=间隔数-1；间隔数=总长÷间隔距离。
3.封闭图形的植树问题
解决沿封闭图形植树的问题时，可以化曲为直，在封闭图形和在不封闭图形“一端栽”中棵数和间隔数的关系是一样的，都是棵数=间隔数。
两端都栽的植树问题。
填空
1.下面的线段上有（ ）个点，共有（ ）小段。不封闭图形的点数和段数的关系是（ ）。
【答案】7 6 段数=点数-1
【分析】通过数一数，线段上一共有7个点，一共有6段，由两端都栽的植树问题的规律可知，段数=点数-1。
在一条长300米的公路两边种树，每隔4米种1棵（两端都要种），这样一共要种（ ）棵。
【答案】152
【分析】由题意可知，两端都要栽，棵树=间隔数+1。间隔数=300÷4=75，棵树=75+1=76（棵），又因为是在公路两边种树，所以76×2=152（棵）。
【详解】300÷4=75
75+1=76（棵）
76×2=152（棵）
一条路的一边每隔10米有一根电线杆（两端都有），一共有24根电线杆，这条路有（ ）米长。
【答案】230
【分析】由题意可知，属于两端都栽的植树问题，棵树=间隔数+1，电线杆数就是棵树，间隔数=棵树-1=24-1=23,23×10=230（米）。
【详解】24-1=23
23×10=230（米）。
解决问题
1.为庆祝六一儿童节，学校要在72米长的走廊两侧摆放鲜花，如果每3米放一盆（两端都要放），需要放多少盆花？
【答案】50盆
【分析】由题意可知，属于两端都栽的植树问题，棵树=间隔数+1，间隔数=72÷3=24，鲜花数就是棵树，鲜花数=24+1=25（盆），又因为两端都要放，所以25×2=50（盆）。
【详解】72÷3=24
24+1=25（盆）
25×2=50（盆）
答：需要放50盆花。
2.元旦即将来临，学校准备在教学楼的顶部前沿从头到尾每隔5米插上一面彩旗，测得大楼的顶部前沿长50米。学校需要买多少面彩旗？
【答案】11面
【分析】由题意可知，属于两端都栽的植树问题，棵树=间隔数+1，间隔数=50÷5=10，彩旗数就是棵树，彩旗数=10+1=11（面）。
【详解】50÷5=10
10+1=11（面）
答：学校需要买11面彩旗。
两端都不栽的植树问题。
一、填空。
1.把一根木料据成2段要用5分钟，据成3段要用（ ）分钟。
【答案】10
【分析】由题意可知，一根木料据称2段要用5分钟，据成2段就是锯了1次，也就是据1次要用5分钟，据成3段就是据了2次，锯2次用5×2=10分钟。
【详解】2-1=1
3-1=2
5×2=10（分）
2.在20米长的小路上栽树，每隔4米栽一棵，两端都不栽，一共需要（ ）棵树苗。
【答案】4
【分析】由题意可知，属于两端都不栽的植树问题，间隔数=20÷4=5，棵树=5-1=4（棵）。
【详解】20÷4=5
5-1=4（棵）。
二、选择。
1.在相距120米的两栋楼之间栽树，每隔20米栽一棵，共栽了（ ）棵。
A.6 B.7 C.8 D.5
【答案】D
【分析】由题意可知，属于两端都不栽的植树问题，间隔数=120÷20=6，棵树=6-1=5（棵）。
【详解】120÷20=6
6-1=5（棵）。
2.将一根木头据成5段，每据一次要2分钟，据完一共要用（ ）分钟。
A.10 B.8 C.12 D.5
【答案】B
【分析】由题意可知，据成5段是锯了4次，锯完一共用4×2=8分钟。
【详解】5-1=4
4×2=8（分）
3.一条小路长36米，每隔4米摆一盆花，两端不摆，一共需要（ ）盆花。
A.8 B.9 C.10 D.11
【答案】A
【分析】由题意可知，属于两端都不栽的植树问题，间隔数=36÷4=9，棵树=9-1=8（盆）。
【详解】36÷4=9
9-1=8盆分）
三、解决问题
1.有一个大坝长是1800米，现在要在大坝上每隔6米栽一棵柳树，两端不栽，每两棵柳树之间栽一棵桃树。一共要栽多少棵柳树和多少棵桃树？
【答案】柳树：299棵，桃树：298棵
【分析】由题意可知，栽柳树属于两端都不栽的植树问题，间隔数=1800÷6=300，棵树300-1=299（棵）。栽桃树属于两端都不栽的植树问题，间隔数就是柳树的棵树，棵树=299-1=298棵。
【详解】1800÷6=300
柳树：300-1=299（棵）
