2024年沪教版高一数学第一学期同步讲义-3.2幂与指数、对数单元复习和单元检测（学生版+教师版）

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第3.2讲 幂与指数、对数单元复习与单元检测课堂引入在初中学习了数的开平方、开立方、二次根式、整数指数幂的意义及运算法则．本章学习幂与指数、对数的基本概念及运算性质，通过对具体数式的分析，掌握幂与指数、对数的概念和意义，掌握有理指数幂、对数的运算性质. 根式、分数指数幂、对数都是具体的对应法则，是后续学习指数函数、幂函数、对数函数的基础，本章具有承上启下的作用，不仅可以加深与巩固对初中所学知识，而且为高中后期学习指数函数与对数函数知识埋下伏笔.知识梳理1．根式(1)n次方根的定义与性质(2)根式的定义与性质2．分数指数幂注：分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂是根式的一种新的写法，不可理解为个a相乘.在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已.3．有理数指数幂的运算(1)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂也同样适用，即对于任意有理数r，s，均有下面的运算性质： ①(a>0,r,s∈Q)； ②(a>0,r,s∈Q)； ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).(2)指数幂的几个常用结论：①当a>0时，>0；②当a≠0时，=1，而当a=0时，无意义；③若(a>0,且a≠1)，则r=s；④乘法公式仍适用于分数指数幂.4．无理数指数幂及实数指数幂(1)无理数指数幂一般地，无理数指数幂(a>0,是无理数)是一个确定的实数.这样，我们就将指数幂(a>0)中指数x的取值范围从整数逐步拓展到了实数.(2)实数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，区别只有指数的取值范围不同. 5．对数的定义、性质与对数恒等式(1)对数的定义：一般地，如果=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.(2)对数的性质：①=0，=1(a>0,且a≠1)，负数和0没有对数.②对数恒等式：=N(N>0,a>0,且a≠1).(3)对数与指数的关系：根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0，且a≠1时，=Nx=.用图表示为：6．常用对数与自然对数7．对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0,N>0,n∈R，那么我们有：8．对数的换底公式及其推论(1)换底公式：设a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0，则=.(2)换底公式的推论：①=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1)；② (a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,c>0,且c≠1,d>0)；③(a>0,且a≠1,b>0,m≠0,n∈R).9．对数的实际应用在实际生活中，经常会遇到一些指数或对数运算的问题.求解对数的实际应用题时，一是要合理建立数学模型，寻找量与量之间的关系；二是要充分利用对数的性质以及式子两边取对数的方法求解. 对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类： (1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化； (2)建立指数函数型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算.例题分析 【例1】化简a23b12(-3a12b13)÷(13a16b56)的结果为（　　）A．9a B．﹣9a C．9b D．﹣9b【答案】B【分析】先计算系数，然后利用同底数幂的乘除运算求解．【详解】a23b12(-3a12b13)÷(13a16b56)=-9a23+12-16⋅b12+13-56 ＝﹣9a4+3-16⋅b3+2-56＝﹣9a．故选：B．【例2】设x2+3x4y2+y2+3x2y4=a，且x，y，a均为正数，求证：x23+y23=a23．【答案】证明见解析【分析】根据根式和分数指数幂的运算法则进行化简，即可得到结论．【详解】x2+3x4y2+y2+3x2y4=x2+x43y23+y2+x23y43=x43⋅(x23+y23)+y43⋅(x23+y23)，设x23+y23=t，则x43⋅(x23+y23)+y43⋅(x23+y23)=t(x23+y23)=t⋅t=t32=a，即a23=t，∴x23+y23=a23成立．【例3】将函数的图像向左、向下各平移1个单位长度，得到的函数图像，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据函数的图象变换的原则，结合对数的运算性质，准确运算，即可求解.【详解】由题意，将函数的图像向左、向下各平移1个单位长度，可得.故选：B.【例4】人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级（单位：dB）与声音强度 （单位：）满足 ，一般两人小声交谈时，声音的等级约为54 dB，在有40人的课堂上讲课时，老师声音的强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍，则老师声音的等级约为（    ）A．36dB B．63 dB C．72 dB D．