2024-2025学年安徽省六安市独山中学高二（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年安徽省六安市独山中学高二（上）开学数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数2−i1−i=( )
A. 32+12iB. 12−32iC. 32−32iD. 12+12i
2.已知向量a=1,1，b=1,−2，c=x,−1，若c⊥(a+2b)，则x=( )
A. 1B. 2C. −2D. −1
3.如图，在△ABC中，BD+4CD=0，则AD=( )
A. 15AB+45AC
B. 45AB+15AC
C. 16AB+56AC
D. 56AB+16AC
4.已知正三棱柱的体积为 62，且底面边长与高相等，则该正三棱柱一个侧面的对角线长为( )
A. 1B. 3C. 2D. 6
5.如图，水平放置的四边形ABCD的斜二测直观图为矩形A′B′C′D′，已知A′O′=O′B′=1，B′C′=1，则四边形ABCD的周长为( )
A. 6 2
B. 12 2
C. 8
D. 10
6.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为6，体积为24，则该球的表面积是( )
A. 264πB. 44πC. 4 11πD. 44 113π
7.在△ABC中，若BC=1，AC=3，csC=23，则sinB=( )
A. 306B. 155C. 106D. 105
8.如图，一同学利用所学习的解三角形知识想测量河对岸的塔高AB时，他选取了塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.∠BCD=45°，∠BDC=75°，CD=20 m，在点C处塔顶A的仰角为60°，则塔高为( )
A. 10( 6+ 2)mB. 5( 6+ 2)mC. 20( 6+ 2)mD. 20( 6− 2)m
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数z1、z2在复平面内的对应点分别在一、二象限，则z1+z2在复平面内的对应点可能在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
10.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是( )
A. 圆柱的侧面积为2πR2
B. 圆锥的侧面积为2πR2
C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等
D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2
11.对于△ABC，有如下判断，其中正确的是( )
A. 若sinA=sinB，则△ABC为等腰三角形
B. 若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰或直角三角形
C. 若csAB
D. 若tanA>tanB，则A>B
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，一个水平放置的平面图形的直观图是个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA′B′C′中，B′C′=2，OC′= 2，则该平面图形的面积为______．
13.如果在一个边长为5的正△ABC中，一个向量所对应的有向线段为AD(其中D在边BC上运动)，则向量AD长度的最小值为______．
14.在△ABC中，D在BC上，AD平分∠BAC，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z1=3+4i，z2=−2i，i为虚数单位．
(1)求z1z2；
(2)若z=z1z2，求z的共轭复数；
(3)若复数az1+z2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．
16.(本小题15分)
已知|a|= 2，|b|=1，a与b的夹角为45°．
(1)求a在b方向上的投影向量；
(2)求|a+2b|的值；
(3)若向量(2a−λb)与(λa−3b)平行且方向相同，求实数λ．
17.(本小题15分)
已知在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，BC=2，AA1=4，E为棱CC1的中点．
(Ⅰ)求三棱锥E−A1C1D1的表面积；
(Ⅱ)求四棱锥E−AA1C1C的体积．
18.(本小题17分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=ccsA．
(1)试判断△ABC的形状；
(2)若c=1，求△ABC周长的最大值．
19.(本小题17分)
某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为60cm的正四面体沿棱的三等分点，截去四个一样的正四面体得到．
(1)求石凳的体积与原正四面体的体积之比；
(2)为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价50元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？( 3≈1.73)
答案解析
1.A
【解析】解：2−i1−i=(2−i)(1+i)(1−i)(1+i)=3+i2=32+12i．
故选：A．
根据复数四则运算计算即可．
本题考查复数四则运算应用，考查数学运算能力，属于基础题．
2.D
【解析】解：由题意可得a+2b=(3,−3)．
又因为c⊥(a+2b)，
所以有c⋅(a+2b)=3x+(−1)×(−3)=0，
解得x=−1，
故选：D．
先由a,b的坐标求得a+2b的坐标，再根据c⊥(a+2b)，可得c⋅(a+2b)=0，代人坐标求解即可．
本题考查向量垂直，数量积的坐标运算，是基础题．
3.A
【解析】解：∵在△ABC中，BD=4DC，∴AD=AB+BD=AB+45BC=AB+45(AC−AB)=15AB+45AC．
故选：A．
运用平面向量的三角形法则，直接求解．
本题考查了平面向量的基本运算，是基础题．
4.C
【解析】解：如图，
设正三棱柱的底面边长与高相等，等于a，
由题意，12a2× 32×a= 62，解得a= 2．
∴该正三棱柱一个侧面的对角线长为 2× 2=2．
故选：C．
由题意画出图形，再由已知棱柱体积求得底面边长与高，则答案可求．
本题考查棱柱体积的求法，考查运算求解能力，是基础题．
5.D
【解析】解：根据题意，矩形A′B′C′D′，A′O′=O′B′=1，B′C′=1，
则O′C′= 12+12= 2，
如图：平面图形是平行四边形ABCD，
