2024-2025学年湖南省长沙市天心区怡海中学九年级（上）入学数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年湖南省长沙市天心区怡海中学九年级（上）入学数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.−6的相反数是( )
A. −6B. −16C. 6D. 16
2.下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是( )
A. 2，3，4B. 1,1, 2C. 1, 3,2D. 8，15，17
3.我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000，建设和应用规模居世界第一.用科学记数法将数据1290000000表示为( )
A. 1.29×108B. 12.9×108C. 1.29×109D. 129×107
4.下列计算正确的是( )
A. x6÷x4=x2B. 5+ 6= 11
C. (x3)2=x5D. (x+y)2=x2+y2
5.函数y=−x2+1的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.关于二次函数y=2x2+4x−1，下列说法正确的是( )
A. 图象与y轴的交点坐标为(0,1)B. 图象的对称轴在y轴的右侧
C. 当x<0时，y的值随x值的增大而减小D. y的最小值为−3
7.将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为( )
A. y=(x+2)2−5B. y=(x+2)2+5C. y=(x−2)2−5D. y=(x−2)2+5
8.如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的彩条，各彩条的宽度相等，如果要使彩条所占面积是图案面积的六分之一．设彩条的宽为x cm，根据题意可列方程( )
A. (20−2x)(30−2x)=20×30×16
B. (20−2x)(30−2x)=20×30×(1−16)
C. (20−x)(30−x)=20×30×16
D. (20−x)(30−x)=20×30×(1−16)
9.如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点.则正确的是( )
A. 若AC=BD，则四边形EFGH为矩形
B. 若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形
C. 若EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分
D. 若EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等
10.如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是( )
①∠DCF=12∠BCD；②EF=CF；③S△BEC=2S△CEF；④∠DFE=3∠AEF．
A. ①②③B. ①③C. ①②④D. ①②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.为了比较甲、乙、丙三种水稻秧苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.6，10.8，15.8，由此可知______种秧苗长势更整齐(填“甲”、“乙”或“丙”)．
12.方程3x2+x−10=0的两个根是x1=−2，x2=53，那么二次函数y=3x2+x−10与x轴的交点坐标是______．
13.若关于x的一元二次方程(m−2)x2+x+m2−4=0的一个根为0，则m值是______．
14.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，
垂足为E，若BC=4，DE=1.6，则BE的长为______．
15.如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若E为BO的中点，则AE的长为______．
16.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1.下列结论：①abc<0；②3a+c>0；③(a+c)2−b2<0；④a+b≤m(am+b)(m为实数).其中结论正确的有______.(填所以正确的序号)
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
17.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不超过45%，
经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y=kx+b，且x=65，y=55；x=75时，y=45，
(1)求出一次函数的解析式；
(2)若该商场获利为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式；
(3)售价定为多少元时，商场可以获利最大，最大利润为多少元？
四、解答题：本题共8小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
