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2024-2025学年河北省张家界、保定市等部分高中高二上学期开学考试数学试题（含答案）
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这是一份2024-2025学年河北省张家界、保定市等部分高中高二上学期开学考试数学试题（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若集合A={1,2,3,4}，B={x|x+2∈A}，则A∩B=
A. {1}B. {1,2}C. {1,3}D. {1,2,3}
2.已知函数f(x)=x2−5x+4，则“x≥4”是“f(x)≥0”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.若f(x)=(x−2a)⋅ex−e−xex+e−x是偶函数，则a=
A. 12B. −12C. 1D. 0
4.若{a,b,c}是空间的一个基底，则下列向量不共面的为
A. a，b，a+2bB. a，a+b，a+c
C. a，a−c，cD. b+c，a+c，a+b+2c
5.已知平面α的一个法向量为n=(2,2,−1)，点M在α外，点N在α内，且MN=(−1,4,−3)，则点M到平面α的距离d=
A. 1B. 2C. 3D. 4
6.续航能力关乎无人机的“生命力”，太阳能供能是实现无人机长时续航的重要路径之一．某大学科研团队利用自主开发的新型静电电机，成功研制出仅重4.21克的太阳能动力微型无人机，实现纯自然光供能下的持续飞行．为激发同学们对无人机的兴趣，某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，8名参赛学生的成绩依次为65，95，75，70，95，85，92，80，则这组数据的上四分位数(也叫第75百分位数)为
A. 93B. 92C. 91.5D. 93.5
7.某人忘记了一位同学电话号码的最后一个数字，但确定这个数字一定是奇数，随意拨号，则拨号不超过两次就拨对号码的概率为
A. 15B. 25C. 35D. 920
8.已知正数a，b满足a+2b=2，则a2+4b2+8a+2ab的最小值为
A. 10B. 12C. 14D. 16
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数z=12+ 32i，则下列命题正确的是
A. z的虚部是− 32i
B. z+z=|z|
C. z2+z=0
D. 复平面内z与z分别对应的两点之间的距离为1
10.将函数f(x)=2sinx+π6图象所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则
A. fx+π3为偶函数
B. g(x)的最小正周期为4π
C. f(x)与g(x)在π3,2π3上均单调递减
D. 函数y=f(x)−g(x)在[0,2π]上有5个零点
11.已知厚度不计的容器是由半径为2 m，圆心角为π2的扇形以一条最外边的半径为轴旋转π2得到的，下列几何体中，可以放入该容器中的有( )
A. 棱长为1.1 m的正方体B. 底面半径和高均为1.9 m的圆锥
C. 棱长均为2 m的四面体D. 半径为0.75 m的球
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.sin2105°−sin 15°cs 15°= ．
13.在所有棱长均相等的正三棱柱ABC−A1B1C1中，D是A1B1的中点，AF=23AA1，CE=13CC1，则异面直线BD，EF所成角的余弦值为 ．
14.在△ABC中，点D在BC边上，BC=2，∠BAD=∠CAD，AB·AC=AD·AB+AC·AD，则△ABC的外接圆的半径为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
某高中为了解本校高二年级学生的体育锻炼情况，随机抽取100名学生，统计他们每天体育锻炼的时间，并以此作为样本，按照[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．已知样本中体育锻炼时间在[50,60)内的学生有10人．
(1)求频率分布直方图中a和b的值；
(2)估计样本数据的中位数和平均数(求平均数时，同一组中的数据以该组区间的中点值为代表)．
16.(本小题12分)
小明和小王两名同学组成诗词挑战杯代表队参加市相关部门组建的猜诗词大会，每轮挑战由小明、小王各猜一句诗词，已知小明每轮猜对的概率为45，小王每轮猜对的概率为56.在每轮活动中，小明和小王猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
