2024-2025学年广东省深圳外国语学校九年级（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省深圳外国语学校九年级（上）开学数学试卷（含答案），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.式子x3+yx，12(m+n)，1a，2xπ−1，m−nm+n，15−πR2y中，分式有( )个
A. 6B. 5C. 4D. 3
2.如图，△ABC中，∠A=65°，AB=6，AC=3，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不构成相似的是( )
A. B.
C. D.
3.两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好.若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是( )
A. (20−x)2=20xB. x2=20(20−x)C. x(20−x)=202D. 以上都不对
4.根据下表确定方程x2−bx−5=0的解的取值范围是( )
A. −2C. −35.在平面直角坐标系中，若直线y=2x+a不经过第二象限，则关于x的方程ax2+2x+1=0的实数根的个数为( )
A. 0个B. 0或1个C. 2个D. 1或2个
6.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A(0,3)，D(1,0)，点C落在x轴的正半轴上，点B落在第一象限内，按以下步骤作图：
①以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交DA，DC于点E，F；
②分别以E，F为圆心，大于12EF的长为半径作弧，两弧在∠ADC内交于点G；
③作射线DG，交边AB于点H；
则点H的坐标为( )
A. ( 10,3)B. (−3,3)C. (3,3)D. ( 10−1,3)
7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，正方形CDEF的顶点E在线段AD上，G是边EF上一点，连接AG，记△AEG面积为S1，△CBD面积为S2，若EG=BD，S1+S2=16，则DE的长为( )
A. 4 2B. 8 2C. 4D. 8
8.如图，在平面直角坐标系中，直线y=−2x+6分别与x轴，y轴交于A，B两点，将直线AB绕点A逆时针旋转45°得到直线AC，过点B作BD⊥AC于点D，则点D的坐标是( )
A. (−1,1)
B. (−32,32)
C. (−53,53)
D. (−52,52)
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.分解因式：x2−3x−4= ______．
10.若分式方程4(x+1)(x−1)−ax−1=1有增根，则它的增根是______．
11.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2,0).P是第一象限内任意一点，连接PO，PA.若∠POA=m°，∠PAO=n°，则我们把P(m°,n°)叫做点P的“角坐标”.若点P的坐标为(2,2 3)，则点P的“角坐标”为______；
12.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点D从点C开始沿CA边运动，速度为1cm/s，与此同时，点E从点B开始沿BC边运动，速度为2cm/s，当点E到达点C时，点D同时停止运动，连接AE，设运动时间为t s，△ADE的面积为S.当S=18S△ABC时，t= ______．
13.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG，H是CD的中点，连接GH，则GH的最小值为______．
三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题6分)
先化简：(a2−3a−3−a)÷a−1a2−6a+9，然后从不等式组7−2x>−1x−1≥0的整数解中选一个合适的数作为a的值，代入求值．
15.(本小题8分)
随着快递行业在农村的深入发展，全国各地的特色农产品有了更广阔的销售空间.不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势，某农产品种植户经过前期调研，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作.为此，该种植户收集了10家农产品种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：

配送速度和服务质量得分统计表
(1)补全频数分布直方图，扇形统计图中圆心角α的度数是______；
(2)表格中的m= ______；s甲2 ______s乙2(填“>”“=”或“<”)；
(3)如果A，B，C三家农产品种植户分别从甲、乙两个快递公司中任选一个公司合作，求三家种植户选择同一快递公司的概率．
16.(本小题8分)
如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE//AC，且DE=12AC，连接AE，CE．