计算：−12024+ (−2)2−(3−π)0+|2− 3|．
19.(本小题6分)
解下列一元二次方程
(1)x2+6x−7=0；
(2)3x(2x+1)=4x+2．
20.(本小题6分)
已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2−2(m+1)x+m2+5=0的两个实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若(x1−1)(x2−1)=19，求m的值．
21.(本小题8分)
2024年5月28日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长达8.5小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情.某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：
成绩统计表
根据所给信息，解答下列问题：
(1)本次调查的成绩统计表中a= ______%，并补全条形统计图；
(2)这200名学生成绩的中位数会落在______组(填A、B、C、D或E)；
(3)试估计该校1200名学生中成绩在90分以上(包括90分)的人数．
22.(本小题8分)
如图直线：y1=kx+b经过点A(−6,0)，B(−1,5)．
(1)求直线AB的表达式；
(2)若直线y2=−2x−3与直线AB相交于点M，与x轴相交于点D.求四边形OBMD的面积；
(3)根据图象，直接写出关于x的不等式kx+b>−2x−3≥0的解集．
23.(本小题9分)
如图，在平行四边形ABCD中，DF平分∠ADC，交BC于点E，交AB的延长线于点F．
(1)求证：AD=AF；
(2)若AD=6，AB=3，∠A=120°，求EF的长．
24.(本小题9分)
我们不妨约定：若某函数图象上存在横纵坐标相等的点，则把该函数称为“和谐函数”，其图象上这一点，称为“和谐点”，例如：“和谐函数”y=2x−1，其“和谐点”为(1,1)．
(1)在下列关于x的函数中，是“和谐函数”的，请在相应的题目后面括号中打“√”．
①y=x−3 ______；
②y=−12x+1 ______；
③y=x2−2x ______．
(2)若点A、点B是“和谐函数”y=x2−(2m+1)x+(m−1)2(其中m>0)上的“和谐点”，且8 2≤AB≤10 2，求m的取值范围；
(3)若“和谐函数”y=−14x2+(m−k+2)x+n+k−1的图象上存在唯一的一个“和谐点”，且当−5≤m≤−1时，n的最小值为k，求k的值．
25.(本小题11分)
如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)与点B(3,0)，与y轴交于点C(0,3)，点P是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在点P的运动过程中，是否存在点P，使∠CAP=45°？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)当点P在第一象限时，连接BP，设△ACP的面积为S1，△BCP的面积为S2，求S1S2的取值范围．
答案解析
1.C
【解析】解：−6的相反数是6，
故选：C．
利用相反数的定义判断即可．
本题考查了相反数，解题的关键是掌握相反数的定义．
2.A
【解析】解：A：∵22+32≠42，
∴2，3，4不能作为直角三角形的三边长，符合题意；
B：∵12+12=2=( 2)2，
∴1，1， 2能作为直角三角形的三边长，不符合题意；
C：∵12+( 3)2=22，
∴1， 3，2能作为直角三角形的三边长，不符合题意；
D：∵82+152=172，
∴8，12，17能作为直角三角形的三边长，该选项不符合题意，
故选：A．
根据勾股定理的逆定理对各选项作出判断即可．
主要考查了勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
3.C
【解析】解：1290000000=1.29×109，
故选：C．
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
4.A
【解析】解：A、x6÷x4=x2，故此选项符合题意；
B、 5与 6不能合并，故此选项不符合题意；
C、(x3)2=x6，故此选项不符合题意；
D、(x+y)2=x2+2xy+y2，故此选项不符合题意；
故选：A．
根据同底数幂的除法，二次根式的加减法，幂的乘方，完全平方公式分别计算判断即可．
本题考查了同底数幂的除法，二次根式的加减法，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解题的关键．
5.B
【解析】解：∵二次项系数a<0，
∴开口方向向下，
∵一次项系数b=0，
∴对称轴为y轴，
∵常数项c=1，
∴图象与y轴交于(0,1)，
故选B．
6.D
【解析】解：当x=0时，y=−1，所以图像与y轴的交点坐标为(0,−1)，A错;
y=2x2+4x−1=2(x+1)2−3，对称轴为直线x=−1，B错;
当−1二次函数的图像开口向上，有最小值−3，D正确．
故选D．
7.A
【解析】解：抛物线y=x2的顶点坐标为(0,0)，
先向左平移2个单位再向下平移5个单位后的抛物线的顶点坐标为(−2,−5)，
所以，平移后的抛物线的解析式为y=(x+2)2−5．
故选：A．
