2024-2025学年广东省深圳市龙岗外国语学校（集团）新亚洲学校九年级（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年广东省深圳市龙岗外国语学校（集团）新亚洲学校九年级（上）开学数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.3是下列哪个不等式的解( )
A. x+3>0B. x+30D. x−5>0
3.对多项式4x2−1进行因式分解，正确的是( )
A. 4x2−1=(x+1)(x−1)B. 4x2−1=(2x+1)(2x−1)
C. 4x2−1=(4x+1)(4x−1)D. 4x2−1=(1+2x)(1−2x)
4.分式31−x与2x互为相反数，则x的值为( )
A. 1B. −1C. −2D. −3
5.在△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，则∠A=( )
A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°
6.已知在一定温度下，某气体对气缸壁所产生的压强p(kPa)与汽缸内气体的体积V(ml)满足关系：p=6000V.通过对汽缸顶部的活塞加压，当汽缸内气体的体积减少20%时，测得气体对气缸壁所产生的压强增加15kPa.设加压前汽缸内气体的体积为x(ml)，则可列方程为( )
A. 60000.8x−6000x=15B. 6000x−60000.8x=15
C. 60001.2x−6000x=15D. 6000x−60001.2x=15
7.如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AB，CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD=a，S△BQC=b，S▱ABCD=c，则阴影部分的面积为( )
A. a+bB. 12c−a−bC. c−2a−bD. 2a+b
8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为BC边上一点，CD=1，E为AC边上一动点，连接DE，以DE为边并在DE的右侧作等边△DEF，连接BF，则BF的最小值为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 3
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.分解因式：xy2−x2y= ______．
10.化简(x2x−3+93−x)÷x+32x的结果是______．
11.如图，直线y=ax+b与直线y=mx+n的图象如图所示，则关于x的不等式mx+n>ax+b的解集为______．
12.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD=6cm，BC=10cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒.当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，t= ______．
13.如图，在三角形△ABC中，∠A=45°，AB=8，CD为AB边上的高，CD=6，点P为边BC上的一动点，P1，P2分别为点P关于直线AB，AC的对称点，连接P1P2，则线段P1P2长度的取值范围是______．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题8分)
解方程：(1)1x+1=4x−2；
(2)2−xx−3+3=23−x．
15.(本小题8分)
先因式分解，再计算求值：
4x(m−2)−3x(m−2)2，其中x=1.5，m=6．
16.(本小题8分)
如图，在边长为1的小正方形方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上.将△ABC使点A变换为点A′，点B′、C′分别是B、C的对应点．
(1)请在图中画出平移后的△A′B′C′；
(2)求△A′B′C′的面积．
17.(本小题8分)
为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地.现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：
信息一
信息二
(1)求x的值；
(2)该工程计划先由乙工程队单独施工若干天，再由甲工程队单独继续施工，两队共施工20天，体育中心需要支付施工费用不超过45000元，则乙工程队至少施工多少天．
18.(本小题8分)
如图直线：y1=kx+b经过点A(−6,0)，B(−1,5)．
(1)求直线AB的表达式；
(2)若直线y2=−2x−3与直线AB相交于点M，求点M的坐标；
(3)根据图象，直接写出关于x的不等式kx+b>−2x−3≥0的解集．
19.(本小题8分)
阅读下面的材料，然后解答问题：
我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．
(1)理解并填空：
①根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？______(填“是”或“不是”)
②若某三角形的三边长分别为1、 7、2，则该三角形______(填“是”或“不是”)奇异三角形．
