2023-2024学年广东省深圳市南山外国语（集团）文华学校九年级（下）开学数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年广东省深圳市南山外国语（集团）文华学校九年级（下）开学数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则sinB的值为( )
A. 34B. 43C. 45D. 35
2.往直径为10cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB=8cm，则水的最大深度为( )
A. 1cm
B. 2cm
C. 3cm
D. 4cm
3.将抛物线y=2(x−3)2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是( )
A. y=2(x−6)2B. y=2(x−6)2+4
C. y=2x2D. y=2x2+4
4.如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为( )
A. 5csα
B. 5csα
C. 5sinα
D. 5sinα
5.如图，在平面直角坐标系中，∠α的一边与x轴正半轴重合，顶点为坐标原点，另一边过点A(1,2)，那么sinα的值为( )
A. 2 55B. 12
C. 2D. 55
6.爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬1m耗能(1.025−csα)J，若某人爬了1000m，该坡角为30°，则他耗能( )(参考数据： 3≈1.732， 2≈1.414)
A. 58JB. 159JC. 1025JD. 1732J
7.二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c在同一坐标系中的图象大致是图中的( )
A. B. C. D.
8.如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，BC=CD，∠DAC=35°，∠ACD=45°，则∠ADB的度数为( )
A. 55°
B. 60°
C. 65°
D. 70°
9.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)图象的一部分，对称轴为直线x=−1，经过点(1,0)，且与y轴的交点在点(0,−2)与(0,−3)之间．下列判断中，正确的是( )
A. b2<4ac
B. 2a+b=0
C. a−3b+c>0
D. 4310.如图，抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点(点C在点D右边)，对称轴为直线x=52，连接AC，AD，BC.若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是( )
A. 点B坐标为(5,4)B. AB=ADC. a=−16D. OC⋅OD=16
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知(−1,y1)，(2,y2)在二次函数y=x2−2x+m的图象上，比较y1 ______y2.(填>、<或=)
12.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ADC=30°，则∠BOC=______度．
13.如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．BC//AD，BE⊥AD，斜坡AB长26m，斜坡AB的坡比为12：5.为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A不动，则坡顶B沿BC至少向右移______m时，才能确保山体不滑坡．(取tan50°≈1.2)
14.如图，在圆O中，弦AB=8，点C在圆O上(C与A，B不重合)，连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E.若点O到AB的距离为3，则圆O的半径为______．
15.如图，抛物线y=ax2+94x+c与x轴相交于点A(−1,0)和点B，与y轴相交于点C(0,3)，作直线BC.若在直线BC上方的抛物线上存在点D，使∠DCB=2∠ABC，则点D的坐标为______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
16.已知二次函数y=x2−4x−1．
(1)将函数y=x2−4x−1的解析式化为y=a(x+m)2+k的形式，并指出该函数图象顶点B坐标；
(2)在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y=x2−4x−1与y轴交点为C，抛物线的对称轴与x轴交点为A，求四边形OABC的面积．
四、解答题：本题共6小题，共47分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：
(1)(4− 3)0−3tan60°+(12)−2+ 12；
(2)(12)−1+ 12−4sin60°．
18.(本小题6分)
如图所示，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD，连接AD，BC，求证：
(1)AD=BC；
(2)AE=CE．
19.(本小题8分)
深圳某公司投产一种智能机器人，每个智能机器人的生产成本为200元，试销过程中发现，每月销售量y(个)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y=−0.2x+260，设每月的利润为w(元)(利润=销售额−投入)．
(1)该公司想每月获得36000元的利润，应将销售单价定为多少元？
(2)如果该公司拟每月投入不超过20000元生产这种智能机器人，那么该公司在销售完这些智能机器人后，所获得的最大利润为多少元？此时定价应为多少元？
20.(本小题8分)