先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可．
本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并根据规律利用点的变化确定函数解析式．
8.B
【解析】解：设彩条的宽度是x cm，则
(20−2x)(30−2x)=20×30×(1−16)，
故选：B．
设彩条的宽为x cm，根据要设计一幅宽20cm、长30cm的图案，如果要使彩条所占面积是图案面积的六分之一，可列方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是理解题意，学会正确寻找等量关系，构建方程解决问题．
9.D
【解析】解：∵点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，
∴EF//AC，EF=12AC，GH//AC，GH=12AC，EH//BD，EH=12BD，
∴EF//GH，EF=GH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
但AC与BD不一定互相平分，故选项C不符合题意；
A.∵AC=BD，
∴EF=EH，
∴四边形EFGH为菱形，故本选项不符合题意；
B.∵AC⊥BD时，EF⊥EH，
则四边形EFGH为矩形，故本选项不符合题意；
D.当四边形EFGH是正方形时，AC与BD互相垂直且相等，故本选项不符合题意；
故选：D．
根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形EFGH为平行四边形，再根据矩形、菱形、正方形的判定和性质定理判断即可．
本题考查的是矩形、菱形、正方形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
10.C
【解析】解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在▱ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD//BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=12∠BCD，故此选项正确；
延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
∠A=∠FDMAF=DF∠AFE=∠DFM，
∴△AEF≌△DMF(ASA)，
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FE=FM，故②正确；
③∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC>BE，
∴S△BEC≤2S△EFC
故S△BEC=2S△CEF错误；
④设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°−x，
∴∠EFC=180°−2x，
∴∠EFD=90°−x+180°−2x=270°−3x，
∵∠AEF=90°−x，
∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．
故选：C．
分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF(ASA)，得出对应线段之间关系进而得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DMF是解题关键．
11.甲
【解析】解：∵甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.6，10.8，15.8，
∴甲组秧苗高度的方差最小，
∴甲种秧苗长势更整齐，
故答案为：甲．
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
12.(−2,0)、(53,0)
【解析】解：∵二次函数y=3x2+x−10与x轴的交点坐标的纵坐标是0，即3x2+x−10=0的两根是该函数与x轴交点的横坐标，
∴二次函数y=3x2+x−10与x轴的交点坐标是(−2,0)、(53,0)．
故答案为：(−2,0)、(53,0)．
令y=0，得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出二次函数图象与x轴的交点坐标．
本题考查了抛物线与x轴的交点，解一元二次方程−因式分解法，解答本题的关键要明确二次函数y=x2+bx+c与一元二次方程x2+bx+c=0间的转化关系．
13.−2
【解析】解：根据题意，得
x=0满足关于x的一元二次方程(m−2)x2+x+m2−4=0，
∴m2−4=0，
解得，m=±2；
又∵二次项系数m−2≠0，即m≠2，
∴m=−2；
故答案为：−2．
根据一元二次方程解的定义，将x=0代入关于x的一元二次方程(m−2)x2+x+m2−4=0，然后解关于m的一元二次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解的定义．解答该题时，注意一元二次方程的定义中的“一元二次方程的二次项系数不为0”这一条件．
14.4 55
【解析】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE，