(1)求小明在两轮活动中恰好猜对1句诗词的概率；
(2)求诗词挑战杯代表队在两轮活动中猜对3句诗词的概率．
17.(本小题12分)
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且csAa= 3csB2c− 3b．
(1)求A；
(2)若D为线段BC上一点，且DC=2BD，AD=2，求△ABC面积的最大值．
18.(本小题12分)
在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=1，点E，F，G分别在棱BB1，CC1，DD1上，且A，E，F，G四点共面，∠BAE=α，∠DAG=β．
(1)若AE=AG，记平面AEFG与底面ABCD的交线为l，证明：BD // l．
(2)若α+β=π4，记四边形AEFG的面积为S，求S的最小值．
19.(本小题12分)
给定平面上一个图形D，以及图形D上的点P1，P2，…，Pn，如果对于D上任意的点P，i=1n|PPi|2为与P无关的定值，我们就称P1，P2，…，Pn为关于图形D的一组稳定向量基点．
(1)已知P1(0,0)，P2(2,0)，P3(0,2)，△P1P2P3为图形D，判断点P1，P2，P3是不是关于图形D的一组稳定向量基点；
(2)若图形D是边长为2的正方形，P1，P2，P3，P4是它的4个顶点，P为该正方形上的动点，求P1P2+P2P3+P3P4−P1P的取值范围；
(3)若给定单位圆E及其内接正2024边形P1P2…P2024，P为该单位圆上的任意一点，证明P1，P2，…，P2024是关于圆E的一组稳定向量基点，并求i=12024PPi2的值．
参考答案
1.B
2.A
3.D
4.B
5.C
6.D
7.B
8.C
9.BC
10.ACD
11.AC
12.1+ 34
13.7 220
14.2 33
15.解：(1)由题意可知，学生每天体育锻炼的时间在[50,60)内的频率为10100=0.1，
则a=0.110=0.01，
由各组频率之和为1，可知(0.005+0.01+b+0.025×2+0.005)×10=1，解得b=0.03．
(2)前3组的频率之和为(0.005+0.01+0.03)×10=0.45<0.5，
前4组的频率之和为0.45+0.025×10=0.7>0.5，
所以样本数据的中位数在第4组，设为x，
所以0.45+(x−70)×0.025=0.5，解得x=72，
估计样本数据的中位数是72分钟．
估计平均数是(45+95)×0.05+55×0.1+65×0.3+(75+85)×0.25=72分钟.
16.解：(1)设A1表示小明两轮猜对1句诗词的事件，则P(A1)=45×15+15×45=825．
(2)设A1，A2分别表示小明两轮猜对1句、2句诗词的事件，B1，B2分别表示小王两轮猜对1句、2句诗词的事件，则P(A1)=825，P(A2)=(45)2=1625，
P(B1)=56×16+16×56=518，P(B2)=(56)2=2536．
设事件A=“两轮活动中诗词挑战杯代表队猜对3句诗词”，则A=A1B2∪A2B1，且A1B2与A2B1互斥，A1与B2，A2与B1分别相互独立，
所以P(A)=P(A1B2)+P(A2B1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=825×2536+1625×518=25，即诗词挑战杯代表队在两轮活动中猜对3句诗词的概率是25．
17.解：(1)由题知csAa= 3csB2c− 3b，
由正弦定理得csAsinA= 3csB2sinC− 3sinB，
则2sinCcsA− 3sinBcsA= 3sinAcsB，
化简得2sinCcsA= 3sin(A+B)= 3sinC，
∴csA= 32．
∵A∈(0,π)，∴A=π6．
(2)由题设知AD=23AB+13AC，
∴AD2=49AB2+19AC2+49AB⋅AC，
可得4=49|AB|2+19|AC|2+49|AB|⋅|AC|csA≥2 49|AB|2⋅19|AC|2+2 39|AB|⋅|AC|，
∴36≥(4+2 3)(|AB|⋅|AC|)，
∴|AB|⋅|AC|≤36−18 3，
∴S△ABC=12|AB|⋅|AC|sinA≤9−9 32，
故△ABC面积的最大值为9−9 32．
18.(1)证明：连接EG，因为AE=AG，AB=AD，∠ABE=∠ADG=90∘，
所以△ABE≌△ADG，则BE=DG．
在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，易知BE//DG，
所以四边形BDGE是平行四边形，从而BD//GE．
又BD⊄平面AEFG，所以BD//平面AEFG．
又BD⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AEFG=l，所以BD//l.
