2024-2025学年北京161中九年级（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年北京161中九年级（上）开学数学试卷（含答案），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式是最简二次根式的是( )
A. 9B. 252C. 6D. 50
2.在▱ABCD中，∠A=70°，则∠B的度数为( )
A. 110°B. 100°C. 70°D. 20°
3.用配方法解方程x2−2x−5=0时，原方程变形正确的是( )
A. (x−1)2=6B. (x−2)2=9C. (x+1)2=6D. (x+2)2=9
4.满足下列条件的四边形一定是正方形的是( )
A. 对角线互相平分的四边形B. 有三个角是直角的四边形
C. 有一组邻边相等的平行四边形D. 对角线相等的菱形
5.在平面直角坐标系xOy中，点A(2,y1)，B(3,y2)在函数y=−7x−4的图象上，则( )
A. y1>y2B. y1=y2C. y16.在奥运会跳水项目中，多名评委对同一位选手打分，去掉一个最高分和一个最低分后再计算该选手的成绩.去掉这两个分数的前后，一定不发生变化的统计量是( )
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
7.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c.下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是( )
A. ∠A+∠B=90°B. ∠A：∠B：∠C=3：4：5
C. a：b：c=3：4：5D. a=b=1，c= 2
8.如图，∠ACB=90°，∠BAC=30°，△ABD和△ACE都是等边三角形，F为AB中点，DE交AB于G点，下列结论中，正确的结论有( )个．
①EF⊥AC；
②四边形ADFE是菱形；
③AD=4AG；
④△DBF≌△EFA．
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.若 x−5在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
10.若关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有一个根为0，则m的值为______．
11.如图所示，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为 ．
12.如果一组数据1，2，3，4，5的方差是2，那么一组新数据2，4，6，8，10的方差是______．
13.如图，在▱ABCD中，AD=6，E为AD上一动点，M，N分别为BE，CE的中点，则MN的长为______．
14.定义：对于给定的一次函数y=ax+b(a、b为常数，且a≠0)，把形如y=ax+b(x≥0)−ax+b(x<0)的函数称为一次函数y=ax+b的“衍生函数”，已知一次函数y=x−1，若点P(−2,m)在这个一次函数的“衍生函数”图象上，则m的值是______．
15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，P为射线AB上一点，若△ACP是等腰三角形，则AP的长为______．
16.如图1，华容道是一种古老的中国民间益智游戏，一些棋子紧密地摆放在矩形木框内，其中有5个完全一样的小矩形木块代表“五虎上将”，它们有4个纵向摆放，1个横向摆放，把其他棋子拿掉后，这5个小矩形木块排列示意图如图2所示.若图2中阴影部分面积为40，则一个小矩形木块的对角线的长为______．
三、解答题：本题共12小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
计算：(π−1)0−9 13+ 12−| 3−2|．
18.(本小题5分)
解方程：2x2+3x−3=0．
19.(本小题5分)
如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OC的中点，求证：BE=DF．
20.(本小题5分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象由函数y=2x−2的图象平移得到，且经过点A(1,4)．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点B，求△AOB的面积．
21.(本小题5分)
已知：如图，在△ABC中，AB=AC．
求作：以AC为对角线的矩形ADCE．
作法：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N；分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P，作射线AP与BC交于点D；