∵DE=1.6，
∴CD=1.6，
∴BD=BC−CD=4−1.6=2.4，
∴BE= BD2−DE2= 2.42−1.62=4 55，
故答案为：4 55．
由角平分线的性质可知CD=DE=1.6，得出BD=BC−CD=4−1.6=2.4．
本题主要考查了角平分线的性质，勾股定理，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
15.3
【解析】解：∵矩形ABCD，
∴OB=OA=OD，
∵AE⊥BD，E为BO的中点，
∴∠AEB=∠AEO=90°，BE=OE，
又∵AE=AE，
∴△ABE≌△AOE(SAS)，
∴AB=OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，∠ABD=60°，
∴∠ADB=30°，
∴AE=12AD=3，
故答案为：3．
证明△ABE≌△AOE(SAS)，则AB=OA=OB，△AOB是等边三角形，∠ABD=60°，∠ADB=30°，根据AE=12AD，计算求解即可．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30°的直角三角形等知识．熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
16.②③④
【解析】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，
∴b=−2a<0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c<0，
∴abc>0，所以①错误；
∵x=−1时，y>0，
∴a−b+c>0，
即a+2a+c>0，所以②正确；
∵x=1，y<0，
∴a+b+c<0，
∴(a+c)2−b2=(a+c−b)(a+b+c)<0，所以③正确；
∵x=1时，y有最小值a+b+c，
∴a+b+c≤am2+bm+c，
∴a+b≤m(am+b)(m为实数).所以④正确．
故答案为②③④．
利用抛物线开口方向得到a>0，利用抛物线的对称轴方程得到b=−2a<0，利用抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c<0，则可对①进行判断；利用x=−1得到y=a−b+c>0，然后把b=−2a代入后可对②进行判断；由于a−b+c>0和a+b+c<0，而(a+c)2−b2可分解为(a+c−b)(a+b+c)，则可对③进行判断；根据二次函数的性质得x=1时，y有最小值a+b+c，则可对④进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0,c).抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
17.解：(1)将x=65y=55，x=75y=45代入y=kx+b中55=65k+b45=75k+b，
解得：k=−1b=120，
∴y=−x+120(60≤x≤87)．
(2)W=(−x+120)(x−60)，
W=−x2+180x−7200，
W=−(x−90)2+900．
(3)又∵60即60≤x≤87，
则x=87时获利最多，
将x=87代入，得W=−(87−90)2+900=891元．
答：售价定为87元有最大利润为891元．
【解析】先用待定系数法求出y与x之间的一次函数关系式，然后根据利润=销售量×(销售单价−成本)得到W与x之间的函数关系式，再利用二次函数的性质，求出商场获得的最大利润以及获得最大利润时的售价．
本题考查的是二次函数的应用，先用待定系数法求出销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系，然后求出利润W与x之间的二次函数，然后利用二次函数的性质以及题目中对销售单价的要求，求出最大利润和最大利润时的单价．
18.解：−12024+ (−2)2−(3−π)0+|2− 3|
=−1+2−1+2− 3
=2− 3．
【解析】先分别计算有理数的乘方，算术平方根，零指数幂，化简绝对值，然后进行加减运算即可．
本题考查了有理数的乘方，算术平方根，零指数幂，化简绝对值．熟练掌握有理数的乘方，算术平方根，零指数幂，化简绝对值是解题的关键．
19.解：(1)x2+6x−7=0，
(x−1)(x+7)=0，
∴x−1=0或x+7=0，
解得，x1=1，x2=−7；
(2)3x(2x+1)=4x+2，
6x2+3x=4x+2，
6x2−x−2=0，
(3x−2)(2x+1)=0，
∴3x−2=0或2x+1=0，
解得，x1=23，x2=−12．
【解析】(1)利用因式分解法解一元二次方程即可．
(2)移项后利用因式分解法解一元二次方程即可．
本题考查了因式分解法解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
20.解：(1)∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2−2(m+1)x+m2+5=0的两实数根，
∴Δ≥0，
∴[−2(m+1)]2−4(m2+5)≥0，
解得：m≥2；
(2)∵x1+x2=2(m+1)，x1x2=m2+5，
又∵(x1−1)(x2−1)=19，
∴x1x2−(x1+x2)+1=19，
∴m2+5−2(m+1)+1=19，
解得m=−3(舍去)，m=5，
∴m=5．
【解析】(1)根据根的判别式得出关于m的不等式，解不等式即可；
