2025高考物理一轮复习讲义：第六讲 机械能守恒定律

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1.功的定义：一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生一段位移，这个力对物体做了功。
（1）做功的条件：力和在力的方向上的位移。
（2）功是标量，没有方向，但有正负值；功的大小比较的是绝对值。正负不表示大小，表示能量流动的方向。“＋”表示物体获得了能量，对应的力F为动力；“—”表示能量从物体流向外界，F为阻力。
2.恒力功的计算：W=F·scsα，单位：焦耳（J）；1J=1N·m。
其中，F为物体受到的作用力，s为力的作用点的位移，并不总是等于物体的位移。α为力和位移方向的夹角。
3.正功和负功：【α为F与s（或v）的夹角】
4.重力做功：WG＝±mgh，与路径无关，仅取决于始点与终点的位置。
5.摩擦力做功：与路径有关
（1）不论是静摩擦力，还是滑动摩擦力，都可以是动力也可以是阻力，也可能与位移方向垂直，所以不论是静摩擦力，还是滑动摩擦力，既可能对物体做正功，也可能对物体做负功，还可能不对物体做功．
（2）一对相互作用的静摩擦力等大反向且物体之间相对静止，即两个物体的对地位移相同，由W＝Flcs α可判断两个相互作用的静摩擦力做功的总和为零．
（3）一对相互作用的滑动摩擦力等大反向但物体之间相对滑动，即两个物体的对地位移不相同，由W＝Flcs α可判断两个相互作用的滑动摩擦力做功的总和不为零，且两力做功的总和一定为负值．
6.总功的计算：
（1）先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W总＝W1＋W2＋W3＋…求总功，注意代入“＋”“－”再求和。
（2）先求合力F合，再用W总＝F合scs α求功
7.变力做功的计算：
（1）微元法：将物体的位移分割成许多小段，因每一小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个位移上的恒力所做功的代数和。此法常用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题。
（2）平均力法：当物体受到的力方向不变，而大小随位移均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为eq \(F,\s\up6(—))＝eq \f(F1＋F2,2)的恒力作用，F1、F2分别为物体在初、末位置所受到的力，然后用公式W＝eq \(F,\s\up6(—))lcs α求此变力所做的功。
（3）F-x图象法：在F ­x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移内所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正功，位于x轴下方的“面积”为负功，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)。
（4）转化法：有些变力做功问题通过转换研究对象，可转化为恒力做功，用W＝Fscs α求解。此法常用于轻绳通过定滑轮拉物体做功的问题中。
（5）动能定理：ΔEk=W恒+W变⟹ W变=ΔEk-W恒
（6）恒定功率求解：W=Pt；
【例1】（功的计算、合力的功）如图所示，质量为1 kg的物体静止在倾角为53°的斜面上，现使斜面水平向左匀速移动距离1 m，可以求得斜面对物体的支持力N＝6 N，静摩擦力f＝8 N。（物体与斜面相对静止）
（1）重力对物体做的功WG＝________J；
（2）支持力对物体做的功WN＝________J；
（3）摩擦力对物体做的功为Wf＝________J；
（4）斜面对物体做的功W斜＝________，各力对物体所做的总功W总＝___________。
【例2】（力的作用点的位移）如图所示，重物的质量为1 kg，动滑轮质量不计，竖直向上拉动细绳，使重物匀速上升5 m。（g取10 m/s2）
（1）拉力F多大？
（2）此过程拉力F做的功WF多大？
【例3】如图所示，自动卸货车静止在水平地面上，在液压机的作用下，车厢与水平方向的夹角θ缓慢增大，此过程中货物相对车厢一直静止，下列说法正确的是( )
A．货物受到的支持力做正功
B．货物受到的支持力不做功
C．货物受到的摩擦力做负功
D．货物受到的摩擦力做正功
