2023-2024学年江西省赣州市上犹县七年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省赣州市上犹县七年级（下）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.“水是生命之源，滋润着世间万物”国家节水标志由水滴，手掌和地球变形而成．寓意：像对待掌上明珠一样，珍惜每一滴水！以下通过平移节水标志得到的图形是( )
A. B. C. D.
2.下列实数中，是无理数的是( )
A. 38B. 3C. −2D. 227
3.在平面直角坐标系中，点Q(3,−3)在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4.如图，若AB//CD，EF⊥CD，∠1=54°，则∠2的大小是( )
A. 26°
B. 36°
C. 46°
D. 54°
5.某中学开展课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：乒乓球、排球、篮球、足球.为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机选取200名学生进行问卷调查(每位学生仅选一种)，并将调查结果绘制成如下的扇形统计图.下列说法错误的是( )
A. 最喜欢篮球的学生人数为30人
B. 最喜欢足球的学生人数最多
C. “乒乓球”对应扇形的圆心角为72°
D. 最喜欢排球的人数占被调查人数的10%
6.如果x=3y=−2是方程组ax+by=1ax−by=5的解，则2a+b2的值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：______．
8.如图，点P到一条笔直的公路MN共有四条路径，若要用相同速度从点P走到公路，最快到达的路径是选择沿线段PB去公路，这一选择用到的数学知识是______．
9.用不等式表示“x的3倍与y的和大于或等于1”：______．
10.《七彩云南》整合少数民族传统艺术表演，是七彩云南欢乐世界的王牌演艺节目.在展演中，舞台上的灯光由灯带上位于点A和点C的两盏激光灯控制.如图，光线CB′在AC的右侧时，光线AB与灯带AC的夹角∠A=47°，则光线CB′与灯带AC的夹角∠ACB′= ______，CB′//AB．
11.《孙子算经》是中国的重要数学著作，其中有一段文字的大意是：甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的23，那么乙也共有钱48文，甲、乙两人原来各有多少钱？设甲原有x文钱，乙原有y文钱，可列方程组是 ．
12.已知点P(a,b)，其中a是立方根等于它本身的数，b为不等式1−12x>0的正整数解.则点P的坐标为______．
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
(1)计算：(−1)2024+|1− 2|− 4；
(2)解方程组：x+2y=33x−2y=5．
14.(本小题6分)
如图，∠B=50°，CG平分∠DCF，∠FCG=65°，求证：AB//EF．
15.(本小题6分)
解不等式组x+32≥x+13+4(x−1)>−9，并把解集在数轴上表示出来．
16.(本小题6分)
如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点.线段AB的端点均在格点上，在给定的网格中按要求画图.(保留作图痕迹，要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法)．
(1)在图1中，找格点M，画线段PM，使PM//AB；
(2)在图2中，找格点C，使得三角形ABC的面积等于52．
17.(本小题6分)
已知2a−1的平方根是±3，3a−b+13的立方根是2．
(1)求a、b的值；
(2)求a+b的和的算术平方根．
18.(本小题8分)
每年的5月20日为“中国学生营养日”，为传播正确的营养知识，某校组织了一次全校2500名学生都参加的“科学饮食，健康成长”知识考试，阅卷后，学校团委随机抽取了部分学生考卷进行分析统计，发现考试成绩x(分)的最低分为51分，最高分为满分100分，并绘制了尚不完整的统计表和统计图(如图)．
请根据图表提供的信息，解答下列问题：
(1)本次抽样调查的学生共有______名；
(2)a= ______，b= ______，n= ______；
(3)将频数分布直方图补充完整；
(4)该校对考试成绩为91≤x<101的学生进行奖励，请你估算全校获得奖励的学生人数．
19.(本小题8分)
在如图所示的平面直角坐标系中，已知A(−2,3)，B(2,3)，C(4,0)，D(−2,0)．
(1)图形中，线段______上的点都在x轴上，它们的坐标特点是______；
(2)连接AC，将△ABC向左平移2个单位再向下平移4个单位得到△A1B1C1，点A，B，C的对应点分别是点A1，B1，C1，画出△A1B1C1，并写出点A1，C1的坐标；
(3)线段AC与A1C1的位置关系是______，S三角形A1B1C1= ______．
20.(本小题8分)
已知点P(x,y)在第一象限，且x，y满足：3x+y=3m+9x−y=5m+7．
(1)求m的取值范围；
(2)若点P到x轴的距离是到y轴距离的2倍，求点P的坐标．
21.(本小题9分)
【课本再现】如图1，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DE//BA，DF//CA，求证：∠FDE=∠A．
(1)请完成下列证明过程，并在括号内填上推理的根据；
(2)如图2，若∠A+∠ABC=180°，CD//BE，BE平分∠ABC，∠D=53°，求∠CBF的度数．