(2)根据根与系数的关系得出x1+x2=2(m+1)，x1x2=m2+5，根据(x1−1)(x2−1)=19，得出m2+5−2(m+1)+1=19，然后解方程即可．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca是解题的关键．
21.20 D
【解析】解：(1)由题意得，C组的人数为200−10−30−70−50=40(人)，
∴a=40÷200×100%=20%．
故答案为：20．
补全条形统计图如图所示．
(2)将这200名学生成绩按照从小到大的顺序排列，排在第100和101名的学生成绩均在D组，
∴这200名学生成绩的中位数会落在D组．
故答案为：D．
(3)1200×25%=300(人)．
∴估计该校1200名学生中成绩在90分以上(包括90分)的人数约300人．
(1)用200分别减去A，B，D，E组的人数，可得C组的人数，用C组的人数除以200再乘以100%可得a的值，最后补全条形统计图即可．
(2)根据中位数的定义可得答案．
(3)根据用样本估计总体，用1200乘以统计表中E组的百分比，即可得出答案．
本题考查条形统计图、统计表、用样本估计总体、中位数，能够读懂统计图表，掌握用样本估计总体、中位数的定义是解答本题的关键．
22.解：(1)将A(−6,0)，B(−1,5)代入y1=kx+b得，−6k+b=0−k+b=5，
解得k=1b=6，
∴直线AB的表达式为y1=x+6；
(2)联立y1=x+6y2=−2x−3，
解得x=−3y=3，
∴M(−3,3)，
当y2=0时，−2x−3=0，
解得x=−32，
∴D(−32,0)，
∴S四边形OBMD=S△AOB−S△ADM=12×6×5−12×(−32+6)×3=334，
∴四边形OBMD的面积为334；
(3)由题意知，关于x的不等式kx+b>−2x−3≥0的解集为直线AB在直线MD上方部分，直线MD在x轴以及x轴上方部分所对应的x的取值范围，
由图象可知，不等式kx+b>−2x−3≥0的解集为−3【解析】(1)将A(−6,0)，B(−1,5)代入y1=kx+b得，−6k+b=0−k+b=5，可求k=1b=6，进而可得直线AB的表达式；
(2)联立y1=x+6y2=−2x−3，可求x=−3y=3，即M(−3,3)，当y2=0时，−2x−3=0，可求x=−32，即D(−32,0)，根据S四边形OBMD=S△AOB−S△ADM，求解作答即可；
(3)根据关于x的不等式kx+b>−2x−3≥0的解集为直线AB在直线MD上方部分，直线MD在x轴以及x轴上方部分所对应的x的取值范围，结合图象作答即可．
本题考查了一次函数解析式，两直线的交点问题，坐标与图形性质，一次函数与不等式．熟练掌握以上知识是解题的关键．
23.(1)证明：∵平行四边形ABCD，
∴AB//CD，
∴∠F=∠CDF，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF=∠CDF，
∴∠ADF=∠F，
∴AD=AF；
(2)解：∵平行四边形ABCD，
∴CD=AB=3，
∵AD=6，AB=3，
∴AF=6，BF=3=CD，
∵∠F=∠CDE，∠FEB=∠DEC，BF=CD，
∴△FEB≌△DEC(AAS)，
∴DE=EF，
如图，连接AE，

∵AD=AF，
∴AE⊥DF，∠FAE=12∠BAD=60°，∠F=30°，
∴AE=12AF=3，
由勾股定理得，EF= AF2−AE2=3 3，
∴EF的长为3 3．
【解析】(1)由平行四边形ABCD，可得AB/​/CD，则∠F=∠CDF，由DF平分∠ADC，可得∠ADF=∠CDF，则∠ADF=∠F，进而可证AD=AF；
(2)由题意得，AF=6，BF=3=CD，证明△FEB≌△DEC(AAS)，则DE=EF，如图，连接AE，由AD=AF，可得AE⊥DF，∠FAE=12∠BAD=60°，∠F=30°，则AE=12AF=3，由勾股定理得，EF= AF2−AE2，计算求解即可．
本题考查了平行四边形的性质，角平分线，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，含30°的直角三角形等知识．熟练掌握平行四边形的性质，角平分线，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，含30°的直角三角形是解题的关键．
24.× √ √
【解析】解：(1)①∵方程x=x−3无解，
∴y=x−3不是“和谐函数”；
②当x=−12x+1时，解得x=23，
∴y=−12x+1是“和谐函数”；
③当x=x2−2x时，
解得x=0或x=3，
∴y=x2−2x 是“和谐函数”；
故答案为：①×，②√，③√；
(2)∵y=x2−(2m+1)x+(m−1)2是“和谐函数”，
∴x=x2−(2m+1)x+(m−1)2，
整理得，x2−(2m+2)x+(m−1)2=0，
∵点A、点B是“和谐函数”上的“和谐点”，
设A(x1,x1)，B(x2,x2)，
∴Δ=16m>0，x1+x2=2m+2，x1⋅x2=(m−1)2，
∴AB= (x1−x2)2+(x1−x2)2
= 2|x1−x2|
= 2 (x1+x2)2−4x1x2
=4 2m，
∵8 2≤AB≤10 2，
∴8 2≤4 2m≤10 2，
∴4≤m≤254；
(3)∵“和谐函数”y=14x2+(m−k+2)x+n+k−1的图象上存在唯一的一个“和谐点”，
∴x=14x2+(m−k+2)x+n+k−1，且Δ=0，