桃树：299-1=298（棵）
一端栽一端不栽的植树问题。
1.一个圆形池塘的周长是500米，每隔10米栽一棵梨树，需要树苗多少株？
【答案】50株
【分析】由题意可知，属于封闭型植树问题，棵树=间隔数，间隔数=500÷10=50，所以树苗也是50株。
【详解】500÷10=50（株）
答：需要树苗50株。
2.学校在图书馆前面摆了一个正方形花坛，这个花坛的最外层每边各摆放12盆花，最外层共摆了多少盆花？
【答案】44盆
【分析】由题意可知，这个歌=花坛是一个正方形，每边各放12盆，如果不重复数的话，就是每条边上有12-1=11盆，11×4=44盆。
【详解】12-1=11（盆）
11×4=44（盆）
答：最外层共摆了44盆花。
3.李大叔要在正方形池塘的四周种上树，池塘边长60米，每隔5米种一棵，四个角各种一棵，李大叔买了50棵树苗够吗？
【答案】够
【分析】由题意可知，池塘是正方形的，边长60米，每隔5米种一课，间隔数=60÷5=12（棵），每条边种12+1=13棵，不重复数的话，每条边种13-1=12棵，所以12×4=48棵，48<50，所以李大叔买50棵树苗够。
【详解】60÷5=12（棵）
12×4=48（棵），48<50
答：李大叔买50棵树苗够。
一．选择题（共5小题）
1．一根木头锯成两段要12分，锯成11段要（ ）分。
A．120B．132C．144
【答案】A
【分析】锯成两段需要12分，即锯一次需要12分，锯成11段需要锯（11﹣1）次，所以需要12×（11﹣1）＝120（分）。
【解答】解：12×（11﹣10）
＝12×10
＝120（分）
答：锯成11段需要120分。
故选：A。
【点评】明确锯成11段需要锯多少次是关键。
2.学校环形运动场的跑道一圈长400m，在内侧每隔10m插1面彩旗，一共可以
插（ ）面彩旗。
A．39B．40C．41
【答案】B
【分析】根据题干可知动场地跑道的周长是400m，围成一个封闭的图形插彩旗时，彩旗的面数＝间隔数，据此用400除以10求出间隔数（彩旗的面数）解答即可。
【解答】解：400÷10＝40（面）
答：一共插40面彩旗。
故选：B。
【点评】此题考查了植树问题中，围成封闭图形植树时，植树棵数＝间隔数。
公园内一条林荫大道全长800米，在它的两侧从头到尾每隔20米放一个垃圾
桶，一共需要（ ）个垃圾桶。
A．78B．80C．82
【答案】C
【分析】根据题干分析可知这是一道两端都植树的植树问题，棵树＝间隔数+1；另外道路两旁都放垃圾桶，最后要乘2。据此解答。
【解答】解：800÷20＝40（个）
40+1＝41（个）
41×2＝82（个）
答：一共需要82个垃圾桶。
故选：C。
【点评】本题主要考查两端都植树的植树问题，知道棵数与间隔数的关系是解本题的关键。
4．小丽家住5楼，已知每上一层楼的时间为15秒，小丽从一楼到家需要（ ）
A．1分B．75秒C．60秒
【答案】C
【分析】从1楼到5楼共要爬5﹣1＝4（层），用一层的时间乘4即可，即可求出小丽从一楼到家需要的时间。
【解答】解：15×（5﹣1）
＝15×4
＝60（秒）
答：小丽从一楼到家需要60秒。
故选：C。
【点评】本题要结合实际情况来求解，到的层数减1才是要走的层数。
5．把一根3米长的木料锯成相等的几段，一共锯了5次，每段长（ ）分米。
A．6B．5C．4
【答案】B
【分析】一共锯了5次，锯了5+1＝6（段），然后根据平均分除法的意义，用3米除以6即可。
【解答】解：3米＝30分米
30÷（5+1）
＝30÷6
＝5（分米）
答：每段长5分米。
故选：B。
【点评】本题考查了植树问题，关键是确定锯的段数＝次数+1。
二．填空题（共5小题）
1.把一根8米长的钢筋平均截成5段，每段是全长的（ ）。如果截成3段
需要3分钟，截成5段需要（ ）分钟。
【答案】0.2；6。
【分析】平均截成几段，每段就是全长的几分之一，截成3段需要截两次；利用除法，求出截一次需要的时间，再根据截成5段需要截4次，乘截一次需要的时间，即可解答。
【解答】解：1÷5＝0.2
3÷（3﹣1）×（5﹣1）
＝3÷2×4
＝1.5×4
＝6（分钟）
答：每段是全长的0.2。如果截成3段需要3分钟，截成5段需要6分钟。