22.(本小题9分)
某社区采购A、B两种型号的新型垃圾桶，若购买2个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要420元，购买6个A型垃圾桶和5个B型粒圾桶共需要860元．
(1)求两种型号垃圾桶的单价；
(2)若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15000元，至少需购买A型垃圾桶多少个？
23.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，点A的横坐标为a，纵坐标为b，且实数a，b满足|a+4|+ b−6=0．
(1)如图1，求点A的坐标；
(2)如图2，过点A作x轴的垂线，垂足为B.若将点A向右平移10个单位长度，再向下平移8个单位长度可以得到对应点C，连接CA，CB，请直接写出点B，C的坐标并求出三角形ABC的面积；
(3)在(2)的条件下，AC与x轴交点为点D，若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AB方向运动，运动时间为t秒，当S三角形ODP=730S三角形ABC时，求t值．
答案解析
1.C
【解析】解：C选项中的图： 通过平移能与上面的图形重合．
故选：C．
平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动，据此判断即可．
本题主要考查了平移的定义，平移时移动过程中只改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小和方向，掌握平移的定义是解题的关键．
2.B
【解析】解：是整数，−2是整数，227是分数，他们都是有理数，
3是无理数，故选项B符合题意；
故选：B．
根据无理数的定义对四个选项进行逐一分析即可．
本题考查的是无理数，熟记无理数的定义是解题的关键．
3.D
【解析】解：点Q(3,−3)在第四象限，
故选：D．
根据各象限内点的坐标的符号特征，可得答案．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．
4.B
【解析】解：∵AB//CD，∠1=54°，
∴∠GFD=∠1=54°，
∵EF⊥CD，
∴∠EFD=90°，
即∠2+∠GFD=90°，
∴∠2=36°．
故选：B．
根据平行线的性质可求解∠GFD的度数，再结合垂线的定义可求解．
本题主要考查平行线的性质，垂线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．
5.A
【解析】解：A、随机选取200名学生进行问卷调查，最喜欢篮球的学生人数为200×30%=60人，故A错误；
B、由统计图可知，最喜欢足球的人数占被调查人数的40%，学生人数最多，故B正确；
C、“乒乓球”对应扇形的圆心角为360°×20%=72°，故C正确；
D、最喜欢排球的人数占被调查人数的1−(40%+30%+20%)=10%，故D正确；
故选：A．
根据扇形统计图的数据逐一判断即可．
本题考查扇形统计图及其相关计算、总体、个体、样本容量、样本、用样本估计总体等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
6.C
【解析】解：∵x=3y=−2是方程组ax+by=1ax−by=5的解，
∴3a−2b=1①3a+2b=5②，
①+②得，6a=6，
解得a=1，
把a=1代入①得，3−2b=1，
解得b=1，
∴2a+b2=2×1+1=3，
故选：C．
根据方程组的解得到关于a、b的方程组，解方程组得到a、b的值，代入代数式即可得到答案．
此题考查了二元一次方程组的解和解方程组，正确记忆相关知识点是解题关键．
7.两直线平行，同位角相等
【解析】解：命题：“同位角相等，两直线平行．”的题设是“同位角相等”，结论是“两直线平行”．
所以它的逆命题是“两直线平行，同位角相等．”
故答案为：“两直线平行，同位角相等”．
把一个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题．
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
8.垂线段最短
【解析】解：∵PB⊥MN，
∴根据垂线段最短得出最快到达的路径是选择沿线段PB去公路，
故答案为：垂线段最短．
根据垂线段最短求解即可．
本题考查垂线段最短，熟知直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短是解答的关键．
9.3x+y≥1
【解析】解：根据题意，可列不等式：3x+y≥1，
故答案为：3x+y≥1．
关系式为：x的3倍+y≥1，把相关数值代入即可．
本题考查从实际问题抽象出一元一次不等式，根据关键词得到相应的关系式是解决本题的关键．
10.133°或47°
【解析】解：当∠ACB′=138°时，CB′/​/AB，理由如下：
∵∠ACB′=133°，∠A=47°，
∴∠ACB′+∠A=180°，
∴CB′//AB，
当CB′在AC的左侧时，∠ACB′=47°时，CB′/​/AB，
故答案为：133°或47°．
根据平行线的判定定理求解即可．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
11.x+12y=4823x+y=48
【解析】【分析】
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
根据甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的23，那么乙也共有钱48文，可以列出方程组，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