【变式训练】如图所示，长为L的木板水平放置，在木板的A端放置一个质量为m的物体，现缓慢抬高A端，使木板以左端为轴在竖直面内转动，当木板转到与水平面成α角时物体开始滑动，此时停止转动木板，物体滑到木板底端时的速度为v，则在整个过程中（）（多选）
A．支持力对物体做功为0
B．摩擦力对物体做功为mgLsin α
C．摩擦力对物体做功为eq \f(1,2)mv2－mgLsin α
D．木板对物体做功为eq \f(1,2)mv2
【例4】如图所示，质量为m的小物体，从高为h、底边长为L的固定粗糙斜面顶端由静止开始沿斜面下滑，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，在物体从斜面顶端滑至斜面底端的过程中，摩擦力所做的功为( )
A．－μmgeq \f(h2,L) B．－eq \f(μmgh2,\r(L2＋h2))
C．－μmgL D．－μmgeq \r(L2＋h2)
【例5】如图所示，质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面体上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，现使斜面体水平向左匀速运动距离l，物体始终与斜面体保持相对静止，重力加速度为g.则在斜面体水平向左匀速运动距离l的过程中( )
A．摩擦力对物体做的功为－μmglcs θ
B．斜面体对物体的支持力做的功为mglsin θcs2θ
C．重力对物体做的功为mgl
D．斜面体对物体做的功为零
【例6】如图，一个质量为 m 的小球，用长为 l 的轻绳悬挂于 O 点，小球在水平恒力 F 的作用下，从平衡位置 P 点移动到 Q 点，此时轻绳偏转了 θ 角，则 F 所做的功为___________，小球克服重力做功为___________，重力势能增加了___________。
P
F
Q
O
θ
l
【例7】(多选)如图所示，一子弹以水平速度射入放置在光滑水平面上原来静止的木块，并留在木块中，在此过程中子弹钻入木块的深度为d，木块的位移为l，木块与子弹间的摩擦力大小为F，则( )
A．F对木块做功为Fl
B．F对木块做功为F(l＋d)
C．F对子弹做功为－Fd
D．F对子弹做功为－F(l＋d)
【例8】我国自行研制、具有完全自主知识产权的新一代大型喷气式客机C919首飞成功后，拉开了全面试验试飞的新征程，假设飞机在水平跑道上的滑跑是初速度为零的匀加速直线运动，当位移时才能达到起飞所要求的速度。已知飞机质量，滑跑时受到的阻力为自身重力的0.1倍，取重力加速度，在飞机滑跑过程中，求：
（1）飞机克服阻力所做的功；
（2）牵引力的大小；
（3）牵引力对飞机所做的功。
【例9】如图，用 10 N 的力 F 拉一个重 200 N 的物体使其在水平地面上做匀速直线运动。若物体前进了 25 m，在这一过程中，求：
G
F
37°
（1）拉力 F 做的功 WF；
（2）重力 G 做的功 WG；
（3）物体克服摩擦阻力 f 做的功 Wf；
（4）物体受到的各力对物体做的总功。
【例10】在水平面上有一弯曲的槽道AB，由半径分别为eq \f(R,2)和R的两个半圆构成．如图所示，现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点拉至B点，若拉力F的方向时刻与小球运动方向相同，则此过程中拉力所做的功为( )
A．0 B．FR C.eq \f(3,2)πFR D．2πFR
【例11】如图所示，摆球质量为m，悬线长度为L，把悬线拉到水平位置后放手．设在摆球从A点沿圆弧运动到B点的过程中空气阻力的大小f不变，则下列说法正确的是( )
A．重力做功为0
B．悬线的拉力做功为mgL
C．空气阻力做功为－eq \f(1,2)fπL
D．摆球克服空气阻力做功为fL
【例12】静置于水平地面上质量为1 kg的物体，在水平拉力F＝4＋2x(式中F为力的大小、x为位移的大小，力F、位移x的单位分别是N、m)作用下，沿水平方向移动了5 m．已知物体与地面间的动摩擦因数为0.2，取重力加速度g＝10 m/s2，则在物体移动5 m的过程中拉力所做的功为( )
A．35 J B．45 J C．55 J D．65 J
【例13】如图甲所示，静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F的作用下，沿x轴正方向运动，拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示，图线为半圆．则小物块运动到x0处时拉力F做的功为( )