②以点A为圆心，CD的长为半径画弧；再以点C为圆心，AD的长为半径画弧，两弧在AC的右侧交于点E；
③连接AE，CE．
四边形ADCE为所求的矩形．
(1)根据以上作法，使用直尺和圆规补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成以下证明．
证明：∵AE=CD，CE=AD，
∴四边形ADCE为平行四边形(______).(填推理的依据)
由作图可知，
AD平分∠BAC，
又∵AB=AC，
∴AD⊥BC(______).(填推理的依据)
∴∠ADC=90°．
∴平行四边形ADCE是矩形(______).(填推理的依据)
22.(本小题6分)
已知关于x的一元二次方程x2−4x+2m−1=0有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．
23.(本小题6分)
如图，△ABC中，AB=BC，过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)连接AC与BD交于点O，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于E点，连接EO，若EO=2 5，DE=4，求CE的长．
24.(本小题6分)
在平面直角坐标系xOy中，点A(1,a)在直线l1：y=kx+3−k(k>0)上，直线l2：y=x+m过点B(2,3)．
(1)求a的值及直线l2的表达式；
(2)当x>−1时，对于x的每一个值，函数y=kx+3−k(k>0)的值大于函数y=x+m的值，直接写出k的取值范围．
25.(本小题5分)
为了解我国2022年第一季度25个地区第一季度快递业务收入的情况，收集了这25个地区第一季度快递业务收入(单位：亿元)的数据，并对数据进行了整理、描述和分析，给出如下信息．
a.排在前5位的地区第一季度快递业务收入的数据分别为：534.9，437.0，270.3，187.7，104.0
b.其余20个地区第一季度快递业务收入的数据的频数分布表如下：
c.第一季度快递业务收入的数据在20≤x<40这一组的是：20.2，20.4，22.4，24.2，26.1，26.5，28.5，34.4，39.1，39.8
d.排在前5位的地区、其余20个地区、全部25个地区第一季度快递业务收入的数据的平均数、中位数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表中m的值为______；
(2)在下面的3个数中，与表中n的值最接近的是______(填写序号)；
①30 ②85 ③150
(3)根据(2)中的数据，预计这25个地区2022年全年快递业务收入约为______亿元．
26.(本小题6分)
北京园博园是一个集园林艺术、文化景观、生态休闲、科普教育于一体的大型公益性城市公园.小田和小旭在北京园博园游玩，两人同时从永定塔出发，沿相同的路线游览到达国际展园，路线如图1所示．
记录得到以下信息：
a.小田和小旭从永定塔出发行走的路程y1和y2(单位：km)与游览时间x(单位：min)的对应关系如图2：
b.在小田和小旭的这条游览路线上，依次有4个景点，从永定塔到这4个景点的路程如表：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)在这条游览路线上，永定塔到国际展园的路程为______km；
(2)小田和小旭在游览过程中，除永定塔与国际展园外，在______相遇(填写景点名称)，此时距出发经过了______min；
(3)下面有三个推断：
①小旭从锦绣谷到国际展园游览的过程中，平均速度是245km/min；
②小旭比小田晚到达国际展园30min；
③60min时，小田比小旭多走了23km．
所有合理推断的序号是______．
27.(本小题7分)
如图，E为正方形ABCD内部一点，且AE=AB，BE的延长线交CD于点F．
(1)求证：∠CBF=12∠BAE；
(2)作FG⊥AB于点G，交AE于点H，用等式表示线段AH，BG，FH的数量关系，并证明．
28.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，A(0,2)，B(4,2)，C(4,0).若P为矩形ABCO内(不包括边界)一点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，这两条平行线分矩形ABCO为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于OA的长，则称P点为矩形ABCO的矩宽点．
例如：图中的点P(35,25)为矩形ABCO的一个矩宽点．

(1)在点D(1,1)，E(12,32)，F(113,23)中，矩形ABCO的矩宽点是______；
(2)若点G(m,14)为矩形ABCO的矩宽点，求m的值；
(3)若直线y=k(x+1)−1上只存在一个矩形ABCO的矩宽点，则k的取值范围是______．