(2)解：易证四边形AEFG为平行四边形，
以A为坐标原点，AB，AD，AA1的方向分别为x，y，z轴的正方向，
建立空间直角坐标系，如图所示，E(1,0,tanα)，G(0,1,tanβ)，
则AE=(1,0,tanα)，AG=(0,1,tanβ)，
cs∠EAG=AE⋅AG|AE||AG|=tanαtanβ (1+tan2α)(1+tan2β)，
S=|AE||AG|sin∠EAG= (1+tan2α)(1+tan2β)× 1−cs2∠EAG，
化简可得S= 1+tan2α+tan2β．
因为α+β=π4，所以tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=1，
整理得tanα+tanβ=1−tanαtanβ，
由tanα+tanβ=1−tanαtanβ≥2 tanαtanβ，tanα，tanβ∈(0,1)，
可得0S= 1+(tanα+tanβ)2−2tanαtanβ= 2−4tanαtanβ+tan2αtan2β，
易知f(x)=x2−4x+2在(0,3−2 2]上单调递减，
所以当tanαtanβ=3−2 2时，Smin= 7−4 2，
当且仅当tanα=tanβ= 2−1时，S取得最小值 7−4 2．
19.解：(1)点P1(0,0)，P2(2,0)，P3(0,2)不是关于D的一组稳定向量基点，
理由如下：当P与P1(0,0)重合时，有|PP1|2+|PP2|2+|PP3|2=8，
当P与P2(2,0)重合时，有|PP1|2+|PP2|2+|PP3|2=12≠8，
故P1(0,0)，P2(2,0)，P3(0,2)不是关于D的一组稳定向量基点．
(2)因为P1P2+P2P3+P3P4−P1P=P1P4−P1P=PP4，
所以|P1P2+P2P3+P3P4−P1P|=|PP4|，
当P与P2重合时，|PP4|取得最大值2 2，
当P与P4重合时，|PP4|取得最小值0，
所以|P1P2+P2P3+P3P4−P1P|的取值范围为[0,2 2].
(3)设单位圆E的圆心为O，
所以i=12024|PPi|2=i=12024(OPi−OP)2
=|OP1|2+|OP2|2+⋯+|OP2024|2+2024|OP|2−2OP⋅i=12024OPi．
因为多边形P1P2⋯P2024是正2024边形，
所以i=12024OPi=0，OP⋅i=12024OPi=0．
又|OP|=|OPi|=1，
所以i=12024|PPi|2=4048，
故P1，P2，⋯，P2024是关于圆E的一组稳定向量基点，且i=12024|PPi|2=4048．
1.若集合A={1,2,3,4}，B={x|x+2∈A}，则A∩B=
A. {1}B. {1,2}C. {1,3}D. {1,2,3}
2.已知函数f(x)=x2−5x+4，则“x≥4”是“f(x)≥0”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.若f(x)=(x−2a)⋅ex−e−xex+e−x是偶函数，则a=
A. 12B. −12C. 1D. 0
4.若{a,b,c}是空间的一个基底，则下列向量不共面的为
A. a，b，a+2bB. a，a+b，a+c
C. a，a−c，cD. b+c，a+c，a+b+2c
5.已知平面α的一个法向量为n=(2,2,−1)，点M在α外，点N在α内，且MN=(−1,4,−3)，则点M到平面α的距离d=
A. 1B. 2C. 3D. 4
6.续航能力关乎无人机的“生命力”，太阳能供能是实现无人机长时续航的重要路径之一．某大学科研团队利用自主开发的新型静电电机，成功研制出仅重4.21克的太阳能动力微型无人机，实现纯自然光供能下的持续飞行．为激发同学们对无人机的兴趣，某校无人机兴趣社团在校内进行选拔赛，8名参赛学生的成绩依次为65，95，75，70，95，85，92，80，则这组数据的上四分位数(也叫第75百分位数)为
A. 93B. 92C. 91.5D. 93.5
7.某人忘记了一位同学电话号码的最后一个数字，但确定这个数字一定是奇数，随意拨号，则拨号不超过两次就拨对号码的概率为
A. 15B. 25C. 35D. 920
8.已知正数a，b满足a+2b=2，则a2+4b2+8a+2ab的最小值为
A. 10B. 12C. 14D. 16
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数z=12+ 32i，则下列命题正确的是
A. z的虚部是− 32i
B. z+z=|z|
C. z2+z=0
D. 复平面内z与z分别对应的两点之间的距离为1
