2024-2025学年湖南省长沙市天心区怡海中学九年级（上）入学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年湖南省长沙市天心区怡海中学九年级（上）入学数学试卷（含答案），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.−6的相反数是( )
A. −6B. −16C. 6D. 16
2.下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是( )
A. 2，3，4B. 1,1, 2C. 1, 3,2D. 8，15，17
3.我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000，建设和应用规模居世界第一.用科学记数法将数据1290000000表示为( )
A. 1.29×108B. 12.9×108C. 1.29×109D. 129×107
4.下列计算正确的是( )
A. x6÷x4=x2B. 5+ 6= 11
C. (x3)2=x5D. (x+y)2=x2+y2
5.函数y=−x2+1的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.关于二次函数y=2x2+4x−1，下列说法正确的是( )
A. 图象与y轴的交点坐标为(0,1)B. 图象的对称轴在y轴的右侧
C. 当x<0时，y的值随x值的增大而减小D. y的最小值为−3
7.将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为( )
A. y=(x+2)2−5B. y=(x+2)2+5C. y=(x−2)2−5D. y=(x−2)2+5
8.如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，各彩条的宽度相等，如果要使彩条所占面积是图案面积的六分之一．设彩条的宽为x cm，根据题意可列方程( )
A. (20−2x)(30−2x)=20×30×16
B. (20−2x)(30−2x)=20×30×(1−16)
C. (20−x)(30−x)=20×30×16
D. (20−x)(30−x)=20×30×(1−16)
9.如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点.则正确的是( )
A. 若AC=BD，则四边形EFGH为矩形
B. 若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形
C. 若EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分
D. 若EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等
10.如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是( )
①∠DCF=12∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．
A. ①②③B. ①③C. ①②④D. ①②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.为了比较甲、乙、丙三种水稻秧苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.6，10.8，15.8，由此可知______种秧苗长势更整齐(填“甲”、“乙”或“丙”)．
12.方程3x2+x−10=0的两个根是x1=−2，x2=53，那么二次函数y=3x2+x−10与x轴的交点坐标是______．
13.若关于x的一元二次方程(m−2)x2+x+m2−4=0的一个根为0，则m值是______．
14.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，
垂足为E，若BC=4，DE=1.6，则BE的长为______．
15.如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若E为BO的中点，则AE的长为______．
16.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1.下列结论：①abc<0；②3a+c>0；③(a+c)2−b2<0；④a+b≤m(am+b)(m为实数).其中结论正确的有______.(填所以正确的序号)
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
17.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不超过45%，
经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y=kx+b，且x=65，y=55；x=75时，y=45，
(1)求出一次函数的解析式；
(2)若该商场获利为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式；
