2025届高三物理一轮复习讲义：第五讲 万有引力

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1．开普勒第一定律（轨道定律）：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．
2．开普勒第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等．
离太阳越远，行星运行的速率越小
3．开普勒第三定律（周期定律）：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等．其表达式为eq \f(a3,T2)＝k，其中a代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，比值k是一个对所有行星都相同的常量．
k大小由中心天体决定。
【例1】某行星沿椭圆轨道绕太阳运行，如图所示，在这颗行星的轨道上有a、b、c、d四个对称点．若该行星运动的周期为T，沿逆时针方向运行，则该行星( )
A．从a到b的运动时间等于从c到d的运动时间
B．从d经a到b的运动时间等于从b经c到d的运动时间
C．a到b的时间tab>eq \f(T,4)
D．c到d的时间tcd>eq \f(T,4)
【例2】中国古代为区分季节有节气之说，如图所示，从现代物理学可知，地球沿椭圆形轨道绕太阳运动所处四个位置，分别对应我国的四个节气．下列说法正确的是( )
A．地球沿椭圆轨道做匀速运动
B．太阳在椭圆的一个焦点上
C．冬至时地球公转速度最小
D．秋分时地球公转速度最大
【例3】某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球绕地球运动半径的eq \f(1,9)，设月球绕地球运动的周期为27天，则此卫星的运行周期为( )
A.eq \f(1,9) 天 B.eq \f(1,3) 天 C．1天 D．9天
考点二：万有引力定律
两个物体之间的万有引力大小与两物体的质量乘积成正比，与距离平方成反比。
F＝G EQ \F(m1m2,r2) ；G＝6.67×10-11N·m2/kg2
任意两个有质量的物体之间都存在万有引力的作用，公式只适用计算两质点间的万有引力的大小，对均匀球体可以看成质量集中在其球心，此时公式中的r为两球心的距离。
万有引力定律是牛顿总结出来的，而直到100多年后，才由卡文迪许利用扭秤首先在实验室中较准确地测定出了万有引力恒量。
【例4】下列关于万有引力定律的说法正确的是( )
A．两物体间的万有引力不遵循牛顿第三定律
B．两物体间的距离趋近0时，物体不能看成质点
C．只适用于质量半径较小的天体，天体半径大就不能用此公式计算万有引力
D．牛顿总结得出万有引力定律的表达式，同时也测定出了引力常量G的值
【例5】已知地球半径为R，将一物体从地面发射至离地面高度为h处时，物体所受万有引力减小到原来的一半，则h为( )
A．R B．2R
C.eq \r(2)R D．(eq \r(2)－1)R
【例6】(真题)从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越．已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍．在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程．悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为( )
A．9∶1 B．9∶2 C．36∶1 D．72∶1
考点三：计算天体的质量和密度
1.天体质量的计算
（1）重力加速度法
①已知中心天体的半径R和中心天体表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于中心天体对物体的引力，有mg＝Geq \f(Mm,R2)，解得中心天体质量为M＝eq \f(gR2,G).
②说明：g为天体表面的重力加速度．
未知星球表面的重力加速度通常这样给出：让小球做自由落体、平抛、竖直上抛等运动，从而计算出该星球表面的重力加速度．
（2）“卫星”环绕法
①将天体的运动近似看成匀速圆周运动，其所需的向心力都来自万有引力，由eq \f(GMm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，可得M＝eq \f(4π2r3,GT2)。
②这种方法只能求中心天体质量，不能求环绕星体质量。
【例7】“天问一号”是中国首个火星探测器，其名称来源于我国著名爱国主义诗人屈原的长诗《天问》.2021年2月我国首次火星探测任务“天问一号”探测器实施近火捕获制动，成功实现环绕火星运动，成为我国第一颗人造火星卫星．在“天问一号”环绕火星做匀速圆周运动时，周期为T，轨道半径为r，已知火星的半径为R，引力常量为G，不考虑火星的自转．求：
(1)“天问一号”环绕火星运动的线速度的大小v；
(2)火星的质量M；
(3)火星表面的重力加速度g的大小．
2.天体密度的计算
若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)
(1)将M＝eq \f(gR2,G)代入上式得ρ＝eq \f(3g,4πGR).
(2)将M＝eq \f(4π2r3,GT2)代入上式得ρ＝eq \f(3πr3,GT2R3).
(3)当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝eq \f(3π,GT2).
【例8】(真题)若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是( )
A.eq \r(\f(3π,Gρ)) B.eq \r(\f(4π,Gρ)) C.eq \r(\f(1,3πGρ)) D.eq \r(\f(1,4πGρ))
考点四：处理星体绕中心天体做圆周运动的基本思路：F万=F向
轨道半径越大，周期越大，势能越大，总能量越大，线速度越小，角速度越小，转速越小，万有引力越小，加速度越小，向心力越小，动能越小。
1．一般卫星(或行星)的运动可看成匀速圆周运动，用描述天体运行的物理量表示出其所需向心力，并写出与万有引力的关系．
答案： Geq \f(Mm,r2)＝man＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2,T2)r.