AB=AO+OB=A′O′+O′B′=2，OC=2O′C′=2 2，
BC= OB2+OC2=3，
则四边形ABCD的周长l=2(AB+BC)=10．
故选：D．
根据题意，作出原图矩形ABCD，分析原图中AB、BC的值，进而计算可得答案．
本题考查斜二测画法，涉及平面图形的直观图，属于基础题．
6.B
【解析】解：设正四棱柱的底面边长为a，因为正四棱柱的高为6，体积为24，
所以a2×6=24，即a2=4，得a=2，正四棱柱的各顶点都在一个球面上，
所以正四棱柱的体对角线长等于球的直径，即 22+22+62=2 11=2R，
所以球的半径为R= 11，球的表面积S=4πR2=4π×11=44π．
故选B．
7.A
【解析】解：由题意可得BC=a=1，AC=b=3，AB=c，
由余弦定理可得c2=a2+b2−2abcsC=6，即c= 6，
又csC=23,C∈(0,π)，
可得sinC= 53，
利用正弦定理可知bsinB=csinC，
所以sinB=bsinCc=3× 53 6= 306．
故选：A．
根据余弦定理可计算出c= 6，再利用正弦定理即可得出sinB= 306．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于基础题．
8.A
【解析】解：由题可知，在△BCD中，∠BCD=45°，∠BDC=75°，故∠CBD=60°，
由正弦定理可得：CDsin∠CBD=CBsin∠BDC，
又sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cs30°+cs45°sin30°= 22× 32+ 22×12= 6+ 24，
解得CB=10( 6+ 2) 3，
因为在△ABC中∠ACB=60°，所以AB=CBtan∠ACB=10( 6+ 2) 3× 3=10( 6+ 2)．
故选：A．
在△BCD中利用正弦定理求解CB=10( 6+ 2) 3，进一步在△ABC中根据AB=CBtan∠ACB即可求解．
本题考查的知识要点：正弦定理和三角函数的值，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
9.AB
【解析】解：在复平面内，设复数z1、z2对应点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，则有x1>0，y1>0且x2<0，y2>0，
于是得z1+z2对应点的坐标为(x1+x2,y1+y2)，此时恒有y1+y2>0，而x1+x2有值不确定，
即z1+z2在复平面内的对应点必在x轴上方，可能在第一象限，第二象限或者在y轴正半轴上，
所以选项C，D不可能，A，B有可能．
故选：AB．
设出复数z1、z2对应点的坐标，求出z1+z2对应点的坐标即可分析得解．
本题主要考查复数的几何意义，以及复数的四则运算，属于基础题．
10.CD
【解析】解：A选项，圆柱的侧面积为2π×2R=4πR2，故A选项错误．
B选项，圆锥的母线长为 R2+(2R)2= 5R，
圆锥的侧面积为πR× 5R= 5πR2，故B选项错误．
C选项，球的表面积为4πR2，
所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C选项正确．
D选项，圆柱的体积为πR2×2R=2πR3，
圆锥的体积为13×πR2×2R=23πR3，
球的体积为43πR3，
所以圆柱、圆锥、球的体积之比为2πR3：23πR3：43πR3=3：1：2，故D选项正确．
故选：CD．
根据圆柱、圆锥侧面积、表面积、体积等知识求得正确答案．
本题考查了圆柱、圆锥、球的表面积及其体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属基础题．
11.ABC
【解析】解：A中，因为sinA=sinB，在△ABC中，由正弦定理可得a=b，
所以该三角形为等腰三角形，所以A正确；
B中，因为sin2A=sin2B，在△ABC中，可得2A=2B或2A=π−2B，
即A=B或A+B=π2，可得C=π2，
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，所以B正确；
C中，在三角形中，A，B∈(0,π)，因为y=csx在(0,π)上单调递减，所以A>B，所以C正确；
D中，当B为钝角，A为锐角时，此时tanA>tanB时，B>A，所以D不正确．
故选：ABC．
A中，由正弦定理可得a=b，进而可得A=B，即判断出该三角形的形状，进而判断出A的真假；B中，由三角形中的角之间的关系，判断出该三角形的形状，判断出B的真假；C中，由余弦函数的单调性，可得角A，B的关系，判断出C的真假；D中，当B为钝角，A为锐角时，判断出D的真假．
本题考查三角形中角之间的关系及余弦函数的单调性的应用，属于中档题．
12.6 2
【解析】解：由直观图可得平面图形OABC如下图所示：
则OC=2OC′=2 2，BC=B′C′=2，
在题设等腰梯形OA′B′C′中，OA′= 2× 22×2+2=4，
因此OA=OA′=4，
所以SOABC=12×(2+4)×2 2=6 2．
故答案为：6 2．
根据直观图与原平面图形的关系作出原平面图形，求出相应边长后计算面积．
本题主要考查了平面图象的直观图，属于基础题．
13.5 32
【解析】解：由题意可得，当D为BC的中点时，此时向量AD长度最小，
即|AD|= 32×5=5 32，
故答案为：5 32
由题意可得，当D为BC的中点时，此时向量AD长度最小，问题得以解决．
本题考查了等边三角形的性质以及向量的模，属于基础题．
14.3 34
【解析】解：在△ABC中，AB=3，AC=1，∠BAC=60°，
余弦定理：可得BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cs60°
即BC= 7．
在△ADC中，设BD=m，则DC= 7−m．
余弦定理：可得DC2=AD2+AC2−2AD⋅AC⋅cs30°
即( 7−m)2=AD2+1− 3AD…①，
在△ABD中：
余弦定理：可得DB2=AD2+AB2−2AD⋅AB⋅cs30°
即：m2=AD2+9−3 3AD…②，
由①②求解得：AD=3 34．
故答案为：3 34．
根据余弦定理求出BC的长度，在△ABD和△ADC中，利用余弦建立等式关系求出AD即可．
本题余弦定理的运用和计算能力．属于基础题．解题时要注意余弦定理的合理运用．
15.解：(1)z1=3+4i，z2=−2i，
则z1z2=(3+4i)(−2i)=8−6i；
(2)∵z1=3+4i，z2=−2i，
∴z=z1z2=3+4i−2i=(3+4i)i−2i2=−2+32i，
∴z−=−2−32i．
(3)∵az1+z2=3a+4ai−2i=3a+(4a−2)i在复平面上对应的点在第四象限，
∴3a>04a−2<0，解得0故实数a的取值范围为(0,12).