∴14x2+(m−k+1)x+n+k−1=0，
Δ=(m−k+1)2−n−k+1=0，
∴n=(m−k+1)2+1−k，
n是关于m的二次函数，对称轴为m=k−1，
①若k−1≥3，即k≥4，当m=3时，n有最小值k，
(3−k+1)2+1−k=k，
∴k=5+2 2或5−2 2(舍去)；
②若k−1≤−1，即k≤0，当m=−1时，n有最小值k，
(−1−k+1)2+1−k=k，
解得k=1(舍去)；
③若−11−k=k，
解得k=12；
综上所述：k=12或k=5+2 2．
(1)根据定义，①x=x−3时无解，②x=−12x+1时，解得x=23，③x=x2−2x时，解得x=0或x=3，由此可确定“和谐函数”；
(2)由题意可知x=x2−(2m+1)x+(m−1)2，设A(x1,x1)，B(x2,x2)，因此可得Δ=16m>0，x1+x2=2m+2，x1⋅x2=(m−1)2，AB=4 2m，再由已知可得8 2≤4 2m≤10 2，即可求4≤m≤254；
(3)由题意可得x=−14x2+(m−k+2)x+n+k−1，Δ=(m−k+1)2−n−k+1=0，可知n=(m−k+1)2+1−k，n是关于m的二次函数，对称轴为m=k−1，①若k−1≥3，当m=3时，n有最小值k；②若k−1≤−1，即k≤0，当m=−1时，n有最小值k，③若−1本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，理解“和谐函数”的定义是正确解答的关键．
25.解：(1)将A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)代入y=ax2+bx+c得：
a−b+c=09a+3b+c=0c=3，
解得a=−1b=2c=3，
∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+3；
(2)如图①，连接AC，过A作直线AP，使∠CAP=45°，过C作CD⊥AP于D，过D作EF⊥x轴于E，作CF⊥EF于F，

∴∠ACD=45°=∠CAD，
∴AD=CD，
∵∠DAE+∠ADE=90°=∠ADE+∠CDF，
∴∠DAE=∠CDF，
又∵∠DEA=∠CFD=90°，AD=CD，
∴△DEA≌△CFD(AAS)，
∴AE=DF，DE=CF，
设D(m,n)，则DE=n，AE=m+1，CF=m，DF=3−n，
∴m+1=3−n，m=n，
解得，m=n=1，
∴D(1,1)，
设直线AP的解析式为y=kx+d，
将A(−1,0)，D(1,1)代入y=kx+d得：
−k+d=0k+d=1，
解得k=12d=12，
∴直线AP的解析式为y=12x+12，
联立y=12x+12y=−x2+2x+3，
解得x=−1y=0或x=52y=74，
∴P(52,74)，
∴存在点P，使∠CAP=45°，P(52,74)；
(3)如图②，过P作PG⊥x轴于G，

设P(t,−t2+2t+3)，则G(t,0)，
∴S1=S△ACP=S△AOC+S梯形OCPG−S△AGP=12×1×3+3+(−t2+2t+3)2×t−12×(t+1)×(−t2+2t+3)=t2+t2，S2=S△BCP=S梯形OCPG+S△BPG−S△BOC=3+(−t2+2t+3)2×t+12×(3−t)×(−t2+2t+3)−12×3×3=−3t2+9t2，
∴S1S2=t2+t2−3t2+9t2=t+1−3t+9=t−3+4−3(t−3)=−13+4−3(t−3)=43(3−t)−13，
由题意知，0∴13−t>13，43(3−t)>49，
∴S1S2=43(3−t)−13>49−13=19，
∴S1S2的取值范围为S1S2>19．
【解析】(1)将A(−1,0)，B(3,0)，C(0,3)代入y=ax2+bx+c得，a−b+c=09a+3b+c=0c=3，可求a=−1b=2c=3，进而可得抛物线的解析式；
(2)如图①，连接AC，过A作直线AP，使∠CAP=45°，过C作CD⊥AP于D，过D作EF⊥x轴于E，作CF⊥EF于F，则∠ACD=45°=∠CAD，AD=CD，证明△DEA≌△CFD(AAS)，则AE=DF，DE=CF，设D(m,n)，则DE=n，AE=m+1，CF=m，DF=3−n，m+1=3−n，m=n，可求m=n=1，即D(1,1)，待定系数法求直线AP的解析式为y=12x+12，联立y=12x+12y=−x2+2x+3，计算求出满足要求的解即可；
(3)如图②，过P作PG⊥x轴于G，设P(t,−t2+2t+3)，则G(t,0)，S1=S△ACP=S△AOC+S梯形OCPG−S△AGP=t2+t2，S2=S△BCP=S梯形OCPG+S△BPG−S△BOC=−3t2+9t2，即S1S2=t2+t2−3t2+9t2=43(3−t)−13，由题意知，049，S1S2=43(3−t)−13>49−13，计算求解然后作答即可．
本题考查了二次函数解析式，一次函数解析式，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，二次函数与角度综合，二次函数与面积综合等知识．熟练掌握二次函数解析式，一次函数解析式，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，二次函数与角度综合，二次函数与面积综合是解题的关键．组别
成绩x(分)
百分比
A组
x<60
5%
B组
60≤x<70
15%
C组
70≤x<80
a
D组
80≤x<90
35%
E组
90≤x≤100
25%