2024-2025学年福建省福州十二中九年级（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年福建省福州十二中九年级（上）开学数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.化简 12的结果是( )
A. 3 2B. 2 3C. 2 6D. 3 3
2.下列计算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 2+ 2=2 2C. 3 2− 2=3D. 3 2÷ 2=3
3.在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB的长为( )
A. 6B. 7C. 4D. 5
4.由下列各组线段围成的三角形中，是直角三角形的是( )
A. 1，2，2B. 2，3，4C. 1， 2， 3D. 2， 2， 3
5.甲、乙、丙、丁四名同学进行1分钟跳绳测试，每人5次1分钟跳绳成绩的平均数都是188个，方差分别是S甲2=0.71，S乙2=0.74，S丙2=0.62，ST2=0.69，则这四名同学1分钟跳绳成绩最稳定的是( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
6.将一元二次方程x(x−9)=−3化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数和常数项分别是( )
A. 9，3B. 9，−3C. −9，−3D. −9，3
7.关于x的一元二次方程kx2−2x−1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A. k>−1B. k−1且k≠0D. k0时，y>−2D. 函数图象经过第二、三、四象限
10.在平面直角坐标系中，点A坐标为(−2,0)，点B坐标为(a,−3a+1)，则A，B之间距离的最小值为( )
A. 12 10B. 74 2C. 5D. 710 10
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.二次根式 x−5有意义，则x的取值范围是______．
12.一组数据为2，1，3，2，则这组数据的方差是______．
13.如图，周长为16菱形ABCD的对角线相交于点O，E为AB的中点，连接OE.则OE的长为______．
14.方程x2−5x+2=0的两个实数根分别是x1，x2，则x1+x2−x1x2的值是______．
15.函数y=kx+b的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b>0的解集是______．
16.如图，平行四边形ABCD中，∠B=60°，AB=4，AD=5，E，F分别是边CD，AD上的动点，且CE=DF，则AE+CF的最小值为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：| 2−2|+ 14×2− (−2)2．
18.(本小题8分)
解下列方程：
(1)2(x−1)2=8；
(2)x2−5x+6=0．
19.(本小题8分)
如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，连接BE，DF，若BE=DF，求证：∠AEB=∠CFD．
20.(本小题8分)
某校为了解学生在学校甲、乙超市的生活消费情况，各随机抽查了20名学生某一周(按周一至周五算)的消费金额(单位：元)，并将数据进行收集、整理和分析.下面给出了部分信息．
a.消费金额的频数分布表如下：
b.乙超市消费金额在70≤x0)的图象相交于点C(a,b)．
(1)当m=1时，求点C的坐标；
(2)y与x的关系式记作函数F，函数F满足：当x≤a时，y=mx−1；当x>a时，y=−x+m．
①若函数F的图象与x轴总有两个不同的交点，求m的取值范围；
②在①的条件下，当m−2≤x≤3m+1时，y的最大值与最小值的差为m+4，求m的值．
25.(本小题8分)
如图1，在正方形ABCD中，点E在边CD上(不与点C，D重合)，AE交对角线BD于点G，GF⊥AE交BC于点F．
(1)求证：AG=FG．
(2)若AB=10，BF=4，求BG的长．
(3)如图2，连接AF，EF，若AF=AE，求正方形ABCD与△CEF的面积之比．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解： 12= 4×3= 22× 3=2 3．