(2)探究：在Rt△ABC，两边长分别是a、c，且a2=50，c2=100，则这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．
20.(本小题8分)
【特例感知】
(1)如图1，△AOB和△COD是等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，点C在OA上，点D在BO的延长线上，连接AD，BC，线段AD与BC的数量关系是______；
【类比迁移】
(2)如图2，将图1中的△COD绕着点O顺时针旋转α(0°−3，正确．
B：x+33，错误．
D：x−5>0，x>5.错误．
故选：A．
先解出不等式的解集，即可作出判断．
解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
3.B
【解析】解：4x2−1=(2x+1)(2x−1)．
故选：B．
利用平方差公式对各选项进行判断．
本题考查了因式分解−公式法：灵活运用平方差公式是解决问题的关键．
4.C
【解析】解：由题意得31−x+2x=0，
去分母3x+2(1−x)=0，
解得x=−2．
经检验得x=−2是原方程的解．
故选：C．
根据互为相反数的两个数的和为零，可得关于x的分式方程，解分式方程即可．
本题考查了相反数的意义及解分式方程，记忆解分式方程的步骤是解题关键．结果要检验．
5.B
【解析】解：在△ABC中，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠B=2∠A，
∴∠A+∠B=∠A+2∠A=90°，
∴∠A=30°，
故选：B．
直接利用三角形内角和定理即可得到结论．
此题主要考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形的性质是解题关键．
6.A
【解析】解：根据题意，得60000.8x−6000x=15．
故选：A．
设加压前汽缸内气体的体积为x ml，则对汽缸顶部的活塞加压后气体的体积为0.8x ml，根据已知关系式和“气体对气缸壁所产生的压强增加15kPa”列出方程，此题得解．
本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程的应用，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
7.B
【解析】解：连接EF，过点E作EM⊥DC于点M，
∵S△DEC=12DC⋅EM，S▱ABCD=DC⋅EM=c，
∴S△DEC=12c，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，
∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等，
∴S△EFC=S△BCF，
∴S△EFQ=S△BCQ，
同理：S△EFD=S△ADF，
∴S△EFP=S△ADP，
∵S△APD=a，S△BQC=b，
∴S四边形EPFQ=a+b，
故阴影部分的面积=S△DEC−S四边形EPFQ=12c−a−b．
故选：B．
根据平行四边形的面积与三角形的面积公式可得三角形EDC的面积，连接EF，由三角形的面积公式我们可以推出S△EFQ=S△BCQ，S△EFD=S△ADF，所以S△EFQ=S△BCQ，S△EFP=S△ADP，因此可以推出四边形EPFQ的面积就是S△APD+S△BQC.再根据阴影部分的面积=S△DEC−S四边形EPFQ即可得出答案．
本题主要考查平行四边形的性质，三角形的面积，解题的关键在于求出各三角形之间的面积关系．
8.B
【解析】解：以BD为边，在BD右侧作等边三角形BDM，连接EM，如图：
∵△BDM和△DEF是等边三角形，
∴DE=DF，DM=BD，∠BDM=∠FDE=60°，
∴∠BDM−∠MDF=∠FDE−∠MDF，即∠BDF=∠MDE，
∴△BDF≌△MDE(SAS)，
∴BF=ME，
∴当ME最小时，BF最小，此时ME⊥AC，如图：
过M作MN⊥BC于N，
∵BC=3，CD=1，
∴BD=2，
∴ND=12BD=1，NC=2，
而∠MNC=∠NCE=∠CEM=90°，
∴四边形MNCE是长方形，
∴ME=NC=2，
而BF=ME，
∴BF最小值是2．
故选：B．
以BD为边，在BD右侧作等边三角形BDM，连接EM，证明△BDF≌△MDE(SAS)，可得BF=ME，故当ME最小时，BF最小，此时ME⊥AC，过M作MN⊥BC于N，即可得ME=NC=2，从而知BF最小值是2．
本题考查直角三角形及等边三角形的综合应用，涉及动点问题，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，把求BF最小值问题转化为求EM最小值．
9.xy(y−x)
【解析】解：xy2−x2y=xy(y−x)．
故答案为：xy(y−x)．
直接提取公因即可．
本题考查了分解因式，能选择适当的方法分解因式是解此题的关键，注意：因式分解的方法有直接提公因式法，公式法，十字相乘法等．
10.2x．
【解析】解：(x2x−3+93−x)÷x+32x
=x2−9x−3⋅2xx+3
=(x+3)(x−3)x−3⋅2xx+3
=2x，
故答案为：2x．
先通分化简括号内的分式，再将除法运算转化为乘法运算即可求解．
本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
11.x>−3