81 dB 【答案】B【分析】利用题中给出的函数模型，结合对数的运算性质求解即可．【详解】解：设一般两人小声交谈时声音强度为，则，即，所以，则老师声音的等级约为．故选：．【例5】在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.声强级（单位：dB）与声强度（单位：）之间的关系为，其中基准值.若声强级为60dB时的声强度为，声强级为90dB时的声强度为，则的值为（    ）A．10 B．30 C．100 D．1000【答案】D【解析】根据题意，把转化为对数运算即可计算．【详解】由题意可得：故选：D【点睛】数学中的新定义题目解题策略：(1)仔细阅读，理解新定义的内涵；(2)根据新定义，对对应知识进行再迁移.【例6】若函数满足，则______．【答案】【分析】根据题意，令，结合指数幂的运算，即可求解.【详解】由题意，函数满足，令，可得.故答案为：.【例7】里氏震级的计算公式为：，其中是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是，此时标准地震的振幅为，则此次地震的震级为_________级.【答案】【分析】将，代入等式计算即可得解.【详解】将，代入等式得.故答案为：.【例8】若，则用含x的代数式表示为___________.【答案】或【分析】将指数式化为对数式，再根据对数的运算性质可求出结果.【详解】因为，所以，所以.故答案为：【例9】已知，化简________.【答案】【分析】由幂的运算法则即可求解.【详解】解：因为，所以由幂的运算法则得，故答案为：.【例10】使等式成立的的取值范围是________.【答案】【分析】先化简得，再根据绝对值的意义即可得答案.【详解】解：因为，所以因为所以，所以，即故满足条件的的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查根据根式化简结果求参数范围，是基础题.【例11】已知，，，则______【答案】【分析】根据换底公式得到，，，进而求出，再用换底公式求出.【详解】由，，得：，，，，所以故答案为：【例12】若，则的最小值为______.【答案】【分析】利用对数的运算可得出，分析出，，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】因为，所以，，则，，所以，，因为，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.故答案为：.【例13】已知、是一元二次方程的两个不相等的实数根，且，求实数的值.【答案】【分析】分析可知，，根据判别式结合韦达定理可求得实数的取值范围，再利用韦达定理结合对数运算可得出关于的等式，结合的取值范围可求得的值.【详解】由已知可得，由题意可知，，则，可得，所以，，所以，，即，因为，解得.师生总结1．利用指数幂的运算性质解决带有附加条件的求值问题，一般有三种思路：(1)将条件中的式子用待求式表示出来，进而代入化简得出结论.(2)当直接代入不易求解时，可以从总体上把握已知,式和所求式的特点，从而快速巧妙求解.一般先利用平方差、立方和(差)以及完全平方公式及其变形进行化简，再用整体代入法来求值.(3)适当应用换元法，能使公式的使用更清晰，过程更简洁.2．对数式化简或求值的常用方法和技巧：对于同底数的对数式，化简的常用方法是：①“收”，即逆用对数的运算性质将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数，即把多个对数式转化为一个对数式；②“拆”，即正用对数的运算性质将对数式“拆”成较小真数的对数的和(差).幂与指数、对数单元检测试卷考试时间60分钟，满分100分一、选择题（每题5分，共30分）1．方程log2x＝log4（2x+3）的解为（　　）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣1或3【答案】C【分析】根据对数的运算性质解方程即可．【详解】log2x＝log4（2x+3），即为log2x=12log2（2x+3），即log2x2＝log2（2x+3），则x＞0x2=2x+3，解得x＝3，故选：C．2．设a＞1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程logax+logay＝c，则a的取值集合为（　　）A．{a|2≤a≤3} B．{3} C．{a|a≥2} D．{2}【答案】D【分析】由logax+logay＝c可以用x表达出y，转化为函数的值域问题求解．【详解】∵logax+logay＝c，∴logaxy＝c∴xy＝ac，∴y=acx，函数是单调递减函数，所以当x∈[a，2a]时，y∈[ac-12，ac﹣1]，∴ac-12≥aac-1≤a2，∴c≥2+loga2c≤3，∵有且只有一个常数c符合题意，∴2+loga2＝3，解得a＝2，∴a的取值的集合为{2}．故选：D．3. 设m，n都是正整数，且n＞1，若a＞0，则不正确的是（　　）A．amn=nam B．(a12+a-12)2=a+a-1 C．a-mn=1nam D．a0＝1【答案】B【分析】利用根式与有理指数幂的互化可判断选项A，C，利用完全平方式展开可判断选项B，利用a0恒为1可判断选项D．【详解】对于选项A，根据根式与有理指数幂的互化可得amn=nam，故选项A正确；对于选项B，(a12+a-12)2=a+a-1+2，故选项B错误；对于选项C，根据根式与有理指数幂的互化可得a-mn=1nam，故选项C正确；对于选项D，a0＝1，故选项D正确．故选：B．4．lg5（lg8+lg1000）+(3lg2)2+lg16+lg600＝（　　）A．10 B．2 C．5 D．6【答案】C【分析】利用对数的运算性质以及lg2+lg5＝1对代数式进行化简求值即可．