上教版 (2020)必修 第一册1.1 集合初步学案

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课堂引入
我们知道，事物既有个性，也有共性．当我们研究一个具体问题时，常把讨论对象限制在一定的整体范围内，以便于讨论其共同性质；而对整体来说，每个对象又有着其各自的特点．这就是集合与其元素之间的基本关系．
集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的基本语言和重要基础．一方面，许多重要的数学分支都建立在集合理论的基础上；另一方面，集合论及其思想，在越来越广泛的领域中得到应用．
数学作为很多其他学科的基础和工具，其内涵及语言都是按照逻辑的方式来组织的.根据正确的前提，按照严格的逻辑推理，总是能够得到正确的结论.
知识梳理
一、集合
1、集合：把一些确定的对象的全体叫做集合（set）（简称为集）.
集合通常用大写字母来表示.
2、元素：集合中所含的各个对象叫做该集合的元素（element）.
元素通常用小写字母来表示.
3、元素与集合的隶属关系
属于（belng t）：如果是集合A的元素，就说属于A，记作，
不属于（nt belng t）：如果不是集合A的元素，就说不属于A，记作．
4、集合的分类：
元素个数有限的集合称为有限集（finite set），
元素个数无线的集合称为无限集（infinite set）．
我们引进一个特殊的集合——空集（empty set），规定空集不含元素，记作，
例如，方程的实数解所组成的集合是空集，又如，两个外离的圆，它们的公共点所组成的集合也是空集．
注意：和是不同的．是含有一个元素0的集合，是不含任何元素的集合．
5、集合的性质：
（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可．
（2）互异性：集合中的元素没有重复．
（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）．
6、常用数集及记法：
（1）自然数集（natural numbers set）：全体非负整数的集合，记作N，
（2）正整数集：非负整数集内排除0的集，记作N*或N+ ，
（3）整数集（set f integer）：全体整数的集合，记作Z，
（4）有理数集（ratinal numbers set）：全体有理数的集合，记作Q，
（5）实数集（set f real numbers）：全体实数的集合，记作R．
二、集合的表示方法：
除了用自然语言描述集合外，我们还有一些其他方法用来表示集合.
（1）列举法：将集合中的元素不重复地一一列举出来并写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法. 例如，方程的所有解组成的集合，可表示为，也可表示为.这是因为在讨论集合时，不考虑其元素的顺序.
（2）描述法：在大括号内先写出这个集合中元素的一个记号，再画一条竖线，并在竖线的右边写上集合中所有元素具有的共同特征，即：（集合中的元素都具有性质，而且凡具有性质的元素都在集合中），这种表示集合的方法叫做描述法．例如，方程的所有解组成的集合可表示为．又如，函数图像上的所有点的集合可以表示为.
（3）数学中，常常需要表示满足一些不等式的全体实数所组成的集合.为了方便起见，我们引进区间（interval）的概念.
设且．
称为开区间，记为；；
称为闭区间，记为；
称为左闭右开区间，记为；
，称为左开右闭区间，记为．
以上都是有限区间，以下是无限区间：
，，，，
实数集，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”．
这里的实数统称为这些区间的端点.