故选：B．
根据二次根式的乘法法则得到 12= 4×3= 22× 3，然后利用二次根式的性质化简即可．
本题考查了二次根式的性质与化简： a2=|a|.也考查了二次根式的乘法．
2.【答案】D
【解析】解：A、 2与 3不属于同类二次根式，不能运算，故A符合题意；
B、2与 2不属于同类二次根式，不能运算，故B不符合题意；
C、3 2− 2=2 2，故C不符合题意；
D、3 2÷ 2=3，故D符合题意；
故选：D．
利用二次根式的加减法的法则及二次根式除法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3.【答案】D
【解析】解：在Rt△ABC中，
AB= AC2+BC2
= 32+42
=5．
故选：D．
利用勾股定理计算得结论．
本题考查了勾股定理，掌握勾股定理的内容是解决本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A、12+22=5≠22，不能构成直角三角形，故本选项不合题意；
B、22+32=13≠42，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、12+( 2)2=3=( 3)2，能构成直角三角形，故本选项合题意；
D、( 3)2+( 2)2=5≠22，不能构成直角三角形，故本选项不合题意．
故选：C．
只要验证较小两边的平方和等于最长边的平方即可判断是直角三角形．
本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形，必须满足较小两边的平方和等于最大边的平方才能做出判断．
5.【答案】C
【解析】解：∵方差分别是S甲2=0.71，S乙2=0.74，S丙2=0.62，ST2=0.69，
∴S乙2>>S甲2>S丁2>S丙2，
∴S丙2最小，
∴四人中成绩最稳定的是丙；
故选：C．
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
6.【答案】D
【解析】解：x(x−9)=−3，
x2−9x+3=0，
所以一次项系数、常数项分别为−9、3，
故选：D．
先化成一元二次方程的一般形式，再根据方程的特点得出一次项系数和常数项即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式，把方程换成一般形式是解此题的关键，注意：说各个项的系数带着前面的符号．
7.【答案】C
【解析】解：∵关于x的一元二次方程kx2−2x−1=0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且Δ=(−2)2−4k×(−1)>0，
解得k>−1且k≠0．
故选：C．
根据一元二次方程的定义和Δ的意义得到k≠0且Δ=(−2)2−4k×(−1)>0，然后解不等式即可得到k的取值范围．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ0时，y−2
【解析】解：由图象可得：当x>−2时，kx+b>0，
所以关于x的不等式kx+b>0的解集是x>−2，
故答案为：x>−2．
观察函数图象得到即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
16.【答案】 61
【解析】解：如图，延长BC到点H，使CH=CD，连接EH，AH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=4，AD=BC=5，AD//BC，
∴∠D=∠ECH，
在△CDF和△HCE中，
CD=HC∠D=∠ECHDF=CE，
∴△CDF≌△HCE(SAS)，
∴CF=HE，
∴AE+CF=AE+HE，
当A、E、H不共线时，AE+HE>AH，
当A、E、H共线时，AE+HE=AH，
∴AE+HE的最小值为AH，
即AE+CF的最小值为AH，
过点A作AG⊥BC于点G，
∴∠AGB=∠AGH=90°，
∵∠B=60°，
∴∠BAG=30°，
∴BG=12AB=2，
∴AG= AB2−BG2= 42−22=2 3，
∵CD=CH=4，
∴BH=BC+CH=9，
∴BH=BC−BG=7，
∴AH= AG2+GH2= 61，
即AE+CF的最小值为 61，
故答案为： 61．
延长BC到点H，使CH=CD，连接EH，AH，结合平行四边形的性质利用SAS证明△CDF≌△HCE，根据全等三角形的性质得出CF=HE，进而求出AE+CF的最小值为AH，过点A作AG⊥BC于点G，解直角三角形求解即可．