参考答案
1.C
2.A
3.A
4.D
5.A
6.B
7.B
8.C
9.x≥5
10.0
11.3
12.8
13.3
14.1
15.2 3或2或6
16.2 5
17.解：(π−1)0−9 13+ 12−| 3−2|
=1−9× 33+2 3+ 3−2
=1−3 3+2 3+ 3−2
=−1．
18.解：∵2x2+3x−3=0，
∴a=2，b=3，c=−3，
∴Δ=b2−4ac=32−4×2×(−3)=33>0，
∴x=−b± b2−4ac2a=−3± 334，
解得x1=−3− 334，x2=−3+ 334．
19.证明：连接BF、DE，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵E、F分别是OA、OC的中点，
∴OE=12OA，OF=12OC，
∴OE=OF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE=DF．
20.解：(1)∵一次函数y=kx+b的图象由函数y=2x−2的图象平移得到，
∴k=2，
∵函数图象经过点A(1,4)，
∴4=2×1+b，
解得b=2，
∴一次函数的解析式为y=2x+2；
(2)∵一次函数的解析式为y=2x+2，
∴当y=0时，x=−1，
∴B(−1,0)，
∴OB=1，
∵A(1,4)，
∴△AOB的面积=12×1×4=2．
21.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 三线合一 有一个角是90°的平行四边形是矩形
22.解：(1)∵依题意，得Δ=16−4(2m−1)>0．
∴m<52，
即m的取值范围是m<52．
(2)∵m为正整数，
∴m=1或2，
当m=1时，方程为x2−4x+1=0的根x=2± 3不是整数；
当m=2时，方程为x2−4x+3=0的根x1=1，x2=3，都是整数．
综上所述，m=2．
23.(1)证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB
∴AB=AD，
∵AB=BC，
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形．
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO=DO，
∵DE⊥BC，
∴OE=12BD=2 5，
∴BD=4 5，
∴BE= BD2−DE2= (4 5)2−42=8，
设CE=x，则BC=BE−CE=8−x，
∴CD=BC=8−x，
在Rt△CDE中，CD2=CE2+DE2，
∴(8−x)2=x2+42，
解得：x=3，
∴CE的长为3．
24.解：(1)∵点A(1,a)在直线l1：y=kx+3−k(k>0)上，而直线l1：y=kx+3−k=k(x−1)+3，
∴直线l1：y=kx+3−k经过点(1,3)，
∴a=3；
∵直线l2：y=x+m过点B(2,3)．
∴3=2+m，
∴m=1，
∴直线l2：y=x+1；
(2)把x=−1代入y=x+1，得y=0，
把x=−1，y=0代入y=kx+3−k，得0=−k+3−k，
解得k=32，
∴1≤k≤32时，当x>−1时，对于x的每一个值，函数y=kx+3−k(k>0)的值大于函数y=x+m的值．
25.(1)25.15；
(2)②；
(3)340．
26.（1）4 （2）忆江南 45 （3） ②③
27.(1)证明：∵正方形ABCD，
∴∠ABC=90°，
如图，作AM⊥BE于M，

∵AE=AB，
∴∠BAM=∠EAM=12∠BAE，
∵∠CBF+∠ABF=90°=∠BAM+∠ABF，
∴∠CBF=∠BAM=12∠BAE，
∴∠CBF=12∠BAE；
(2)解：AH=BG+FH，证明如下：
∵正方形ABCD，FG⊥AB，
∴四边形BCFG是矩形，
∴BG=CF，
如图，将△BCF绕着点B逆时针旋转90°到△BAP，连接PF交AH于Q，

由旋转可知∠BAP=90°=∠C，∠BPA=∠BFC，∠FBP=90°，BP=BF，PA=CF=BG，
∴∠BAP+∠BAD=180°，∠BFP=∠BPF=45°，
∴P、A、D三点共线，
设∠CBF=α，则∠BAE=2α，∠BPA=∠BFC=90°−α，
∴∠DAE=90°−∠BAE=90°−2α，∠FPA=∠BPA−∠BPF=45°−α，
∴∠AQP=∠DAE−∠FPA=45°−α=∠FPA，
∴QA=PA=BG，
∵GF//AD，
∴∠QFH=∠FPA=45°−α=∠AQP=∠FQH，
∴FH=QH，
∴AH=QA+QH=BG+FH，
∴AH=BG+FH．
28.（1）E和F
（3） 340≤x<20
20≤x<40
40≤x<60
60≤x≤80
频数
6
10
1
3
前5位的地区
其余20个地区
全部25个地区
平均数
306.8
29.9
n
中位数
270.3
m
28.5
景点
济南园
忆江南
北京园
锦绣谷
路程(km)
1
2
2.5
3