(1)求证：四边形OCED为矩形；
(2)若菱形ABCD的边长为4，∠BCD=60°，求AE的长．
17.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠D=90°，过点A作AE⊥BC于点E，AB=5，BC=7，BE=3.动点P从点B出发，沿B→A→D运动，到达点D时停止运动.设点P的运动路程为x，△APE的面积为y1．
(1)请直接写出y1与x之间的函数关系式以及对应的x的取值范围；
(2)请在直角坐标系中画出y1的图象，并写出函数y1的一条性质；
(3)若直线y2的图象如图所示，结合你所画y1的函数图象，直接写出当y1>y2时x的取值范围.(保留一位小数，误差不超过0.2)
18.(本小题10分)
根据以下素材，完成探索任务．
19.(本小题10分)
定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．
(1)如图1，在△ABC中，AB=BC，BD是∠ABC的角平分线，E，F分别是AD，BD上的点.求证：四边形ABEF是邻余四边形．
(2)如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．
(3)如图3，在(1)的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点P，延长EF交BC于点N.若CN=2BN，CD=4AE，AP=4，求邻余线AB的长．
20.(本小题11分)
如图，在菱形ABCD中，∠BCD是锐角，E是BC边上的动点，将射线DE绕点D按顺时针方向旋转，交直线AB于点F．
(1)当DE⊥BC，∠EDF=∠BCD时，
①求证：DE=DF；
②连结AC，EF，若EFAC=34，直接写出S△DEFS菱形ABCD= ______；
(2)当∠EDF=12∠ADC时，延长CB交射线DF于点M，延长AB交射线DE于点N，连结BD，MN，若CD=6，BD=3，则当△DMN是等腰三角形时，CE的值为______.(直接写出)
参考答案
1.C
2.C
3.A
4.A
5.D
6.A
7.A
8.B
9.(x+1)(x−4)
10.x=1
11.(60°,90°)
12.3
13. 2
14.解：原式=a2−3−a(a−3)a−3⋅(a−3)2a−1
=a2−3−a2+3aa−3⋅(a−3)2a−1
=3(a−1)a−3⋅(a−3)2a−1
=3(a−3)
=3a−9，
解不等式组7−2x>−1x−1≥0得1≤x<4，
∴不等式组的整数解为1、2、3，
∵a−3≠0且a−1≠0，
∴a=2，
当a=2时，原式=3×2−9=−3．
15.(1)甲快递公司配送速度得分为(9分)的频数为10−2−3−1−1=3(人)．
补全频数分布直方图如图所示．
扇形统计图中圆心角α的度数是360°×(1−10%−40%−20%−10%)=72°．
(2)7.5；<．
(3)画树状图如下：
共有8种等可能的结果，其中三家种植户选择同一快递公司的结果有2种，
∴三家种植户选择同一快递公司的概率为28=14．
16.(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=OC=12AC，
∴∠DOC=90°，
∵DE//AC，DE=12AC，
∴DE=OC，DE//OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵∠DOC=90°，
∴平行四边形OCED是矩形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BC=CD=4，OB=OD，AO=OC=12AC，
∵∠BCD=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD=BC=4，
∴OD=OB=2，
∴OC= CD2−OD2= 42−22=2 3，
∴AC=2OC=4 3，
由(1)得：四边形OCED为矩形，
∴CE=OD=2，∠OCE=90°，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE= AC2+CE2= (4 3)2+22=2 13，
即AE的长为2 13．
17.解：∵∠D=90°，AD//CE，
则CD⊥CE，
即∠C=90°=∠D=∠AEC，
则四边形AECD为矩形，
在Rt△ABE中，AB=5，BE=3，则AE=4=AD，
则矩形AECD为边长为4的正方形；
(1)当点P在AB上运动时，
过点P作PH⊥AE于点H，

则y1=12×AE×PH=12×4×AP×sin∠BAE=2×(5−x)×35=−65x+6(0≤x≤5)，
当点P在AD上运动时，
同理可得：y1=2x−10(5即y1=−65x+6(0≤x≤5)2x−10(5(2)当x=0时，y1=6，当x=5时，y1=0，当x=9时，y1=8；
将上述坐标描点连线绘制图象如下：

从图象看，当0≤x≤5时，y1随x的增大而减小，当5(3)从图象看，当y1>y2时x的取值范围为：0≤x<3.3或7.218.解：(1)根据题意得：5≤x≤12，
(2)根据题意得：(300−2x)(200−2×2x)=44800，
整理得：x2−200x+1900=0，
解得：x1=10，x2=190(不符合题意，舍去)，