A．0 B.eq \f(1,2)Fmx0 C.eq \f(π,4)Fmx0 D.eq \f(π,4)x02
【例14】(多选)质量为m的物体静止在光滑的水平面上，物体在下列四种变化规律不同的合外力F作用下都通过相同的位移x0，下列说法正确的是( )
A．甲图和乙图合外力做功相等
B．丙图和丁图合外力做功相等
C．四个图合外力做功均相等
D．四个图中合外力做功最多的是丙图
【例15】一物体在推力 F 作用下克服恒定的阻力运动，其 v-t 图和 F-x 图如图（a）、图（b），则在第一个 5 s、第二个 5 s、第三个 5 s 内，力 F 对物体做的功分别为_________J，__________J，__________J；在 15 s 内阻力共做功__________J。
【例16】(多选)如图所示，人以大小恒为10 N的拉力通过一根轻绳拉船，人收绳的速度恒为1 m/s，将船从A位置拉到B位置，A、B位置轻绳与水平方向的夹角分别为30°和60°，A、B间的水平距离为4 m，则( )
A．A位置船速大小为eq \f(\r(3),2) m/s
B．B位置船速大小为2 m/s
C．船从A运动到B的过程中，人的拉力做的功为20eq \r(3) J
D．船从A运动到B的过程中，人的拉力做的功为40(eq \r(3)－1) J
【例17】力F对物体所做的功可由公式W＝Fscs α求得．但用这个公式求功是有条件的，即力F必须是恒力．而实际问题中，有很多情况是变力在对物体做功．那么，用这个公式不能直接求变力的功，我们就需要通过其他的一些方法来求解变力所做的功．如图，对于甲、乙、丙、丁四种情况下求解某个力所做的功，下列说法正确的是( )

A．甲图中若F大小不变，物块从A到C过程中力F做的功为W＝F(OA－OC)
B．乙图中，全过程F做的总功为108 J
C．丙图中，绳长为R，若空气阻力f大小不变，小球从A运动到B过程中空气阻力做的功W＝eq \f(1,2)πRf
D．丁图中，F始终保持水平，无论是F缓慢将小球从P拉到Q，还是F为恒力将小球从P拉到Q，F做的功都是W＝Flsin θ
【例18】如图所示，A、B两物体叠放在一起，A被不可伸长的水平细绳系于左墙上，B在拉力F作用下，向右匀速运动，在此过程中，A、B间的摩擦力做功情况是( )
A．对A、B都做负功
B．对A、B都不做功
C．对A不做功，对B做负功
D．对A做正功，对B做负功
【例19】如图，若物体沿不同路径 I 和 Ⅱ 从 A 滑到 B，路径 I、Ⅱ 与物体间的动摩擦因数相同，则沿路径 I 和 Ⅱ 运动过程中，重力做功__________，摩擦力做功_________（均选填“相同”或“不同”）
考点二：能
机械能E
标量，状态量
动能
重力势能
弹性势能
Ek=EQ
\F(1,2) mv2
Ep=mgh
Ep＝eq \f(1,2)kx2
1．重力做功只与重力和物体高度变化有关，与运动路径无关．
2．物体下降时重力做正功，WG＝mgh；
物体上升时重力做负功，WG＝－mgh.
3．重力做功的特点可推广到任一恒力做功，即恒力做功的特点是：与具体路径无关，即恒力做的功等于力与在力的方向上的位移大小的乘积，跟初、末位置有关．
4．重力势能与重力势能的变化量
(1)重力势能Ep＝mgh具有相对性，与参考平面的选取有关，其中h是相对参考平面的高度．当物体在参考平面下方h处时，重力势能Ep＝－mgh.
(2)重力势能是标量，但有正负，正负表示重力势能的大小．
(3)重力势能的变化ΔEp与参考平面的选取无关，它的变化是绝对的．
5．重力做功与重力势能变化的关系
WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp
(1)当物体由高处运动到低处时，重力做正功，重力势能减少，重力势能的减少量等于重力所做的功．
(2)当物体由低处运动到高处时，重力做负功(物体克服重力做功)，重力势能增加，重力势能的增加量等于物体克服重力所做的功．
6.弹性势能与弹力做功的关系：弹性势能的变化只与弹力做功有关，弹力做负功，弹性势能增大，反之则减小．
7．弹性势能表达式的推导
根据胡克定律F＝kx，作出弹力F与弹簧形变量x关系的F－x图线，如图所示，根据W＝Fx知，图线与横轴所围的面积表示F所做的功，即W＝eq \f(kx·x,2)＝eq \f(1,2)kx2，所以Ep＝eq \f(1,2)kx2.