小明在学习函数的过程中遇到这样一个函数：y=[x]，若x≥0时，[x]=x2−1；若x<0时，[x]=−x+1.小明根据学习函数的经验，对该函数进行了探究．
(1)下列关于该函数图象的性质正确的是______；(填序号)
①y随x的增大而增大；
②该函数图象关于y轴对称；
③当x=0时，函数有最小值为−1；
④该函数图象不经过第三象限．
(2)在平面直角坐标系xOy中画出该函数图象；
①若函数值y=8，则x=______．
②若关于x的方程2x+c=[x]有两个不相等的实数根，请结合函数图象，直接写出c的取值范围是______．
21.(本小题9分)
阅读材料：
关于三角函数还有如下的公式：
sin(α±β)=sinαcsβ±csαsinβ
tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanα⋅tanβ
tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanα⋅tanβ
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．
例：tan15°=tan(45°−30°)=tan45°−tan30°1+tan45∘⋅tan30∘=1− 331+1× 33=(3− 3)(3− 3)(3+ 3)(3− 3)=12−6 36=2− 3
根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题
(1)计算：sin15°；
(2)乌蒙铁塔是六盘水市标志性建筑物之一(图1)，小华想用所学知识来测量该铁塔的高度，如图2，小华站在离塔底A距离7米的C处，测得塔顶的仰角为75°，小华的眼睛离地面的距离DC为1.62米，请帮助小华求出乌蒙铁塔的高度．(精确到0.1米，参考数据 3=1.732， 2=1.414)
22.(本小题10分)
已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(−2,0)、B(6,0)两点，与y轴交于点C(0,−3)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P为直线BC下方的抛物线上一个动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；
(3)点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当PMAM最大时，求点P的横坐标及PMAM的最大值．
参考答案
1.D
2.B
3.C
4.B
5.A
6.B
7.C
8.C
9.D
10.D
11.>
12.120
13.10
14.5
15.(2,92)
16.解：(1)y=x2−4x−1=(x−2)2−5，
该函数图象顶点B坐标为(2,−5)；
(2)如图，
令y=0，x=−1，
∴C(0,−1)，
∵B(2,−5)，
∴A(2,0)，
∴四边形OABC的面积=12×(AB+OC)×OA=12×6×2=6．
17.解：(1)(4− 3)0−3tan60°+(12)−2+ 12
=1−3× 3+4+2 3
=5− 3；
(2)(12)−1+ 12−4sin60°
=2+2 3−4× 32
=2+2 3−2 3
=2．
18.证明：(1)∵AB=CD，
∴AB=CD，
∴AC+BC=AD+AC，
∴AD=BC．
(2)∵AD=BC，
∴AD=BC，
∵∠ADE=∠CBE，∠AED=∠CEB，
在△ADE和△CBE中
∠ADE=∠CBE∠AED=∠CEBAD=CB
∴△ADE≌△CBE(AAS)，
∴AE=EC．
19.解：(1)由题意得，(−0.2x+260)(x−200)=36000，
解得：x1=1100，x2=400．
答：销售单价定为1100元或400元时厂商每月能获得36000万元的利润；
(2)由题意：200(−0.2x+260)≤20000，
解得x≥800，
∵w=(−0.2x+260)(x−200)=−0.2x2+300x−52000，
∴函数的对称轴为直线x=750，开口向下，
∴x=800时利润最大，最大利润为60000元．
答：所获得的最大利润为60000元，此时定价应为800元．
20.
21.解：(1)sin15°=sin(45°−30°)=sin45°cs30°−cs45°sin30°= 22× 32− 22×12= 64− 24= 6− 24；
(2)在Rt△BDE中，∵∠BED=90°，∠BDE=75°，DE=AC=7米，
∴BE=DE⋅tan∠BDE=DE⋅tan75°．
∵tan75°=tan(45°+30°)=tan45°+tan30°1−tan45∘⋅tan30∘=1+ 331−1× 33=2+ 3，
∴BE=7(2+ 3)=14+7 3，
∴AB=AE+BE=1.62+14+7 3≈27.7(米)．
答：乌蒙铁塔的高度约为27.7米．
22.解：(1)将点A(−2,0)、B(6,0)、C(0,−3)代入y=ax2+bx+c，
得4a−2b+c=036a+6b+c=0c=−3，解得：a=14b=−1c=−3，
∴y=14x2−x−3；
(2)过点P做直线l垂直于x轴交BC于点H，
设直线BC的解析式为y=kx+d，
∴6k+d=0d=−3，解得：k=12d=−3，
∴y=12x−3，
设P(t,14t2−t−3)，则H(t,12t−3)，
则△PBC面积=S△PHB+S△PHC=12PH·BO=3(12t−3−14t2+t+3)=−34t2+92t，
∵−34<0，故△PBC面积有最大值，
当t=3时，△PBC面积有最大值，此时点P(3,−154)；
(3)如图，过点A作AE⊥x轴交直线BC于点E，过P作PF⊥x轴交直线BC于点F，
∴PF//AE，
∴MPAM=PFAE，
设P(t,14t2−t−3)，则F(t,12t−3)，
∴PF=12t−3−14t2+t+3=−14t2+32t，
∵A(−2,0)，
∴E(−2,−4)，
∴AE=4，
∴MPAM=PEAE=−14t2+32t4=−116(t−3)2+916≤916，
∴当t=3时，MPAM有最大值916，
∴P(3,−154)，
即点P的横坐标为3，MPAM有最大值916．