三、集合之间的关系
1、子集（subset）：
定义：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，此时我们称A是B的子集．
即：若任意，则，记作：或；读作：A包含于B或B包含A；
注意：有两种可能：（1）A是B的一部分；（2）A与B是同一集合．
2、集合相等：
定义：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B．
3、真子集（prper subset）：
定义：对于两个集合A与B，如果，并且，我们就说集合A是集合B的真子集；
记作：AB或BA；读作：A真包含于B或B真包含A．
（在有些资料中，集合A是集合B的真子集也被记作）
注意：1）空集是任何集合的子集；2）空集是任何非空集合的真子集；3）任何一个集合是它本身的子集．
4、子集的个数：
含个元素的集合的所有子集的个数是，所有真子集的个数是，非空真子集数为．
5、易混符号
①“”与“”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系．
如R，
②与：是含有一个元素0的集合，是不含任何元素的集合．
如．不能写成=，∈
6、文氏图（Venn diagram）
用平面区域来表示集合之间关系的方法叫做集合的图示法，所用的图叫做文氏图．右图表示的是的文氏图．
小结：（1）有两种可能：①中所有元素是中的一部分元素；②与是中的所有元素都相同；
（2）空集是任何集合的子集；任何一个集合是它本身的子集；
（3）判定是的子集，即判定“任意”；
（4）判定，即判定“任意，且任意”；
（5）判定，即判定“任意，且存在”；
（6）易混符号：①“”与“”②与；
（7）．
例题分析
【例1】下列四组对象，能构成集合的是
A．某班所有高个子的学生B．著名的艺术家
C．一切很大的书D．倒数等于它自身的实数
【答案】D
【分析】根据集合的含义分别分析四个选项，A，B，C都不满足函数的确定性故排除，D确定.
【详解】A：某班所有高个子的学生，因为高个子学生不确定，所以不满足集合的确定性，排除；
B：著名的艺术家，因为著名的艺术家不确定，所以不满足集合的确定性，排除；
C：一切很大的书，因为很大的书不确定，所以不满足集合的确定性，排除；
D：倒数等于它自身的实数为1与，∴满足集合的定义，故正确．
故选D．
【点睛】本题考查集合的含义．通过对集合元素三个性质：确定性，无序性，互异性进行考查，属于基础题．
【例2】下列各对象可以组成集合的是（ ）
A．与1非常接近的全体实数
B．某校2023-2024学年度笫一学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学
D．与无理数相差很小的全体实数
【答案】B
【分析】根据集合定义与性质一一判断即可.
【详解】A中对象不确定，故错；B中对象可以组成集合；C中视力比较好的对象不确定，故错；D中相差很小的对象不确定，故错.
故选：B
【例3】下列语言叙述中，能表示集合的是（ ）
A．数轴上离原点距离很近的所有点；
B．太阳系内的所有行星
C．某高一年级全体视力差的学生；
D．与大小相仿的所有三角形
【答案】B
【分析】根据集合的确定性逐个判断即可
【详解】对A，数轴上离原点距离很近的所有点不满足确定性，故A错误；
对B，太阳系内的所有行星满足集合的性质，故B正确；
对C，某高一年级全体视力差的学生不满足确定性，故C错误；
对D，与大小相仿的所有三角形不满足确定性，故D错误
故选：B
【点睛】本题主要考查了集合的确定性，属于基础题
【例4】现有以下说法，其中正确的是
①接近于0的数的全体构成一个集合；
②正方体的全体构成一个集合；
③未来世界的高科技产品构成一个集合；
④不大于3的所有自然数构成一个集合．
A．①②B．②③C．③④D．②④
【答案】D
【分析】由集合元素特征三要素中的“确定性”可以判断正误．
【详解】在①中，接近于0的标准不明确，不满足集合中元素的确定性，不能构成一个集合，故①错误；在②中，正方体的全体能构成一个集合，故②正确；在③中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合，高科技的标准不明确，不满足集合中元素的确定性，故③错误；在④中，不大于3的所有自然数能构成一个集合，故④正确．故选D．
【点睛】集合元素的三要素是：确定性、互异性和无序性.确定性是指集合中的元素是明确的，要么属于这个集合，要么不属于这个集合，两者只能取其一．互异性是指集合中不能有相同元素．无序性指集合中的元素没有顺序．
【例5】下列选项中，表示同一集合的是
A．A={0，1}，B={（0，1）}B．A={2，3}，B={3，2}
C．A={x|–12，
②当B≠时，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2m－1≤m＋1，,2m－1≥－3，,m＋1≤4，))
解得－1≤m≤2，
综上，实数m的取值范围[－1，＋∞).
【例10】若集合中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是___________
【答案】
【分析】把不等式转化为，转化为，结合二次函数与一次函数的图象，列出不等式组，即可求解.