【例20】质量为m的的小球，从离桌面H高处由静止下落，桌面离地面高度为h。如图所示。（空气阻力不计）
h
H
（1）若以桌面为参考平面，那么小球落地时的重力势能Ep1＝_______，整个下落过程中重力势能的变化量ΔEp1＝_________，动能变化量ΔEk1＝________；
（2）若以释放点为参考平面，那么小球落地时的重力势能Ep2＝_______，整个下落过程中重力势能的变化量ΔEp2＝_________，动能变化量ΔEk2＝________；
（3）若空气阻力不能忽略不计，则整个下落过程中重力势能的变化量ΔEp3_____ΔEp2，动能变化量ΔEk3_____ΔEk2（选填“＞”“＜”或“＝”）
【启示】重力势能是相对的，重力势能的变化量是绝对的，与零势能面的选取无关。
【例21】（上海高考）撑杆运动员在最高点上放开撑杆，并水平越过横杆，若撑杆的弹性势能为Ee，运动员的动能为Ek，运动员的重力势能为Ep，则在运动员放手瞬间，三种能量的相对大小为（ ）
Ee
Ep
Ek
Ee
Ep
Ek
Ee
Ep
Ek
Ee
Ep
Ek
考点三：功率的计算
1.平均功率的计算方法
(1)利用P=Wt。
(2)利用P=Fvcs α,其中v为物体运动的平均速度,α为F与v的夹角。
2.瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P=Fvcs α,其中v为t时刻的瞬时速度,α为F与v的夹角。
(2)利用公式P=FvF,其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。
(3)利用公式P=Fvv,其中Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力。
3.P＝Fv中三个量的制约关系
【例22】如图所示，汽车在粗糙水平面上做匀加速直线运动的过程中，阻力f对汽车做___________（填“正功”或“负功”或“不做功”），牵引力F的瞬时功率将___________（填“增大”或“减小”或“不变”）。
F
A
F
B
【例23】物体A、B质量相同，A放在光滑的水平面上，B放在粗糙的水平面上，在相同的力F作用下，由静止开始都通过了相同的位移s，如图所示，那么（ ）
（A）力F对A做功较多，做功的平均功率也较大
（B）力F对B做功较多，做功的平均功率也较大
（C）力F对A、B做的功和做功的平均功率都相同
（D）F对A、B做功相等，但对A做功的平均功率较大
【例24】如图所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的足够长的固定斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知：sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g取10 m/s2，求：
(1)前2 s内重力做的功；
(2)前2 s内重力的平均功率；
(3)2 s末重力的瞬时功率．
【变式训练】（上海市南洋模范期中）如图所示，足够长的倾角θ＝37°的粗糙斜面固定在水平面上，一质量m＝10 kg的物体在平行于斜面向上的推力F＝180 N作用下，由底端从静止开始向上运动，已知物体与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，sin37°＝0.6，cs37°＝0.8，g＝10 m/s2。
（1）求物体在推力F作用下向上运动的加速度大小；
（2）求物体从底端向上运动4 m时推力F的瞬时功率；
（3）若物体向上运动4 m后撤去推力F，则物体从底端沿斜面运动到最高点过程中克服摩擦力做多少功？
【例25】如图所示，设高铁运行时受到的阻力与速度成正比，若高铁以速度v匀速行驶，发动机的功率为P.则当高铁发动机功率为4P时，其匀速行驶的速度为( )
A．2v B．3v C．4v D．8v
【例26】如图所示，飞行员进行素质训练时，抓住秋千杆由水平状态开始下摆，到达竖直状态的过程，飞行员所受重力的瞬时功率变化情况是( )