10.将函数f(x)=2sinx+π6图象所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则
A. fx+π3为偶函数
B. g(x)的最小正周期为4π
C. f(x)与g(x)在π3,2π3上均单调递减
D. 函数y=f(x)−g(x)在[0,2π]上有5个零点
11.已知厚度不计的容器是由半径为2 m，圆心角为π2的扇形以一条最外边的半径为轴旋转π2得到的，下列几何体中，可以放入该容器中的有( )
A. 棱长为1.1 m的正方体B. 底面半径和高均为1.9 m的圆锥
C. 棱长均为2 m的四面体D. 半径为0.75 m的球
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.sin2105°−sin 15°cs 15°= ．
13.在所有棱长均相等的正三棱柱ABC−A1B1C1中，D是A1B1的中点，AF=23AA1，CE=13CC1，则异面直线BD，EF所成角的余弦值为 ．
14.在△ABC中，点D在BC边上，BC=2，∠BAD=∠CAD，AB·AC=AD·AB+AC·AD，则△ABC的外接圆的半径为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
某高中为了解本校高二年级学生的体育锻炼情况，随机抽取100名学生，统计他们每天体育锻炼的时间，并以此作为样本，按照[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图．已知样本中体育锻炼时间在[50,60)内的学生有10人．
(1)求频率分布直方图中a和b的值；
(2)估计样本数据的中位数和平均数(求平均数时，同一组中的数据以该组区间的中点值为代表)．
16.(本小题12分)
小明和小王两名同学组成诗词挑战杯代表队参加市相关部门组建的猜诗词大会，每轮挑战由小明、小王各猜一句诗词，已知小明每轮猜对的概率为45，小王每轮猜对的概率为56.在每轮活动中，小明和小王猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
(1)求小明在两轮活动中恰好猜对1句诗词的概率；
(2)求诗词挑战杯代表队在两轮活动中猜对3句诗词的概率．
17.(本小题12分)
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且csAa= 3csB2c− 3b．
(1)求A；
(2)若D为线段BC上一点，且DC=2BD，AD=2，求△ABC面积的最大值．
18.(本小题12分)
在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=1，点E，F，G分别在棱BB1，CC1，DD1上，且A，E，F，G四点共面，∠BAE=α，∠DAG=β．
(1)若AE=AG，记平面AEFG与底面ABCD的交线为l，证明：BD // l．
(2)若α+β=π4，记四边形AEFG的面积为S，求S的最小值．
19.(本小题12分)
给定平面上一个图形D，以及图形D上的点P1，P2，…，Pn，如果对于D上任意的点P，i=1n|PPi|2为与P无关的定值，我们就称P1，P2，…，Pn为关于图形D的一组稳定向量基点．
(1)已知P1(0,0)，P2(2,0)，P3(0,2)，△P1P2P3为图形D，判断点P1，P2，P3是不是关于图形D的一组稳定向量基点；
(2)若图形D是边长为2的正方形，P1，P2，P3，P4是它的4个顶点，P为该正方形上的动点，求P1P2+P2P3+P3P4−P1P的取值范围；
(3)若给定单位圆E及其内接正2024边形P1P2…P2024，P为该单位圆上的任意一点，证明P1，P2，…，P2024是关于圆E的一组稳定向量基点，并求i=12024PPi2的值．
参考答案
1.B
2.A
3.D
4.B
5.C
6.D
7.B
8.C
9.BC
10.ACD
11.AC
12.1+ 34
13.7 220
14.2 33
15.解：(1)由题意可知，学生每天体育锻炼的时间在[50,60)内的频率为10100=0.1，
则a=0.110=0.01，
由各组频率之和为1，可知(0.005+0.01+b+0.025×2+0.005)×10=1，解得b=0.03．
(2)前3组的频率之和为(0.005+0.01+0.03)×10=0.45<0.5，
前4组的频率之和为0.45+0.025×10=0.7>0.5，
所以样本数据的中位数在第4组，设为x，
所以0.45+(x−70)×0.025=0.5，解得x=72，
估计样本数据的中位数是72分钟．
估计平均数是(45+95)×0.05+55×0.1+65×0.3+(75+85)×0.25=72分钟.