【详解】原式＝lg5（3lg2+3）+3lg22﹣lg6+lg6+2＝3lg2lg5+3lg5+3lg22+2＝3lg2（lg5+lg2）+3lg5+2＝3lg2+3lg5+2＝3（lg2+lg5）+2＝3+2＝5．故选：C．5．已知正数x，y满足lgx+lgy＝2lg（x﹣2y），则1x+4y的最小值为（　　）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【分析】由lgx+lgy＝2lg（x﹣2y）可得xy＝（x﹣2y）2，且x﹣2y＞0，化简可得（x﹣y）（x﹣4y）＝0，从而可得x＝4y，化简1x+4y=14y+4y，利用基本不等式求最值即可【详解】∵lgx+lgy＝2lg（x﹣2y），∴xy＝（x﹣2y）2，且x﹣2y＞0，由xy＝（x﹣2y）2化简可得（x﹣y）（x﹣4y）＝0，故x＝4y，则1x+4y=14y+4y≥2，（当且仅当14y=4y，即x＝1，y=14时，等号成立）故1x+4y的最小值为2，故选：A．6．设10a＝2，lg3＝b，则下列四个等式中不正确的是（　　）A．lg12＝2a+b B．log615=a-b+1a+b C．10a+b＝6 D．5a1-a=2【答案】B【分析】由已知可得a＝lg2，10b＝3，再利用对数的运算性质逐一判断各个选项即可．【详解】∵10a＝2，∴a＝lg2，∵lg3＝b，∴10b＝3，∴lg12＝lg3+lg4＝lg3+2lg2＝b+2a，故选项A正确，log615=lg15lg6=lg3+lg5lg2+lg3=lg3+1-lg2lg2+lg3=b+1-aa+b，故选项B错误，10a+b＝10a•10b＝2×3＝6，故选项C正确，5a1-a=5lg21-lg2=5lg2lg5=5log52=2，故选项D正确，故选：B．二、填空题（每题5分，共30分）7．若2a＝7b＝14，a，b∈R，则1a+1b=　1　．【答案】1【分析】直接化指数式为对数式，再利用对数换底公式求解即可．【详解】∵2a＝7b＝14，∴a＝log214，b＝log714，∴1a+1b=1log214+1log714=log142+log147＝log1414＝1，故答案为：1．8．若m＝a×10n（1≤a＜10），则称m的数量级为n．已知金星的质量为M千克，且lgM＝23+lg48.69，则M的数量级为　24　．【答案】24【分析】由lgM＝23+lg48.69＝24+lg4.869＝lg（4.869×1024），能求出M的数量级．【详解】因为lgM＝23+lg48.69＝24+lg4.869＝lg（4.869×1024），所以M＝4.869×1024，则M的数量级为24．故答案为：24．9．计算：__________．【答案】10【分析】根据对数的运算性质及对数恒等式计算可得；【详解】解：故答案为：10．已知，，试用、表示____________【答案】【分析】利用换底公式结合对数的运算，化简代入可求结果【详解】，故答案为：11．方程的解为__________.【答案】或【分析】将原方程化为，可得或，即可得出原方程的解.【详解】因为，即，所以，或，即或，解得或.故原方程的解为或.故答案为：或.12．若是方程的两个根，则的值为__________.【答案】【分析】利用换元法可知 是方程 的两个根，得出 的值，再用换底公式得，即可得出答案.【详解】因为是方程的两个根，所以 是方程 的两个根，所以 ，.（若，答案不变）故答案为：.三、计算题（每题5分，共20分）13．已知，求的值．【答案】【分析】首先根据指数和对数的关系，将指数式化为对数式，再根据换底公式及对数的运算性质计算可得；【详解】解：因为，所以，所以，所以．故答案为：.14．已知，求的值．【答案】【分析】对原式化简，得，由对数的运算性质求解的值，再代入即可.【详解】由，去分母可得，所以所以.15．已知5x＝2y＝( eq \r(10) )z，且x，y，z≠0，求 eq \f(z,x) ＋ eq \f(z,y) 的值．【答案】2【解析】令5x＝2y＝( eq \r(10) )z＝k，则x＝log5k，y＝log2k， eq \f(1,2) z＝lg k，z＝2lg k，所以 eq \f(z,x) ＋ eq \f(z,y) ＝ eq \f(2lg k,log5k) ＋ eq \f(2lg k,log2k) ＝2lg k(logk5＋logk2)＝2lg k·logk10＝2，即 eq \f(z,x) ＋ eq \f(z,y) ＝2.16．方程的解是__________．【答案】【详解】，，由，得，换元.由，可得出，则有，解得或（舍去），，解得.故答案为：.四、简答题（每题10分，共20分）17．设a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，求lg (ab)·(logab＋logba)的值．【答案】12【解析】原方程可化为2(lg x)2－4lg x＋1＝0.设t＝lg x，则方程化为2t2－4t＋1＝0，所以t1＋t2＝2，t1·t2＝ eq \f(1,2) .又因为a，b是方程2(lg x)2－lg x4＋1＝0的两个实根，所以t1＝lg a，t2＝lg b，即lg a＋lg b＝2，lg a·lg b＝ eq \f(1,2) .所以lg (ab)·(logab＋logba)＝(lg a＋lg b)· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg b,lg a)＋\f(lg a,lg b))) ＝(lga＋lg b)· eq \f(（lg b）2＋（lg a）2,lg a·lg b) ＝(lga＋lg b)· eq \f(（lg a＋lg b）2－2lg a·lg b,lg a·lg b) ＝2× eq \f(22－2×\f(1,2),\f(1,2)) ＝12，即lg(ab)·(logab＋logba)＝12.18．设，且满足，求的值．【答案】【分析】根据对数的运算法则建立方程求解.【详解】由已知得，则，即，即，∴或1，又，，.