故答案为：0.2；6。
【点评】本题考查植树问题的计算以及分数的意义。注意计算的准确性。
2.爬楼梯。淘气从第1层爬到第3层楼需要36秒，同样的速度，从第1层爬到第11层楼需要 （ ）分。
【答案】3
【分析】淘气从第1层爬到第3层楼，共爬了2层楼梯，用36秒除以2层，即可计算出淘气爬一层楼梯需要的时间；从第1层爬到第11层楼需要爬10层楼梯，再用淘气爬一层楼梯需要的时间乘10层，即可计算出从第1层爬到第11层楼需要多少分钟。
【解答】解：36÷（3﹣1）×（11﹣1）
＝36÷2×10
＝18×10
＝180（秒）
180秒＝3分
答：从第1层爬到第11层楼需要3分。
故答案为：3。
【点评】本题解题的关键是先计算出淘气爬一层楼梯需要的时间，再根据乘法的意义，计算出从第1层爬到第11层楼需要的时间。
3.广场上的大钟整点时敲相应的点数，早上8时敲钟用了35秒，那么12时敲钟用了 （ ）秒。
【答案】55
【分析】8时敲8下，有7个间隔，用35秒除以间隔数，求出每个间隔是多长时间，12时敲12下，有11个间隔，用每个间隔的时间，乘11即可求解。
【解答】解：35÷（8﹣1）
＝35÷7
＝5（秒）
（12﹣1）×5
＝11×5
＝55（秒）
答：12时敲钟用了55秒。
故答案为：55。
【点评】解决本题要注意间隔数＝敲的次数﹣1。
4.沿圆形水池的一周栽78棵苹果树，每相邻2棵苹果树之间栽1棵梨树，那么一共栽了（ ）棵梨树。
【答案】78
【分析】由于是环形，则78棵苹果树的间隔数是78个，那么梨树的棵数是：1×78＝78（棵）；据此解答。
【解答】解：1×78＝78（棵）
答：一共栽了78棵梨树。
故答案为：78。
【点评】本题考查了植树问题，知识点是：植树的棵数＝间隔数（在环形上）。
一根木头长1米，要把它锯成2.5分米长的小段，每锯成一段要4分钟，锯完一段休息3分钟，全部锯完需要 （ ）分钟。
【答案】18
【分析】1米＝10分米，根据题意，可以得出锯成的段数是：10÷2.5＝4（段），由锯的次数比锯成的段数少1，可知锯的次数是：4﹣1＝3（次），那锯的时间是：4×3＝12（分钟）；因为锯完最后一次就结束了，不用算休息时间了，所以休息的次数比锯的次数少1，那休息的时间是：3×（3﹣1）＝6（分钟），再根据题意解答即可。
【解答】解：1米＝10分米
10÷2.5＝4（段）
锯木头用的时间：（4﹣1）×4
＝3×4
＝12（分钟）
休息的时间是：3×（4﹣1﹣1）
＝3×2
＝6（分钟）；
全部锯完的时间是：12+6＝18（分钟）
答：全部锯完需要18分钟。
故答案为：18。
【点评】根据题意，求出锯的次数和休息的次数，再根据题意解答即可。
三．判断题（共5小题）
1.把10根短绳打结连起来，变成一根长绳，可以得到10个结。
【答案】 ×
【分析】根据实际情况可得，此题属于植树问题中的两端都不栽的情况：间隔数是10，则打结的个数＝间隔数﹣1，据此即可解答。
【解答】解：10﹣1＝9（个）
答：把10根短绳打结连起来，变成一根长绳，可以得到9个结，所以原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】此题问题原型是植树问题中的两端都不栽的情况：抓住植树棵数＝间隔数﹣1即可解答。
2.在不封闭路线上植树，间隔数和棵数总不相等．
【答案】 × ．
【分析】可举反例证明，如果植树线路只有一端要植树，那么植树的棵数和要分的段数相等，即：棵数＝间隔数．据此解答即可．
【解答】
解：当在不封闭路线上植树，如果只有一端要植树，那么间隔数和棵数就相等；所以原题说法错误．
故答案为：×．
【点评】本题考查了植树问题，知识链接（沿直线上栽）：栽树的棵数＝间隔数﹣1（两端都不栽），植树的棵数＝间隔数+1（两端都栽），植树的棵数＝间隔数（只栽一端）．
3.把木条锯成3节要3分钟，锯成4节要4分钟．
【答案】 ×
【分析】由题意可知：把木条锯成3节要3分钟，需要锯（3﹣1）次，锯成4节需要锯4﹣1＝3次，求出锯每次需要的时间，再乘锯的次数3，再进行判断即可。
【解答】解：3÷（3﹣1）
＝3÷2
＝1.5（分钟）