(3)售价定为多少元时，商场可以获利最大，最大利润为多少元？
四、解答题：本题共8小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
计算：−12024+ (−2)2−(3−π)0+|2− 3|．
19.(本小题6分)
解下列一元二次方程
(1)x2+6x−7=0；
(2)3x(2x+1)=4x+2．
20.(本小题6分)
已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2−2(m+1)x+m2+5=0的两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若(x1−1)(x2−1)=19，求m的值．
21.(本小题8分)
2024年5月28日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长达8.5小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情.某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：
成绩统计表
根据所给信息，解答下列问题：
(1)本次调查的成绩统计表中a= ______%，并补全条形统计图；
(2)这200名学生成绩的中位数会落在______组(填A、B、C、D或E)；
(3)试估计该校1200名学生中成绩在90分以上(包括90分)的人数．
22.(本小题8分)
如图直线：y1=kx+b经过点A(−6,0)，B(−1,5)．
(1)求直线AB的表达式；
(2)若直线y2=−2x−3与直线AB相交于点M，与x轴相交于点D.求四边形OBMD的面积；
(3)根据图象，直接写出关于x的不等式kx+b>−2x−3≥0的解集．
23.(本小题9分)
如图，在平行四边形ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于点E，交AB的延长线于点F．
(1)求证：AD=AF；
(2)若AD=6，AB=3，∠A=120°，求EF的长．
24.(本小题9分)
我们不妨约定：若某函数图象上存在横纵坐标相等的点，则把该函数称为“和谐函数”，其图象上这一点，称为“和谐点”，例如：“和谐函数”y=2x−1，其“和谐点”为(1,1)．
(1)在下列关于x的函数中，是“和谐函数”的，请在相应的题目后面括号中打“√”．
①y=x−3 ______；
②y=−12x+1 ______；
③y=x2−2x ______．
(2)若点A、点B是“和谐函数”y=x2−(2m+1)x+(m−1)2(其中m>0)上的“和谐点”，且8 2≤AB≤10 2，求m的取值范围；
(3)若“和谐函数”y=−14x2+(m−k+2)x+n+k−1的图象上存在唯一的一个“和谐点”，且当−5≤m≤−1时，n的最小值为k，求k的值．
25.(本小题11分)
如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)与点B(3,0)，与y轴交于点C(0,3)，点P是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在点P的运动过程中，是否存在点P，使∠CAP=45°？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)当点P在第一象限时，连接BP，设△ACP的面积为S1，△BCP的面积为S2，求S1S2的取值范围．
参考答案
1.C
2.A
3.C
4.A
5.B
6.D
7.A
8.B
9.D
10.C
11.甲
12.(−2,0)、(53,0)
13.−2
14.4 55
15.3
16.②③④
17.解：(1)将x=65y=55，x=75y=45代入y=kx+b中55=65k+b45=75k+b，
解得：k=−1b=120，
∴y=−x+120(60≤x≤87)．
(2)W=(−x+120)(x−60)，
W=−x2+180x−7200，
W=−(x−90)2+900．
(3)又∵60即60≤x≤87，
则x=87时获利最多，
将x=87代入，得W=−(87−90)2+900=891元．
答：售价定为87元有最大利润为891元．
18.解：−12024+ (−2)2−(3−π)0+|2− 3|
=−1+2−1+2− 3
=2− 3．
19.解：(1)x2+6x−7=0，
(x−1)(x+7)=0，
∴x−1=0或x+7=0，
解得，x1=1，x2=−7；
(2)3x(2x+1)=4x+2，
6x2+3x=4x+2，
6x2−x−2=0，
(3x−2)(2x+1)=0，
∴3x−2=0或2x+1=0，
解得，x1=23，x2=−12．
20.解：(1)∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2−2(m+1)x+m2+5=0的两实数根，
∴Δ≥0，
∴[−2(m+1)]2−4(m2+5)≥0，
解得：m≥2；
(2)∵x1+x2=2(m+1)，x1x2=m2+5，
又∵(x1−1)(x2−1)=19，
∴x1x2−(x1+x2)+1=19，
∴m2+5−2(m+1)+1=19，
解得m=−3(舍去)，m=5，
∴m=5．
21(1)20．
补全条形统计图如图所示．