此题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
17.【答案】解：原式=2− 2+12×2−2
=2− 2+1−2
=− 2+1．
【解析】先去绝对值，求算术平方根，再算乘法，最后算加减．
本题考查实数的运算，解题的关键式掌握实数运算的相关法则．
18.【答案】解：(1)2(x−1)2=8；
(x−1)2=4；
开方得：x−1=±2，
解得：x1=3，x2=−1；
(2)分解因式得：(x−2)(x−3)=0，
解得：x1=2，x2=3．
【解析】(1)方程利用平方根定义开方即可求出解；
(2)方程利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
19.【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=90°，AB=CD，
在Rt△BAE和RtDCF中，
BE=DFAB=CD，
∴Rt△BAE≌RtDCF(HL)，
∴∠AEB=∠CFD．
【解析】根据矩形的性质得出∠A=∠C=90°，AB=CD，根据全等三角形的判定定理得出Rt△BAE≌RtDCF，再根据全等三角形的性质得出即可．
本题考查了矩形的性质和全等三角形的判定定理和性质定理，能熟记矩形的性质是解此题的关键，注意：矩形的四个角都是直角，矩形的对边相等．
20.【答案】解：(1)m=75×12+85×6+95×220=80(元)，
∵第10和第11个数据为71和73，
∴n=71+732=72(元)，
即表中m的值为80，n的值为72；
(2)500×80×4=160000(元)，
答：估计甲超市一个月(按4周算)的学生消费总金额为160000元．
【解析】(1)结合组中值利用加权平均数的公式计算即可；
(2)用样本估计总体即可．
本题考查频数分布表，中位数，平均数以及样本估计总体，掌握中位数、平均数的定义是正确解答的关键．
21.【答案】(1)解：如图所示，∠BCF即为所求；

(2)证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，AD=BC，AB/​/CD，∠B=∠D=90°，
∴AF/​/CE，
在△ADE和△CBF中，
∠D=∠BAD=BC∠DAE=∠BCF，
∴△ADE≌△CBF(ASA)，
∴DE=BF，
∴CD−DE=AB−BF，
即CE=AF，
∴四边形AECF为平行四边形．
【解析】(1)根据作一个角等于已知角的作法作图即可；
(2)由矩形得到AB=CD，AD=BC，∠B=∠D=90°，AF/​/CE，再证明△ADE≌△CBF得到DE=BF，进而得到CE=AF，即可求证
本题考查了作一个角等于已知角，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，正确作出图形是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设商店购进甲种型号的电视机的单价为x元，购进乙种型号的电视机的单价为y元，
根据题意得：x+2y=47002x+y=4900，
解得x=1700y=1500，
答：商店购进甲种型号的电视机的单价为1700元，购进乙种型号的电视机的单价为1500元；
(2)设获得的总利润为W元，购进甲种型号的电视机m台，
∵购买的甲型电视机的数量不多于乙型电视机数量的2倍，
∴m≤2(60−m)，
解得m≤40，
根据题意得W=(2300−1700)m+(2000−1500)(60−m)=100m+30000，
∵100>0，
∴W随m的增大而增大，
∴m=40时，W取最大值，最大值为100×40+30000=34000(元)，
答：购进甲种型号的电视机40台，才能使该商店销售甲、乙两种不同型号的电视机获得的总利润最大，最大总利润是34000元．
【解析】(1)设商店购进甲种型号的电视机的单价为x元，购进乙种型号的电视机的单价为y元，可得：x+2y=47002x+y=4900，即可解得商店购进甲种型号的电视机的单价为1700元，购进乙种型号的电视机的单价为1500元；
(2)设获得的总利润为W元，购进甲种型号的电视机m台，根据购买的甲型电视机的数量不多于乙型电视机数量的2倍，可得m≤40，而W=(2300−1700)m+(2000−1500)(60−m)=100m+30000，由一次函数性质可得购进甲种型号的电视机40台，才能使该商店销售甲、乙两种不同型号的电视机获得的总利润最大，最大总利润是34000元．
本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．
