2023-2024学年山东省聊城市冠县九年级（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年山东省聊城市冠县九年级（上）期末数学试卷（含答案），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若α是锐角，tanα=1，则csα的值是( )
A. 12B. 22C. 32D. 1
2.将抛物线y=3x2沿着y轴向上平移1个单位后，所得新抛物线的表达式是( )
A. y=x2+1B. y=x2−1C. y=3x2+1D. y=3x2−1
3.在平面直角坐标系中，以点(3,2)为圆心，2为半径的圆与坐标轴的位置关系为( )
A. 与x轴相离、与y轴相切B. 与x轴、y轴都相离
C. 与x轴相切、与y轴相离D. 与x轴、y轴都相切
4.如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是( )
A. ∠ABD=∠ACB
B. ∠ADB=∠ABC
C. AB2=AD⋅AC
D. ADAB=ABBC
5.a是方程x2+x−1=0的一个根，则代数式2026−2a2−2a的值是( )
A. 2024B. 2023C. 2022D. 2021
6.如图，小明在C处看到西北方向上有一凉亭A，北偏东35°的方向上有一棵大树B，已知凉亭A在大树B的正西方向，若BC=50米，则AB的长等于( )米．
A. 50sin35∘−50cs35∘
B. 50sin35∘+50cs35∘
C. 50(cs35°−sin35°)
D. 50(cs35°+sin35°)
7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，M，N分别是边AB，AD的中点，连接OM，ON，MN，则下列叙述不正确的是( )
A. △AMO与△ABC位似 B. △AMN与△BCD位似
C. △ABO与△CDO位似 D. △AMN与△ABD位似
8.已知x1，x2是x2−3x+1=0方程的两个实数根，则x1+x2的值为( )
A. −3B. 3C. −1D. 1
9.关于二次函数y=2(x−1)2+3，下列说法正确的是( )
A. 图象的对称轴是直线x=−1
B. 图象与x轴有两个交点
C. 当x>1时，y的值随x值的增大而增大
D. 当x=1时，y取得最大值，且最大值为3
10.一个扇形的半径为6，弧长等于5π，则扇形的圆心角度数为( )
A. 30°B. 60°C. 150°D. 210°
11.如图，由二次函数y=ax2+b+c的图象可知，不等式ax2+bx+c>0的解集是( )
A. −6B. x>2
C. x<−6或x>2
D. x<−6
12.如图，矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，点B的坐标为(2,4)，则点E的坐标为( )
A. (4,4)
B. (2,2)
C. (2,4)
D. (4,2)
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
13.已知△ABC与△A′B′C′的相似比为23，且S△ABC+S△A′B′C′=91，则△A′B′C′的面积是______．
14.关于x的一元二次方程(2m−1)x2−3x+1=0有实数根，则m的取值范围是______．
15.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=66°，则∠OBC= ______．
16.近年来，我国大力推行药品集中带量采购制度，很多常用药的价格显著下降．受此影响，某种药品两次降价后，价格由每盒160元大幅调整为40元，则该药品平均每次降价的百分率为______．
17.如图，有一矩形养鸡场，养鸡场的一边靠墙(墙足够长)，另三边用16米的长篱笆围成，则矩形ABCD面积的最大值是______．
三、解答题：本题共8小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题7分)
如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，连接DE，且∠ADE=∠ACB．
(1)求证：△ADE∽△ACB；
(2)若AD=2DB，AE=4，AC=9，求BD的长．
19.(本小题6分)
解下列方程：
(1)(2x+1)2=(x−3)2；
(2)(x−2)(x−3)=12．
20.(本小题8分)
如图，点P是反比例函数y=kx(x<0)的图象上的一点，过点P作PA⊥x轴于点A，连接OP，△AOP的面积为6．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若OA=4，点B是反比例函数y=kx(x<0)上的点，当S△OAB=12时，直接写出点B的坐标．
21.(本小题8分)
某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．
(1)求销售价在每件90元的基础上，每件降价多少元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠？
(2)要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．
22.(本小题8分)
如图，AB是半圆所在圆的直径，点O为圆心，OA=5，弦AC=8，OD⊥AC于E，交⊙O于D，连接BC、BE．
(1)求OE的长；
(2)设∠BEC=α，求tanα的值．
23.(本小题10分)
如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF=∠CAE，交AB的延长线于点F．
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若BF=10，EF=20，求⊙O的半径．
24.(本小题12分)
已知二次函数y=−x2+bx+c的图象过点A(4,0)、C(−1,0)．
(1)求b、c的值；
(2)如图，二次函数的图象与y轴交于点B，二次函数图象的对称轴与直线AB交于点P，求P点的坐标；
(3)在第一象限内的抛物线上有一点Q，当△QAB的面积最大时，求点Q的坐标．
25.(本小题10分)
阅读理解学习：
在学习《解直角三角形》这一章时，小迪同学勤学好问，在课外学习活动中，探究发现，三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系，下面是她的学习笔记.请仔细阅读下列材料并完成相应的任务．
【阅读材料】：在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，△ABC的面积记为S△ABC，过点A作AD⊥BC，垂足为D，则