16.解：(1)设A1表示小明两轮猜对1句诗词的事件，则P(A1)=45×15+15×45=825．
(2)设A1，A2分别表示小明两轮猜对1句、2句诗词的事件，B1，B2分别表示小王两轮猜对1句、2句诗词的事件，则P(A1)=825，P(A2)=(45)2=1625，
P(B1)=56×16+16×56=518，P(B2)=(56)2=2536．
设事件A=“两轮活动中诗词挑战杯代表队猜对3句诗词”，则A=A1B2∪A2B1，且A1B2与A2B1互斥，A1与B2，A2与B1分别相互独立，
所以P(A)=P(A1B2)+P(A2B1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=825×2536+1625×518=25，即诗词挑战杯代表队在两轮活动中猜对3句诗词的概率是25．
17.解：(1)由题知csAa= 3csB2c− 3b，
由正弦定理得csAsinA= 3csB2sinC− 3sinB，
则2sinCcsA− 3sinBcsA= 3sinAcsB，
化简得2sinCcsA= 3sin(A+B)= 3sinC，
∴csA= 32．
∵A∈(0,π)，∴A=π6．
(2)由题设知AD=23AB+13AC，
∴AD2=49AB2+19AC2+49AB⋅AC，
可得4=49|AB|2+19|AC|2+49|AB|⋅|AC|csA≥2 49|AB|2⋅19|AC|2+2 39|AB|⋅|AC|，
∴36≥(4+2 3)(|AB|⋅|AC|)，
∴|AB|⋅|AC|≤36−18 3，
∴S△ABC=12|AB|⋅|AC|sinA≤9−9 32，
故△ABC面积的最大值为9−9 32．
18.(1)证明：连接EG，因为AE=AG，AB=AD，∠ABE=∠ADG=90∘，
所以△ABE≌△ADG，则BE=DG．
在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，易知BE//DG，
所以四边形BDGE是平行四边形，从而BD//GE．
又BD⊄平面AEFG，所以BD//平面AEFG．
又BD⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AEFG=l，所以BD//l.
(2)解：易证四边形AEFG为平行四边形，
以A为坐标原点，AB，AD，AA1的方向分别为x，y，z轴的正方向，
建立空间直角坐标系，如图所示，E(1,0,tanα)，G(0,1,tanβ)，
则AE=(1,0,tanα)，AG=(0,1,tanβ)，
cs∠EAG=AE⋅AG|AE||AG|=tanαtanβ (1+tan2α)(1+tan2β)，
S=|AE||AG|sin∠EAG= (1+tan2α)(1+tan2β)× 1−cs2∠EAG，
化简可得S= 1+tan2α+tan2β．
因为α+β=π4，所以tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=1，
整理得tanα+tanβ=1−tanαtanβ，
由tanα+tanβ=1−tanαtanβ≥2 tanαtanβ，tanα，tanβ∈(0,1)，
可得0
易知f(x)=x2−4x+2在(0,3−2 2]上单调递减，
所以当tanαtanβ=3−2 2时，Smin= 7−4 2，
当且仅当tanα=tanβ= 2−1时，S取得最小值 7−4 2．
19.解：(1)点P1(0,0)，P2(2,0)，P3(0,2)不是关于D的一组稳定向量基点，
理由如下：当P与P1(0,0)重合时，有|PP1|2+|PP2|2+|PP3|2=8，
当P与P2(2,0)重合时，有|PP1|2+|PP2|2+|PP3|2=12≠8，
故P1(0,0)，P2(2,0)，P3(0,2)不是关于D的一组稳定向量基点．
(2)因为P1P2+P2P3+P3P4−P1P=P1P4−P1P=PP4，
所以|P1P2+P2P3+P3P4−P1P|=|PP4|，
当P与P2重合时，|PP4|取得最大值2 2，
当P与P4重合时，|PP4|取得最小值0，
所以|P1P2+P2P3+P3P4−P1P|的取值范围为[0,2 2].
(3)设单位圆E的圆心为O，
所以i=12024|PPi|2=i=12024(OPi−OP)2
=|OP1|2+|OP2|2+⋯+|OP2024|2+2024|OP|2−2OP⋅i=12024OPi．
因为多边形P1P2⋯P2024是正2024边形，
所以i=12024OPi=0，OP⋅i=12024OPi=0．
又|OP|=|OPi|=1，
所以i=12024|PPi|2=4048，
故P1，P2，⋯，P2024是关于圆E的一组稳定向量基点，且i=12024|PPi|2=4048．
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