【详解】由题意，不等式且，即，
令，
所以，
所以是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线，
而一次函数，图象是过一定点的动直线，
作出函数和的图象，如图所示，
其中，
又因为，结合图象，
要使得集合中有且只有一个元素，
可得，即，解得.
即正实数的取值范围是.
故答案为：.
师生总结
一、集合的概念：
集合中元素特征，确定性，互异性，无序性；
集合的分类：
按元素个数分：有限集，无限集；
②按元素特征分；数集，点集。如数集{y|y=x2}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线；
二、集合的表示法：
①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+={0，1，2，3，…}；②描述法。③区间。
三、讨论集合间关系时，不要忽略
自主巩固
1．设集合，，若AB，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由题意，用数轴表示集合的关系，从而求解．
【详解】
，，由数轴表示集合，作图如下：
由图可知，即的取值范围是
故选：A
2．已知的集合的个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】
依题意且且至少有一个属于集合，再一一列举出来即可；
【详解】
解：因为，所以且且至少有一个属于集合，可能有，，，，，，共个，
故选：C
【点睛】
本题考查集合的包含关系，求集合的子集，属于基础题.
3．若集合且，则实数m的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
解方程得集合A，分为，，，分别求出的值，综合可得答案.
【详解】
由于，，
对B分3种情况讨论：，即方程无解，可得；
，即方程的解为，即，可得；
，即方程的解为，即，可得；
综上可得：实数的值组成的集合为；
故选：A.
【点睛】
本题主要考查集合间的包含关系的运用，注意集合可能为空集，属于基础题.
4．设集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．（3,4）C．D．
【答案】B
【分析】根据集合的包含关系列出关于a的不等式组即可.
【详解】由已知可得，集合，，
因为，所以，（注意端点值是否能取到），
解得，
故选：B．
5. 已知集合，，则的真子集个数为（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】C
【分析】
解方程组可求得，根据元素个数可求得真子集个数.
【详解】
由得：或，，
即有个元素，的真子集个数为个.
故选：C.
6. 设，，若，求实数组成的集合的子集个数有
A．2B．3C．4D．8
【答案】D
【分析】
先解方程得集合A，再根据得，最后根据包含关系求实数，即得结果.
【详解】
,
因为，所以，
因此，对应实数的值为，其组成的集合的子集个数有，选D.
【点睛】
本题考查集合包含关系以及集合子集，考查基本分析求解能力，属中档题.
7. 如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合中，所包含元素的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
求出集合，分析可知阴影部分所表示的集合为，利用交集的定义可求得结果.
【详解】
因为或，则，
由题意可知，阴影部分所表示的集合为.
故选：B.
8. 已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
求出A和B的具体区间，然后按照集合交并补的运算法则即可.
【详解】
解不等式 ， ，
解不等式 得， ，
；
故选：B.
9. 非空集合，，，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由题知，进而构造函数，再根据零点存在性定理得，解不等式即可得答案.
【详解】
解：由题知，
因为，所以，
所以，
故令函数，
所以，如图，结合二次函数的图像性质与零点的存在性定理得：
，即，解得，
所以，实数的取值范围为.
故选：A
10. 已知集合
（1）当A只有一个元素时，求的值，并写出这个元素；
（2）当A至多含有一个元素时，求的取值范围.
【答案】（1），，或，；（2）或
【分析】（1）中只有一个元素，说明方程有唯一解，根据是否为零分类讨论求解即可；
（2）中至多有一个元素，则说明方程有一个解或无解，根据是否为零分类讨论求解即可．
【详解】（1）当时，原方程变为，
此时，符合题意．
当时，，
解得，
此时原方程为，即．
综上可知：，，或，；
（2）由（1）知当时，中只有一个元素．
当时，若中至多含有一个元素，
则一元二次方程有一个解或无解，
即解得，
此时方程至多有一个解．
综上可知，的取值范围是或．