1.5×（4﹣1）
＝1.5×3
＝4.5（分钟）
即，锯成4节要4.5分钟，所以原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】解答此题的关键是明白：锯成n段木头，需要锯（n﹣1）次。
4.小红和小明住在同一幢楼里，小红住三楼，小明住六楼，小明说：“我走的楼梯数是小红的2倍。”
【答案】×
【分析】根据植树问题公式：如果植树线路只有一端要植树，那么植树的棵数和要分的段数相等，即：棵数＝间隔数。小红从一楼到三楼，需要爬3﹣1＝2（层）楼梯，而小明从一楼到六楼，需要爬6﹣1＝5（层）楼梯，5不是2的2倍，所以小明说的错误；据此判断。
【解答】解：3﹣1＝2（层）
6﹣1＝5（层）
5÷2＝2.5
2.5≠2
所以小明说的错误，故原题说法错误。
故答案为：×。
【点评】本题主要考查植树问题，关键是分清间隔数与楼层数之间的关系。
操场边种了一排树，每相邻两棵树之间的距离是5米，小明从第1棵跑到第
10棵共跑了50米。
【答案】×
【分析】理解间隔的概念，掌握树的棵数和间隔数之间的关系，这道题目是说小明从第1棵树跑到第10棵，树的棵数是10棵，小明跑的是树的间隔，那么根据间隔数＝棵数﹣1求出间隔数从而解决问题。
【解答】解：5×（10﹣1）
＝5×9
＝45（米）
答：一共跑了45米。
故答案为：×。
【点评】认识理解间隔的概念，掌握树的棵数和间隔数之间的关系，利用这一关系先求出间隔数是解决问题的关键。
四．应用题（共5小题）
1.一条道路长2000米，现在要在道路的两旁每隔50米安装一盏路灯（两端都安
装），一共要安装多少盏路灯？
【分析】先求出2000米里面有几个50米，即有几个间隔，最后一端还要安装一盏，由此得出安装一旁路灯的盏数；再乘2，即可求出两旁一共要安装的盏数。
【解答】解：2000÷50+1
＝40+1
＝41（盏）
41×2＝82（盏）
答：一共要安装82盏路灯。
【点评】本题属于两端都栽的植树问题：植树的棵数＝间隔数+1；两侧都植时，再将结果乘2。
一根钢管，把它锯成7段需用18分钟，照这样的速度，把它锯成16段需用
多少分钟？
【分析】把钢管锯成7段，需要锯6次，所以锯一次需要时间：18÷6＝3（分钟），所以锯16段，需要锯15次，再用乘法计算出锯成16段需用多少分钟。
【解答】解：18÷（7﹣1）×（16﹣1）
＝18÷6×15
＝3×15
＝45（分钟）
答：把它锯成16段需用45分钟。
【点评】解决本题的关键是知道：所锯次数＝所锯段数﹣1。
王刚和李军两人爬楼梯，王刚跑到5楼时，李军正好跑到3楼。照这样计算，
王刚跑到9楼时，李军跑到几楼？
【分析】王刚跑到5楼时，跑了4层楼梯，李军正好跑到3楼，跑了2层楼梯，据此用甲的层数除以乙跑的层数，求出甲的速度是乙的速度的倍数，王刚跑到9楼，跑了8层楼梯，用王刚跑的层数除以甲的速度是乙的速度的倍数就是李军跑的层数，再加1即可解答。
【解答】解：（5﹣1）÷（3﹣1）
＝4÷2
＝2
（9﹣1）÷2+1
＝8÷2+1
＝4+1
＝5（楼）
答：李军跑到5楼。
【点评】明确跑到的楼数与跑的楼梯层数之间的关系是解题的关键。
小红做了一个正方形框架，框架的边长为12厘米。在它的四条边上每隔4厘
米贴1颗星星，而且四个角都要各贴1颗，一共需要几颗星星？
【分析】正方形有4条边，且4条边的长度相等，假设4个角都不贴，相当于两端都不栽的问题，此时每边贴的星星数＝间隔数﹣1，用每边的星星数乘4，再加上四个角都贴的1颗即可解答。
【解答】解：12÷4﹣1
＝3﹣1
＝2（颗）
2×4+4
＝8+4
＝12（颗）
答：一共需要12颗星星。
【点评】解答此题也可以根据在封闭图形中，植树棵数＝间隔数进行解答解答。
一根圆柱形钢材，锯成4段要用10分钟，照这样计算，锯成7段要用多少分
钟？
【分析】把木条锯成4段，需要锯（4﹣1）次，所以锯一次需要的时间是[10÷（4﹣1）]分钟，所以锯8段，需要锯（7﹣1）次，用锯一次的时间乘锯的次数即可。
【解答】解：10÷（4﹣1）×（7﹣1）
＝10÷3×6
＝20（分钟）
答：锯成7段要用20分钟。
【点评】解决本题的关键是知道：所锯次数＝所锯段数﹣1。