A．一直增大 B．一直减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【例27】如图所示，位于水平面上的物体A，在斜向上的恒定拉力F作用下，由静止开始向右做匀加速直线运动．已知物体质量为10 kg，F的大小为100 N，方向与速度v的夹角为37°，物体与水平面间的动摩擦因数为0.5，取g＝10 m/s2.(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)则：
(1)第2 s末，拉力F对物体做功的功率是多大？
(2)从开始运动到物体前进12 m的过程中，拉力对物体做功的平均功率是多大？
【例28】如图，A、B和C三个相同小球等高，且都可视为质点，A小球无初速度自由下落，B小球无初速度沿光滑固定斜面下滑，C小球做平抛运动，不计空气阻力，三者同时开始运动．下列说法正确的是( )
A．三小球同时落地
B．从开始运动到落地A和C两小球重力的平均功率相等
C．落地瞬间A和B两小球的重力功率相等
D．落地瞬间三者速度相同
考点四：两种启动方式的比较
【例29】在水平路面上运动的汽车的额定功率为100 kW，质量为10 t，设阻力大小恒定，且为车重力的0.1倍(g取10 m/s2)，汽车以不变的额定功率从静止启动，则：
(1)汽车的加速度如何变化？
(2)当汽车的加速度为2 m/s2时，速度为多大？
(3)汽车在运动过程中所能达到的最大速度的大小是多少？
【例30】在水平路面上运动的汽车的额定功率为60 kW，若其总质量为5 t，在水平路面上所受到的阻力大小恒为5×103 N，求：
(1)汽车所能达到的最大速度的大小；
(2)若汽车以0.5 m/s2的加速度由静止开始做匀加速直线运动，这一过程能维持多长的时间；
(3)若汽车以额定功率启动，则汽车的车速为v1＝2 m/s时的加速度多大；
(4)若汽车以v2＝6 m/s的速度匀速行驶，汽车的实际功率多大．
【例31】一辆汽车在水平路面上的启动过程的v-t图像如图所示，其中Oa为过原点的倾斜直线，ab段表示以额定功率P行驶时的加速阶段，bc段是与ab段相切的水平直线，若汽车的质量为m，行驶过程中所受阻力恒为F阻，则下列说法正确的是（ ）
A．汽车在t1时刻的牵引力和功率都是最大值，t2~t3时间内其牵引力等于F阻
B．0~t1时间内汽车做变加速运动
C．0~t2时间内汽车的平均速度等于
D．t1~t2时间内汽车克服阻力所做的功为P（t2-t1）+
【例32】（松江一模）汽车以恒定功率沿公路做直线运动，途中进入一块很大的沙地。汽车在公路及沙地上所受阻力均为恒力，且在沙地上受到的阻力是在公路上受到阻力的2倍。汽车在驶入沙地前已做匀速直线运动，速度为v0，则汽车在驶入沙地后的运动情况是：____________________________________________，汽车在沙地上的最终速度为_________。
【例33】额定功率为80 kW的汽车，在平直公路上行驶的最大速度是20 m/s，汽车质量是2×103 kg，如果汽车从静止开始先做加速度为2 m/s2的匀加速直线运动，达到额定功率后以额定功率行驶，在运动过程中阻力不变，则：
（1）汽车受到的阻力多大？
（2）汽车匀加速运动时受到的牵引力多大？
（3）汽车做匀加速直线运动的最大速度多大？
（4）汽车从静止开始运动11 s的过程中牵引力做的功多大？
【变式训练】（上海市交大附中期中）某日凌晨，交大附中旁的殷高路上没有任何行人车辆。一辆额定功率、质量的汽车，从十字路口由静止启动、向西做匀加速直线运动，达到额定功率后维持功率不变、并继续做直线运动。设汽车受到的阻力为一定值，。已知在某时刻汽车的速度，加速度，求：
（1）汽车所受的阻力大小；
（2）汽车做匀加速直线运动的距离x；
（3）汽车最终做匀速直线运动的速度。
【例34】一赛车在平直赛道上以恒定功率200 kW加速运动，受到的阻力不变，加速度a和速度v的倒数的关系如图所示，则赛车( )
A．做匀加速直线运动
B．质量为200 kg
C．所受阻力大小为2 000 N
D．v′＝50 m/s时牵引力大小为2 000 N
考点五：动能定理及简单应用
1．内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化．
2．表达式：W＝eq \f(1,2)mv22－eq \f(1,2)mv12.如果物体受到几个力的共同作用，W即为合力做的功，它等于各个力做功的代数和．
①合外力对物体做正功，即W>0，ΔEk>0，表明物体的动能增大；
②合外力对物体做负功，即W