x+12y=4823x+y=48，
故答案为：x+12y=4823x+y=48．
12.(−1,1)或(1,1)
【解析】解：∵a是立方根等于它本身的数，
∴a=±1，
解不等式1−12x>0得，x<2，
∵b为不等式1−12x>0的正整数解，
∴b=1，
∴点P的坐标为(−1,1)或(1,1)．
故答案为：(−1,1)或(1,1)．
根据题意求得a=±1，解不等式求得不等式的正整数解即可求得b的值，从而求得点P的坐标．
本题考查了立方根、点的坐标，一元一次不等式的整数解，掌握立方根的定义以及解不等式的方法是解题的关键．
13.解：(1)(−1)2024+|1− 2|− 4
=1+ 2−1−2
= 2−2．
(2)x+2y=3①3x−2y=5②，
①+②，可得4x=8，
解得x=2，
把x=2代入①，可得：2+2y=3，
解得y=0.5，
∴原方程组的解是x=2y=0.5．
【解析】(1)首先计算乘方、开平方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可；
(2)应用加减消元法，求出方程组的解即可．
此题主要考查了实数的运算，注意运算顺序，以及解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键．
14.证明：∵CG平分∠DCF，∠FCG=65°，
∴∠DCF=2∠FCG=130°，
∴∠BCE=∠DCF=130°，
∵∠B=50°，
∴∠B+∠BCE=180°，
∴AB//EF．
【解析】根据角平分线定义及对顶角性质∠BCE=∠DCF=130°，则∠B+∠BCE=180°，再根据“同旁内角互补，两直线平行”即可得解．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
15.解：x+32≥x+1①3+4(x−1)>−9②，
由①得x≤1，
由②得x>−2，
故不等式组的解集为−2把解集在数轴上表示出来为：

【解析】此题考查的是解一元一次不等式组的方法，解一元一次不等式组应遵循的法则：“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则．同时考查了在数轴上表示不等式组的解集．
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并把解集在数轴上表示出来即可．
16.解：(1)如图所示，线段PM即为所求；
(2)如图所示，点C即为所求(答案不唯一)．
【解析】(1)根据平行线的性质结合网格作出图形即可；
(2)根据三角形的面积公式结合网格画出图形即可．
本题考查了作图−应用设计作图，平行线的判定与性质，三角形的面积，熟记平行线的判定与性质，三角形的面积是解题的关键．
17.解：(1)∵2a−1的平方根是±3，3a−b+13的立方根是2，
∴2a−1=9，3a−b+13=8，
解得：a=5，b=20；
(2)∵a=5，b=20，
∴a+b=5+20=25，
∴a+b的算术平方根为5．
【解析】(1)由平方根的定义和列方程的定义可求得2a−1=9，3a−b+13=8，从而可求得a、b的值；
(2)把a、b的值代入求得代数式a+b的值，最后再求其算术平方根即可．
本题主要考查的是平方根、算术平方根和立方根的定义，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．
18.100 10 25 25%
【解析】解：(1)本次抽样调查的学生共有18÷18%=100(名)．
故答案为：100．
(2)a=100×10%=10，b=100−10−18−35−12=25，n=2525÷100×100%=25%．
故答案为：10；25；25%．
(3)补全频数分布直方图如图所示．
(4)2500×12%=300(人)．
∴估计全校获得奖励的学生人数约300人．
(1)用表格中分数段为61≤x<71的频数除以所占百分比可得本次抽样调查的学生人数．
(2)用本次抽样调查的学生人数乘以表格中分数段为51≤x<61所占百分比可得a的值；用本次抽样调查的学生人数分别减去分数段为51≤x<61，61≤x<71，81≤x<91，91≤x<101的人数，可得b的值；用b的值除以本次抽样调查的学生人数再乘以100%可得n的值．
(3)根据(2)所求数据补全频数分布直方图即可．
(4)根据用样本估计总体，用2500乘以表格中91≤x<101所占百分比即可得出答案．
本题考查频数(率)分布直方图、频数(率)分布表、用样本估计总体，能够读懂统计图表，掌握用样本估计总体是解答本题的关键．
19.CD 纵坐标都为0 平行 6
【解析】解：(1)图形中，线段CD上的点都在x轴上，它们的坐标特点是纵坐标都为0．
故答案为：CD；纵坐标都为0．
(2)如图，△A1B1C1即为所求．
由图可得，A1(−4,−1)，C1(2,−4)．
(3)由平移得，线段AC与A1C1的位置关系是平行．
S三角形A1B1C1=12×4×3=6．
故答案为：平行；6．
(1)由x轴上点的坐标特点可得出答案．
(2)根据平移的性质作图，即可得出答案．
(3)由平移得AC/​/A1C1；利用三角形的面积公式计算即可．
本题考查作图−平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
20.解：由方程组3x+y=3m+9x−y=5m+7，解得：x=2m+4y=−3m−3，
∵点P(x,y)在第一象限，
∴2m+4>0−3m−3>0，
解得：−2(2)∵点P(x,y)在第一象限，点P到x轴的距离是到y轴距离的2倍，
∴−3m−3=2(2m+4)，
解得：m=−117，
∴点P的坐标是(67,127).