23.【答案】(1)证明：连接AE，以D为圆心，DB长为半径作圆D，

∵DA=DB=DE，
∴A、E在圆D上，且AB是直径，
∴∠BEA=90°，即AE是BC边上的高；
判定AE是BC边上的高用到的几何知识是：直径所对的圆周角是直角；
(2)解：过点A作AM⊥BC交DE于点N，交BC于点M，则MN=t cm，AM⊥DE，设AM=x cm，则AN=(x−t)cm，

∵S△ABC=S△ADE+S梯形DBCE，即12BC⋅AM=12DE⋅AN+12(DE+BC)⋅MN，
∴12ax=12b(x−t)+12(b+a)t，
∴x=ata−b，
∴BC边上的高AM为ata−bcm．
【解析】(1)以D为圆心，DB长为半径作圆D，连接AE，利用直径所对的圆周角是直角解题即可；
(2)根据S△ABC=S△ADE+S梯形DBCE，得出12BC⋅AM=12DE⋅AN+12(DE+BC)⋅MN，代入相关的量求出结果即可．
本题属于三角形综合题，主要考查了作图的应用和设计，三角形的面积，梯形的面积，熟练运用数形结合的思想解决问题是解答本题的关键．
24.【答案】解：(1)当m=1时，一次函数y=mx−1与y=−x+m为y=x−1与y=−x+1，
∴y=x−1y=−x+1，解得x=1y=0，
∴点C的坐标为(1,0)；
(2)①根据题意，得
b=am−1b=−a+m ，
解得a=1b=m−1，
∴点C坐标为(1,m−1)，
∵函数F的图象与x轴总有两个不同的交点，
∴m−1>0
∴m>1；

②由①得m>l，交点C的横坐标为1，即a=1，
∴m−2>−1，3m+1>4，
∴由图象可知，当x≤a时，即当m−2≤1，且3m+1>1时，即00，
∴x=3m+1时，y最小=−2m−1，
∵当m−2≤x≤3m+1时，y的最大值与最小值的差为m+4，
∴m−1−(−2m−1)=m+4，
解得m=2(符合题意)，
当m−2>1时，即m>3，
∴m−2≤x≤3m+1时，函数F的解析式为y=−x+m，
∵−1l，分两种情况计算，当x≤a时，即当m−2≤1时和当m−2>1时，即m>3，分别计算出最大值和最小值，根据题目条件中差为m+4，计算解答即可．
本题考查了两直线的交点，一次函数图象与系数的关系，一次函数与一元一次方程组和一元一次不等式组之间的内在联系，解题关键是熟练掌握以上知识点．
25.【答案】证明：(1)连接GC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，∠ABD=∠CBD=45°，
又∵BG=BG，
∴△ABG≌△CBG(SAS)，
∴AG=CG，∠BAG=∠BCG，
∵∠ABC+∠BAG+∠AGF+∠BFG=360°，且∠ABC=∠AGF=90°，
∴∠BAG+∠BFG=180°，
∴∠BCG+∠BFG=180°，
∵∠BFG+∠GFC=180°，
∴∠BCG=∠GFC，
∴GC=GF，
∴AG=FG；
(2)如图2，过点G作GH⊥BC于H，
∵AB=10，BF=4，
∴AF2=AB2+BF2=AG2+GF2，
∴GF2=58，
∵∠DBC=45°，GH⊥BC，
∴BH=GH，BG= 2GH，
∵GF2=GH2+FH2，
∴58=GH2+(GH−4)2，
∴GH=7，(负值舍去)，
∴BG=7 2；
(3)如图，在AB上截取BF=BN，连接NF，
∵AG=GF，AG⊥GF，
∴∠EAF=45°，
∵AE=AF，AB=AD，∠ABF=∠ADE=90°，
∴Rt△ABF≌Rt△ADE(HL)，
∴∠BAF=∠DAE=22.5°，BF=DE，
∴CF=CE，
∵BF=BN，∠ABC=90°，
∴NF= 2BF，∠BNF=∠BFN=45°，
∴∠BAF=∠AFN=22.5°，
∴AN=NF= 2BF，
∵AB=BC，
∴BN+AN=BF+FC，
∴FC= 2BF，
∴BC=( 2+1)BF，
∴正方形ABCD与△CEF的面积之比=BC2：12FC2=3+2 2．
【解析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线是本题的关键．
(1)连接GC，由“SAS”可证△ABG≌△CBG，可得AG=CG，∠BAG=∠BCG，由四边形内角和定理可证∠BCG=∠GFC，可得GC=GF=AG；
(2)过点G作GH⊥BC于H，利用勾股定理可求GH的长，即可求解；
(3)在AB上截取BF=BN，连接NF，由“HL”可证Rt△ABF≌Rt△ADE，可得∠BAF=∠DAE=22.5°，BF=DE，可得FC= 2BF，BC=( 2+1)BF，即可求解．消费金额x/元
50≤x