2．请使用问题1中的关系式推导线速度v、角速度ω、周期T、向心加速度an与轨道半径r的关系．
答案： 由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)得v＝eq \r(\f(GM,r))；
由Geq \f(Mm,r2)＝mω2r得ω＝eq \r(\f(GM,r3))；
由Geq \f(Mm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r得T＝2π eq \r(\f(r3,GM))；
由Geq \f(Mm,r2)＝man得an＝eq \f(GM,r2).
3．随着轨道半径r的增大，v、ω、T、an如何变化？在同一圆轨道上运行的不同卫星，它们的v、ω、T、an有何特点？
答案： 卫星的轨道半径r越大，v、ω、an越小，T越大，即越远越慢．
卫星的轨道半径r确定后，其相对应的线速度大小、角速度、周期和向心加速度大小是唯一的，与卫星的质量无关，即同一轨道上的不同卫星具有相同的周期、线速度大小、角速度和向心加速度大小．
4．同一轨道上的同向绕行的两卫星是否有可能相撞？
答案： 不可能．同一轨道上的两卫星，线速度大小相等，相对静止，故不可能相撞．
5．你知道“黄金代换公式”吗？说说这个公式的作用．
答案： 忽略自转时，mg＝Geq \f(Mm,R2)，整理可得：GM＝gR2.在引力常量G和中心天体质量M未知时，可用gR2替换GM，GM＝gR2被称为“黄金代换公式”．
【例9】天和核心舱的成功发射标志着中国空间站建设拉开了帷幕．若空间站质量为m，空间站距地面高度为h，地球半径为R，引力常量为G.地球表面重力加速度为g，求：
(1)空间站受到地球引力的大小；
(2)空间站环绕地球运行的周期；
(3)空间站环绕地球运行的向心加速度大小．
【例10】(多选)三颗人造地球卫星A、B、C绕地球做匀速圆周运动，如图所示，已知mA＝mB＜mC，则对于三颗卫星的说法正确的是( )
A．运行线速度大小关系为vA＞vB＝vC
B．运行角速度关系为ωA>ωB＝ωC
C．向心力大小关系为FA＝FB＜FC
D．轨道半径与运行周期关系为eq \f(RA3,TA2)＝eq \f(RB3,TB2)＝eq \f(RC3,TC2)
【例11】（浙江选考）如图所示，卫星a、b、c沿圆形轨道绕地球运行。a是极地轨道卫星，在地球两极上空约1000 km处运行；b是低轨道卫星，距地球表面高度与a相等；c是地球同步卫星，则（ ）
a
b
c
（A）a、b的周期比c大
（B）a、b的向心力一定相等
（C）a、b的速度大小相等
（D）a、b的向心加速度比c小
【例12】（杨浦二模）已知地球表面重力加速度大约是月球表面重力加速度的6倍，地球半径大约是月球半径的4倍，不考虑地球、月球自转的影响，则地球质量与月球质量之比约为_______，靠近地球表面沿圆轨道运行的航天器与靠近月球表面沿圆轨道运行的航天器的线速度之比约为_____。
【例13】（上海高考）行星绕恒星做匀速圆周运动的线速度大小取决于（ ）
（A）行星轨道半径（B）恒星质量及行星轨道半径
（C）行星及恒星质量（D）行星质量及轨道半径
【例14】（静安二模）电场强度定义式为E＝ EQ \F(F,q) ，也可用类似的方法来描述地球产生的引力场中某点的场的强弱。已知地球质量为M，半径为R，地表处重力加速度为g，引力常量为G，一质量为m的物体位于距地心2R处的某点，则该点处引力场强度为（ ）
（A）G EQ \F(m,（2R）2) （B）G EQ \F(M,（2R）2) （C）G EQ \F(Mm,（2R）2) （D）g/2
【例15】（金山二模）若月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度大小为a，则在月球绕地球运行的轨道处由地球引力产生的加速度为________。若月球表面的重力加速度值和引力常量已知，还需已知________，就能得求月球的质量。
【例16】（宝山二模）绕地球做匀速圆周运动的人造卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，运行的轨道半径会慢慢变小，则卫星运行的周期将________（选填“变大”、“变小”或“不变”）。假设有一人造卫星绕地球做匀速圆周运动时，离地高度为H，地球表面重力加速度为g，地球半径为R，则其运行的向心加速度为________。
考点五：宇宙航行
1.三大宇宙速度
当发射速度7.9 km/svB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB。即：低轨道速度大于高轨道速度，同一位置低轨道速度小于高轨道速度。
（2）加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同。即：同一位置，加速度相同；a低>a高。
（3）周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律eq \f(r3,T2)＝k可知T1