【解析】(1)结合复数的四则运算，即可求解．
(2)根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．
(3)根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，复数的几何意义，以及共轭复数的定义，属于基础题．
16.解：(1)∵|a|= 2，|b|=1，a与b的夹角为45°，
∴|a|cs45°⋅b|b|= 2× 22×b|b|=b，
∴a在b方向上的投影向量为b；
(2)∵|a|= 2，|b|=1，a与b的夹角为45°，
∴|a+2b|2=|a|2+4|a|⋅|b|cs45°+4|b|2=2+4+4=10，
∴|a+2b|= 10；
(3)∵(2a−λb)与(λa−3b)平行，
∴(2a−λb)=μ(λa−3b)
∴2=λ⋅μ−λ=−3μ，解得：μ= 63λ= 6或μ=− 63λ=− 6，
当μ= 63λ= 6时，
2a− 6b= 63( 6a−3b)方向相同，
当μ=− 63λ=− 6时，2a− 6b=− 63(− 6a−3b)方向相反，故舍去，
∴λ= 6．
【解析】(1)根据投影向量求解公式求出答案；
(2)平方后求出|a+2b|2=10，得到模长；
(3)根据两向量平行得到方程，求出λ的两个解，检验是否方向相同，得到答案．
本题考查向量的数量积的定义和性质，以及向量的投影和夹角为锐角的等价条件，考查运算能力，属于中档题．
17.解：(I)因为在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，BC=2，AA1=4，E为棱CC1的中点，
所以A1C1=A1E=C1E=2 2，
SE−A1C1D1=3×12×2×2+12×2 2×2 2×sin60°=6+2 3；
(II)VE−AA1C1C=VA1C1D1−ACD−VE−ACD−VE−A1C1D1=12×2×2×4−2×13×12×2×2×2=163．
【解析】(I)分别求出各个面的面积即可求解；
(II)根据VE−AA1C1C=VA1C1D1−ACD−VE−ACD−VE−A1C1D1.即可求解．
本题考查几何体表面积与体积的计算，属于中档题．
18.解：(1)由b=ccsA，利用余弦定理得b=cb2+c2−a22bc，即a2+b2=c2，
所以C=π2，
所以△ABC是直角三角形；
(2)由(1)知△ABC是直角三角形，且c=1，
可得a=sinA，b=csA，
所以△ABC周长为1+sinA+csA=1+ 2sin(A+π4)≤1+ 2，
所以当A=π4时，即△ABC为等腰直角三角形，周长有最大值为1+ 2．
【解析】(1)由题意利用余弦定理得a2+b2=c2，可求C=π2，即可判断△ABC的形状；
(2)由(1)及题意可得a=sinA，b=csA，进而利用三角函数恒等变换以及正弦函数的性质即可求解．
本题考查了余弦定理，三角函数恒等变换以及正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．
19.解：(1)设一个棱长为a的正四面体，将其放到一个正方体中，
则可知该正方体的棱长为 22a，
∴该正四面体的体积为( 22a)3−4×13×12×( 22a)3=13×( 22a)3= 212a3，
∴根据题意可得石凳的体积与原正四面体的体积之比为：
212×603−4× 212×203 212×603=2327；
(2)根据题意可得一个石凳的表面积为：
4×(6×12×20×20× 32)+4×12×20×20× 32=2800 3(cm2)，
∴粉刷一个石凳需要的钱为：2800 3×10−4×50=24.22(元)．
【解析】(1)利用分割补形法，即可求解；
(2)根据题意可得石凳的表面积为4个正六边形与4个正三角形面积之和，再计算即可求解．
本题考查几何体的体积与表面积的求解，分割补形法的应用，属中档题．