∵sinB=ADAB，
∴AD=AB⋅sinB．
∴S△ABC=12BC⋅AD=12BC⋅AB⋅sinB=12a⋅c⋅sinB．
同理可得：S△ABC=12b⋅c⋅sinA,S△ABC=12a⋅b⋅sinC．
即：S△ABC=12b⋅c⋅sinA=12a⋅c⋅sinB=12a⋅b⋅sinC……①．
由以上推理得结论①：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半．
又∵abc≠0，将等式12b⋅c⋅sinA=12a⋅c⋅sinB=12a⋅b⋅sinC两边同除以12abc得，
∴sinAa=sinBb=sinCc……②．
由以上推理得结论②：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等．
【理解应用】请你学习上述阅读材料解答以下问题：
如图，甲船以24 3海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B处，且乙船从B处沿北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达D处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的C处，此时两船相距8 3海里．
(1)求△ADC的面积；
(2)求乙船航行的路程是多少海里(结果保留根号)．
参考答案
1.B
2.C
3.C
4.D
5.A
6.D
7.B
8.B
9.C
10.C
11.A
12.D
13.63
14.m≤138且m≠12
15.24°
16.50%
17.32m2
18.(1)证明：∵∠ADE=∠ACB，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB；
(2)解：由(1)可知：△ADE∽△ACB，
∴ADAC=AEAB，
设BD=x，则AD=2x，AB=3x，
∵AE=4，AC=9，
∴2x9=43x，
解得：x= 6(负值舍去)，
∴BD的长是 6．
19.解：(1)(2x+1)2=(x−3)2，
(2x+1)2−(x−3)2=0，
(2x+1+x−3)(2x+1−x+3)=0，
(3x−2)(x+4)=0，
3x−2=0或x+4=0，
∴x1=23，x2=−4；
(2)∵(x−2)(x−3)=12，
∴x2−5x−6=0，
∴(x−6)(x+1)=0，
∴x−6=0或x+1=0，
∴x1=6，x2=−1．
20.解：(1)由于P为反比例函数y=kx的图象上一点，
∴S△AOP=12|k|=6，
又∵函数位于第二象限，
∴k=−12，
∴反比例函数的解析式为y=−12x；
(2)设点B(a,−12a)，
∵OA=4，S△OAB=12，
∴12×4×|−12a|=12，
∴a=±2，
∵点B在第二象限，
∴点B(−2,6)．
21.解：(1)设每件降价x元，则每件盈利(90−x−50)元，平均每天可售出(20+2x)件，
依题意得：(90−x−50)(20+2x)=1200，
整理得：x2−30x+200=0，
解得：x1=10，x2=20，
又∵要使顾客得到较多的实惠，
∴x=20．
答：每件应降价20元．
(2)每天不可能盈利2000元，理由如下：
设每件降价y元，则每件盈利(90−y−50)元，平均每天可售出(20+2y)件，
依题意得：(90−y−50)(20+2y)=2000，
整理得：y2−30y+600=0，
∵Δ=(−30)2−4×1×600=−1500<0，
∴原方程无实数根，
即每天不可能盈利2000元．
22.解：(1)∵OD⊥AC，
∴AE=12AC=12×8=4．
在Rt△OEA中，OE= OA2−AE2= 52−42=3．
(2)∵AB是⊙O的直径，
∴∠C=90°．
在Rt△ABC中，AB=2OA=10，
∴BC= AB2−AC2= 102−82=6．
∵OD⊥AC，
∴CE=12AC=12×8=4．
在Rt△BCE中，tanα=BCCE=64=32．
23.解：(1)连接OE，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，即∠AEO+∠OEB=90°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE=∠EAB，
∵OA=OE，
∴∠EAB=∠AEO，
∵∠BEF=∠CAE，
∴∠BEF=∠AEO，
∴∠BEF+∠OEB=90°，
∴OE⊥EF，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线．
(2)设⊙O的半径为x，
则有OE=OB=x，
在Rt△OEF中，
OE2+EF2=OF2，
∴x2+202=(x+10)2，
解得x=15．
∴⊙O的半径为15．
24.解：(1)把点A(4,0)、C(−1,0)代入y=−x2+bx+c中，
−1−b+c=0−16+4b+c=0，
解得b=3c=4，
∴b=3，c=4，
(2)在y=−x2+3x+4中，
令x=0，则y=4，
∴B(0,4)，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴b=416k+b=0，
∴b=4k=−14，
∴直线AB的解析式为：y=−14x+4，
∴二次函数y=−x2+3x+4的对称轴为x=32，
∴当x=32时，y=−14×32+4=298，
∴P(32,298)；
(3)设Q(m,−m2+3m+4)，△QAB的面积为S，
连接QA，QB，OQ，

则S=S△OBQ+S△OAQ−S△OAB
=12OB⋅m+12OA×(−m2+3m+4)−12⋅OA⋅OB，
又∵OA=OB=4，
∴S=−2m2+8m=−2(m−2)2+8，
当m=2时，S最大=8，
此时−m2+3m+4=6，
∴Q(2,6)．
25.解：(1)由题意知：∠ADC=60°，DC=8 3，AD=24 3×2060=8 3，
由结论①知，S△ADC=12DC⋅AD⋅sin∠ADC
=12×8 3×8 3×sin60°
=12×8 3×8 3× 32=48 3(平方海里)，
所以△ADC的面积为48 3平方海里．
(2)由(1)知DC=AD，∠ADC=60°，
∴△ACD是等边三角形，

∴∠DAC=60°，AC=AD=8 3，
又∠BAM=75°，
∴∖angBAC=180°−75°−60°=45°，
由题意知∠NBC=15°，∠NBA=75°，
∴∠ABC=75°−15°=60°，
在△ABC中，由材料中结论②得ACsin∠ABC=BCsin∠BAC，
∴BC=AC⋅sin∠BACsin∠ABC=8 3×sin45°sin60°=8 3× 22 32=8 2(海里)，
∴乙船航行的路程为8 2海里．