∵5≤x≤12，
∴路面设置的宽度符合要求；
(3)设每平方米草莓平均利润下调y元，
(100−y)(5000+500×y4)−20000=552000，
整理得：y2−60y+576=0．
解得：y1=12，y2=48，
又∵要让利于顾客，
∴y=48．
答：每平方米草莓平均利润下调48元．
19.(1)证明：∵AB=AC，BD是∠ABC的角平分线，
∴BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠DBA=90°，
∴∠FBA与∠EAB互余，
∴四边形ABFE是邻余四边形；
(2)解：如图所示(答案不唯一)，

四边形ABEF为所求；
(3)解：∵AB=AC，BD是∠ABC的角平分线，
∴AD=CD，
∵CD=4AE，
∴AD=CD=4AE，
∴DE=AD−AE=3AE，
∴CE=CD+DE=7AE，
∵∠EDF=90°，点M是EF的中点，
∴DM=ME，
∴∠MDE=∠MED，
∵AB=AC，
∴∠A=∠C，
∴△ADP∽△CEN，
∴APCN=ADCE=4AE7AE=47，
∵AP=4，
∴CN=7，
∵CN=2BN，
∴BN=3.5，
∴BC=BN+CN=3.5+7=10.5，
∴AB=BC=10.5．
20.(1)①证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠ABC=∠ADC，AD//BC，
∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
∴∠ABE+∠BAE=∠EAF+∠DAF=90°，
∵∠EAF=∠ABC，
∴∠BAE=∠DAF，
∴△ABE≌△ADF(ASA)，
∴AE=AF；
②解：连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=DC，AC⊥BD，
由①知，△ABE≌△ADF，
∴BE=DF，
∴CE=CF，
∵AE=AF，
∴AC⊥EF，
∴EF//BD，
∴△CEF∽△CBD，
∴ECBC=EFBD=35，
设EC=3a，则AB=BC=5a，BE=BC−CE=2a，
∴AE= AB2−BE2= (5a)2−(2a)2= 21a，
∵AEAB=AFBC，∠EAF=∠ABC，
∴△AEF∽△BAC，
∴S△AEFS△BAC=(AEAB)2=( 21a5a)2=2125，
∴S△AEFS菱形ABCD=S△AEF2S△BAC=12×2125=2150，
(2)解：如图：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC=12∠BAD，
∵∠EAF=12∠BAD，
∴∠BAC=∠EAF，
∴∠BAE=∠CAM，
∵AB/​/CD，
∴∠BAE=∠ANC，
∴∠ANC=∠CAM，
同理：∠AMC=∠NAC，
∴△MAC∽△ANC，
∴ACCN=AMNA，
△AMN是等腰三角形有三种情况：
①当AM=AN时，
∵∠ANC=∠CAM，AM=AN，∠AMC=∠NAC，
∴△ANC≌△MAC(ASA)，
∴CN=AC=2，
∵AB//CN，
∴△CEN∽△BEA，
∴CEBE=CNAB=23，
∵BC=AB=3，
∴CE=25BC=65；
②当NA=NM时，
则∠NMA=∠NAM，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
∵∠BAC=∠EAF，
∴∠NMA=∠NAM=∠BAC=∠BCA，
∴△ANM∽△ABC，
∴AMAN=ACAB=23，
∴ACCN=AMNA=23，
∴CN=32AC=3=AB，
∴△CEN≌△BEA(AAS)，
∴CE=BE=12BC=32；
③65或32或1213．
x
−3
−2
−1
…
4
5
6
x2−bx−5=0
13
5
−1
…
−1
5
13
项目统计量快递公司
配送速度得分
服务质量得分
平均数
中位数
平均数
方差
甲
7.8
m
7
s甲2
乙
8
8
7
s乙2
探索果园土地规划和销售利润问题
素材1
其农户承包了一块长方形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中AB=200米，BC=300米.准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果．
出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米．
素材2
该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果.若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调4元，每月可多销售500平方米草莓，果园每月的承包费为2万元．
问题解决
任务1
解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．
(1)请直接写出纵向道路宽度x的取值范围．
(2)若中间种植的面积是44800m2，则路面设置的宽度是否符合要求．
任务2
解决果园种植的预期利润问题．
(总利润=销售利润−承包费)
(3)若农户预期一个月的总利润为55.2万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？