【解析】解：由函数图象可知，
当x>−3时，一次函数y=mx+n的图象在一次函数y=ax+b图象的上方，即mx+n>ax+b，
所以关于x的不等式mx+n>ax+b的解集为：x>−3．
故答案为：x>−3．
根据所给函数图象，利用数形结合的数学思想即可解决问题．
本题主要考查了一次函数与一元一次不等式及一次函数的图象，熟知一次函数与一元一次不等式之间的关系及巧用数形结合的数学思想是解题的关键．
12.103或2或4
【解析】解：设t秒后四边形ABQP是平行四边形，
由题意得，AP=t cm，CQ=2t cm，
则BQ=(10−2t)cm，
∵AD/​/BC，
∴当AP=BQ时，四边形ABQP是平行四边形，
∴t=10−2t，
解得t=103，
即103秒时四边形ABQP是平行四边形；
当四边形DCQP是平行四边形，
则PD=(6−t)cm，
∵AD/​/BC，
∴当PD=CQ时，四边形DCQP是平行四边形，
∴2t=6−t，
解得t=2，
当PD=BQ时，10−2t=6−t，
解得t=4，
∴103或2或4秒时，直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形，
故答案为：103或2或4．
设t秒后四边形ABQP是平行四边形，由题意得AP=t cm，CQ=2t cm，由AP=BQ列方程求解即可；当四边形DCQP是平行四边形，由题意得AP=t cm，CQ=2t cm，由PD=CQ或PD=BQ列方程求解即可．
本题考查平行四边形的判定与性质、解一元一次方程，熟练掌握平行四边形的判定方法，并能进行推理计算是解决问题的关键．
13.12 105≤P1P2≤12
【解析】解：如图，连接AP1，AP，AP2，作AH⊥BC于H．
∵P1，P2分别为点P关于直线AB，AC的对称点，
∴AP=AP1=AP2，∠PAB=∠BAP1，∠PAC=∠CAP2，
∵∠BAC=45°，
∴∠P1AP2是等腰直角三角形，
∴P1P2= 2AP2= 2PA．
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，∠DAC=∠DCA=45°，
∴AD=DC=6，
∴AC=4 2>AB，
∵AB=8，
∴BD=2，BC= BD2+CD2= 4+36=2 10，
∵S△ABC=12⋅BC⋅AH=12⋅AB⋅CD，
∴AH=8×62 10=125 10，
∵12 55≤PA≤6 2，
∴12 105≤P1P2≤12．
故答案为12 105≤P1P2≤12．
如图，连接AP1，AP，AP2，作AH⊥BC于H.证明△P1AP2是等腰直角三角形，推出P1P2= 2PA，求出PA的取值范围即可解决问题．
本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是证得△AMN是等腰直角三角形．
14.解：(1)1x+1=4x−2，
方程两边同乘(x+1)(x−2)，得x−2=4(x+1)，
解得x=−2，
检验：当x=−2时，(x+1)(x−2)≠0，
所以分式方程的解是x=−2；
(2)2−xx−3+3=23−x，
方程可化为2−xx−3+3=−2x−3，
方程两边同乘x−3，得2−x+3(x−3)=−2，
解得x=52，
检验：当x=52时，x−3≠0，
所以分式方程的解是x=52．
【解析】(1)方程两边同乘(x+1)(x−2)，将分式方程化为整式方程求解即可；
(2)方程两边同乘x−3，将分式方程化为整式方程求解即可．
本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
15.解：原式=(m−2)[4x−3x(m−2)]=4×[6−4.5×4]=−48．
【解析】先提取m−2后代入求值即可；
此题考查了因式分解的应用，解题的关键是能够确定该多项式的公因式，难度不大．
16.解：(1)如图所示，△A′B′C′即为所求；
(2)△A′B′C′的面积=2×4−12×4×1−12×2×1−12×2×2=3．
【解析】(1)根据点A与点A′的位置变换确定平移的方向与距离，再利用网格特点作出B、C的对应点B′、C′即可得到结论；
(2)然后利用矩形的面积减去直角三角形的面积去计算△A′B′C′的面积．
本题考查了作图−平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．也考查了三角形的面积．
17.解：(1)根据题意得：1500x+200=900x，
解得：x=300，
经检验，x=300是所列方程的解，
∴x的值是300；
(2)设乙工程队单独施工m天，2000m+3000(20−m)≤45000，
解得：m≥15，
答：乙工程队至少施工15天．
【解析】(1)根据甲工程队施工1500m2所需天数与乙工程队施工900m2所需天数相等，列出分式方程，解方程并检验，即可求解；
(2)设乙工程队单独施工m天，根据题意列出不等式，解不等式即可求解．
本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用；找到等量关系是关键．
18.解：(1)∵y1=kx+b经过点A(−6,0)，B(−1,5)．
∴−6k+b=0−k+b=5，
解得k=1b=6，
∴直线AB的表达式为y1=x+6；
(2)联立y=x+6y=−2x−3，
解得x=−3y=3，
∴点M的坐标为(−3,3)；
(3)把y=0代入y=−2x−3，
可得−2x−3=0，
解得x=−1.5，
观察图象，关于x的不等式kx+b>−2x−3≥0的解集为−3