【解析】(1)根据方程组的解在第一象限，都是正数，列出不等式组，求出m的取值范围即可；
(2)直接利用点P到两坐标轴的距离相等得出等式求出答案．
本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组，点的坐标，根据题意列出不等式组，正确掌握平面内点的坐标特点是解题的关键．
21.∠BFD 两直线平行，内错角相等 ∠BFD 两直线平行，同位角相等
【解析】解：(1)证明：∵DE//BA，
∴∠FDE=∠BFD(两直线平行，内错角相等)，
∵DF//CA，
∴∠A=∠BFD(两直线平行，同位角相等)，
∴∠FDE=∠A．
故答案为：∠BFD；两直线平行，内错角相等；∠BFD；两直线平行，同位角相等．
(2)∵CD//BE，
∴∠D=∠AEB=53°，
∵∠A+∠ABC=180°，
∴AD//BC，
∴∠CBE=∠AEB=53°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=53°，
∴∠CBF=180°−∠ABE−∠CBE=180°−53°−53°=74°．
(1)由平行线的性质可得出答案；
(2)证明AD//BC，得出∠CBE=∠AEB=53°，求出∠ABE=∠CBE=53°，则可得出答案．
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．
22.解：(1)设A型垃圾桶单价为x元，B型垃圾桶单价为y元，
由题意可得：2x+3y=4206x+5y=860，
解得：x=60y=100，
答：A型垃圾桶单价为60元，B型垃圾桶单价为100元；
(2)设A型垃圾桶a个，
由题意可得：60a+100(200−a)≤15000，
a≥125，
答：至少需购买A型垃圾桶125个．
【解析】(1)设A型垃圾桶单价为x元，B型垃圾桶单价为y元，根据购买2个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要420元，购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元，列出二元一次方程组，即可求解；
(2)设A型垃圾桶a个，根据总费用不超过15000元，列出不等式，即可求解．
本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
23.解：(1)∵实数a，b满足(a+4)2+ b−6=0，
且(a+4)2≥0， b−6≥0，
∴a+4=0，b−6=0，
∴a=−4，b=6，
∴点A的坐标为(−4,6)；
(2)过点A作x轴的垂线，点B为垂足，
∴B(−4,0)，
若将点A向右平移10个单位长度，再向下平移8个单位长度可以得到对应点C，
则点C坐标为(−4+10,6−8)，即C(6,−2)，
AB=|yA−yB|=|6−0|=6，
∴S△ABC=12AB×|xC−xA|=12×6×|6−(−4)|=12×6×10=30，
即三角形ABC的面积为30；
(3)如图，设直线AC的解析式为y=kx+b，

将点A(−4,6)，点C(6,−2)代入y=kx+b，
可得−4k+b=66k+b=−2，
解得k=−45b=145，
∴直线AC的解析式为y=−45x+145，
令y=0，则x=72，
∴点D(72,0)，
由(2)可知，S△ABC=30，
∴S三角形ODP=730S三角形ABC=730×30=7，
设点P(−4,m)，
∴S三角形ODP=12×72×丨m丨=7，
解得：m=±4
∴点P的坐标为(−4,−4)或(−4,4)．
【解析】(1)根据非负数的性质求得a、b的值，即可确定点A的坐标；
(2)根据“过点A作x轴的垂线，点B为垂足”可得点B的坐标；由平移的性质可得点C的坐标；结合图形，利用三角形面积公式即可计算三角形ABC的面积；
(3)先求出直线AC解析式得到点D坐标，再设点P(−4,m)，根据面积公式计算出m值即可．
本题考查了非负数的性质、坐标与图形、点的平移、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征等知识，理解题意，利用数形结合的思想分析问题是解题关键．分数段(分)
频数
所占百分比
51≤x<61
a
10%
61≤x<71
18
18%
71≤x<81
b
n
81≤x<91
35
35%
91≤x<101
12
12%
证明：∵DE//BA，
∴∠FDE= ______(______).
∵DF//CA，
∴∠A= ______(______).
∴∠FDE=∠A．