(2)D．
(3)1200×25%=300(人)．
∴估计该校1200名学生中成绩在90分以上(包括90分)的人数约300人．
22.解：(1)将A(−6,0)，B(−1,5)代入y1=kx+b得，−6k+b=0−k+b=5，
解得k=1b=6，
∴直线AB的表达式为y1=x+6；
(2)联立y1=x+6y2=−2x−3，
解得x=−3y=3，
∴M(−3,3)，
当y2=0时，−2x−3=0，
解得x=−32，
∴D(−32,0)，
∴S四边形OBMD=S△AOB−S△ADM=12×6×5−12×(−32+6)×3=334，
∴四边形OBMD的面积为334；
(3)由题意知，关于x的不等式kx+b>−2x−3≥0的解集为直线AB在直线MD上方部分，直线MD在x轴以及x轴上方部分所对应的x的取值范围，
由图象可知，不等式kx+b>−2x−3≥0的解集为−323.(1)证明：∵平行四边形ABCD，
∴AB//CD，
∴∠F=∠CDF，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF=∠CDF，
∴∠ADF=∠F，
∴AD=AF；
(2)解：∵平行四边形ABCD，
∴CD=AB=3，
∵AD=6，AB=3，
∴AF=6，BF=3=CD，
∵∠F=∠CDE，∠FEB=∠DEC，BF=CD，
∴△FEB≌△DEC(AAS)，
∴DE=EF，
如图，连接AE，

∵AD=AF，
∴AE⊥DF，∠FAE=12∠BAD=60°，∠F=30°，
∴AE=12AF=3，
由勾股定理得，EF= AF2−AE2=3 3，
∴EF的长为3 3．
24.(1)①×，②√，③√；
(2)∵y=x2−(2m+1)x+(m−1)2是“和谐函数”，
∴x=x2−(2m+1)x+(m−1)2，
整理得，x2−(2m+2)x+(m−1)2=0，
∵点A、点B是“和谐函数”上的“和谐点”，
设A(x1,x1)，B(x2,x2)，
∴Δ=16m>0，x1+x2=2m+2，x1⋅x2=(m−1)2，
∴AB= (x1−x2)2+(x1−x2)2
= 2|x1−x2|
= 2 (x1+x2)2−4x1x2
=4 2m，
∵8 2≤AB≤10 2，
∴8 2≤4 2m≤10 2，
∴4≤m≤254；
(3)∵“和谐函数”y=14x2+(m−k+2)x+n+k−1的图象上存在唯一的一个“和谐点”，
∴x=14x2+(m−k+2)x+n+k−1，且Δ=0，
∴14x2+(m−k+1)x+n+k−1=0，
Δ=(m−k+1)2−n−k+1=0，
∴n=(m−k+1)2+1−k，
n是关于m的二次函数，对称轴为m=k−1，
①若k−1≥3，即k≥4，当m=3时，n有最小值k，
(3−k+1)2+1−k=k，
∴k=5+2 2或5−2 2(舍去)；
②若k−1≤−1，即k≤0，当m=−1时，n有最小值k，
(−1−k+1)2+1−k=k，
解得k=1(舍去)；
③若−11−k=k，
解得k=12；
综上所述：k=12或k=5+2 2．
25.解：(1)将A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)代入y=ax2+bx+c得：
a−b+c=09a+3b+c=0c=3，
解得a=−1b=2c=3，
∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+3；
(2)如图①，连接AC，过A作直线AP，使∠CAP=45°，过C作CD⊥AP于D，过D作EF⊥x轴于E，作CF⊥EF于F，

∴∠ACD=45°=∠CAD，
∴AD=CD，
∵∠DAE+∠ADE=90°=∠ADE+∠CDF，
∴∠DAE=∠CDF，
又∵∠DEA=∠CFD=90°，AD=CD，
∴△DEA≌△CFD(AAS)，
∴AE=DF，DE=CF，
设D(m,n)，则DE=n，AE=m+1，CF=m，DF=3−n，
∴m+1=3−n，m=n，
解得，m=n=1，
∴D(1,1)，
设直线AP的解析式为y=kx+d，
将A(−1,0)，D(1,1)代入y=kx+d得：
−k+d=0k+d=1，
解得k=12d=12，
∴直线AP的解析式为y=12x+12，
联立y=12x+12y=−x2+2x+3，
解得x=−1y=0或x=52y=74，
∴P(52,74)，
∴存在点P，使∠CAP=45°，P(52,74)；
(3)如图②，过P作PG⊥x轴于G，

设P(t,−t2+2t+3)，则G(t,0)，
∴S1=S△ACP=S△AOC+S梯形OCPG−S△AGP=12×1×3+3+(−t2+2t+3)2×t−12×(t+1)×(−t2+2t+3)=t2+t2，S2=S△BCP=S梯形OCPG+S△BPG−S△BOC=3+(−t2+2t+3)2×t+12×(3−t)×(−t2+2t+3)−12×3×3=−3t2+9t2，
∴S1S2=t2+t2−3t2+9t2=t+1−3t+9=t−3+4−3(t−3)=−13+4−3(t−3)=43(3−t)−13，
由题意知，0∴13−t>13，43(3−t)>49，
∴S1S2=43(3−t)−13>49−13=19，
∴S1S2的取值范围为S1S2>19．
组别
成绩x(分)
百分比
A组
x<60
5%
B组
60≤x<70
15%
C组
70≤x<80
a
D组
80≤x<90
35%
E组
90≤x≤100
25%