2024-2025学年江西省宜春市上高县高二（上）月考数学试卷（8月份）（含解析）

这是一份2024-2025学年江西省宜春市上高县高二（上）月考数学试卷（8月份）（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.复数满足2+2z1−i=iz，则z等于( )
A. 1+iB. −1+iC. 1−iD. −1−i
2.已知集合A={x|y=lg(3−x)}，B={y|y= −x2+6x}，则A∩B=( )
A. (−∞,3]B. (−∞,3)C. [0,3]D. [0,3)
3.已知直线l：y=kx+1与圆C：(x+1)2+y2=r2(r>0)，则“∀k∈R，直线l与圆C有公共点”是“r> 2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知角α，β满足tanαtanβ=−3,cs(α+β)=12，则cs(α−β)=( )
A. −14B. −1C. 38D. 18
5.甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是( )
A. 14B. 13C. 12D. 23
6.若曲线y=ln(x+2a)的一条切线为y=ex−2b(e为自然对数的底数)，其中a，b为正实数，则1ea+1b的取值范围是( )
A. [2,e)B. (e,4]C. [4,+∞)D. [e,+∞)
7.已知Sn是数列{an}的前n项和，若(1−2x)2021=b0+b1x+b2x2+…+b2021x2021，数列{an}的首项a1=b12+b222+…+b202122021，an+1=Sn⋅Sn+1，则S2021=( )
A. −12021B. 12021C. 2021D. −2021
8.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如： (x−a)2+(y−b)2可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)的距离.结合上述观点，可得y= x2+4x+8+ x2−4x+8的最小值为( )
A. 4 2B. 2 2C. 2+ 10D. 3+ 5
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 数据12，13，14，15，17，19，23，24，27，30的70%分位数是23.5
B. 已知关于x的不等式ax2+bx+c0的解集是{x|x>56}
C. 函数f(x+1)的定义域为[0,1]，则f(2x)的定义域为[2,4]
D. 若3a=4b=36，则2a+1b的值为1
10.已知a>0，b>0，直线l1：x+(a−4)y+1=0，l2：2bx+y−2=0，且l1⊥l2，则( )
A. 00
C. 存在一个a，使得这条曲线是偶函数的图像
D. a=3时，该曲线中x≥8的部分可以表示为y关于x的某一函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知命题“∃x∈[1,4]，x2−mx+4≥0”是假命题，则m的取值范围是______．
13.设函数f(x)=ax−9,xb>0)的右焦点F坐标为(1,0)，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4．
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程
(Ⅱ)过右焦点F的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点Q关于x轴的对称点为Q′，试问△FPQ′的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
19.(本小题12分)
定义运算：mnpq=mq−np，已知函数f(x)=lnxx−11a，g(x)=1x−1．
(1)若函数f(x)的最大值为0，求实数a的值；
(2)若函数ℎ(x)=f(x)+g(x)存在两个极值点x1，x2，证明：ℎ(x1)−ℎ(x2)x1−x2−a+20)，
解得r≥ 2，
又r∈( 2,+∞)⫋r∈[ 2，+∞)，
即“∀k∈R，直线l与圆C有公共点”是“r> 2”的必要不充分条件．
故选：B．
根据∀k∈R，直线l与圆C有公共点，可得(0,1)在圆内或圆上即可，代入圆的方程可得r的范围，再结合集合法判断充要条件即可．
本题考查直线与圆的位置关系，充要条件的判断，属于基础题．
4.A
【解析】解：∵tanαtanβ=−3，
∴sinαsinβ=−3csαcsβ，
∵cs(α+β)=csαcsβ−sinαsinβ=4csαcsβ=12，
∴csαcsβ=18，
∴cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ=−2csαcsβ=−14．
故选：A．
由已知结合同角基本关系及和差角公式进行化简即可求解．
本题主要考查了同角基本关系及和差角公式的应用，属于基础题．
5.B
【解析】解：甲、乙、丙、丁四人排成一列共有A44=24种可能，
丙不在排头，且甲或乙在排尾的情况有C21C21A22=8种可能，
故P=824=13．
故选：B．
先求出甲、乙、丙、丁四人排成一列的所有排法，然后求出丙不在排头，且甲或乙在排尾结果数，结合古典概率公式即可求解．
本题主要考查了古典概率公式的应用，属于基础题．
6.C
【解析】解：y′=1x+2a，令1x+2a=e，则x=1e−2a，有y=ln(1e−2a+2a)=−1，
即e(1e−2a)−2b=−1，即ae+b=1，
又a，b为正实数，则1ea+1b=(1ea+1b)(ae+b)=1+1+bea+eab≥2+2 bea⋅eab=4，
当且仅当bea=eab，即b=ea=12时，等号成立．，
故1ea+1b的取值范围是[4,+∞)．
故选：C．
利用导数的几何意义计算可得ae+b=1，结合基本不等式中“1”的活用计算即可得．
本题主要考查导数的几何意义，基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
7.A
【解析】解：令x=12，得(1−2×12)2021=b0+b12+b222+…+b202122021=0．
又因为b0=1，所以a1=b12+b222+…+b202122021=−1．
由an+1=SnSn+1=Sn+1−Sn，得Sn+1−SnSnSn+1=1Sn−1Sn+1=1，
所以1Sn+1−1Sn=−1，
所以数列{1Sn}是首项为1S1=−1，公差为−1的等差数列，
所以1Sn=−1+(n−1)⋅(−1)=−n，
所以Sn=−1n，所以S2021=−12021．
故选：A．
先根据二项式定理求出a1，再根据递推公式可得数列{1Sn}是首项为1S1=−1，公差为−1的等差数列，即可求出．
本题考查了二项式定理和数列的通项公式，考查了运算能力和求解能力，属于中档题．
8.A
【解析】解：∵y=f(x)= x2+4x+8+ x2−4x+8= (x+2)2+(0+2)2+ (x−2)2+(0−2)2，
则f(x)可看作x轴上一点P(x,0)到点A(−2,−2)与点B(2,2)的距离之和，即|PA|+|PB|，
则可知当A，P，B三点共线时，|PA|+|PB|取得最小值，
即(|PA|+|PB|)min=|AB|= (−2−2)2+(−2−2)2=4 2．
故选：A．
利用两点间距离公式可将问题转化为x轴上一点P(x,0)到点A(−2,−2)与点B(2,2)的距离之和的最小值，当A，P，B三点共线时(|PA|+|PB|)min=|AB|，进而即得．
本题主要考查两点间距离公式，属于基础题．
9.ABD
【解析】解：对于A，由10×70%=7，可知样本数据的70%分位数是第7项和第8项数据的平均数，
即为23+242=23.5，故A正确；
对于B，不等式ax2+bx+c0，解得x>56，故B正确；
对于C，因为函数f(x+1)的定义域为[0,1]，所以0≤x≤1，则1≤x+1≤2，
所以1≤2x≤2，解得0≤x≤1，所以f(2x)的定义域为[0,1]，故C错误；
对于D，因为3a=4b=36，所以a=lg336，b=lg436，
所以2a+1b=2lg336+1lg436=2lg363+lg364=lg369+lg364=lg3636=1，故D正确．
故选：ABD．
由百分位数概念可判断A；根据不等式ax2+bx+c0，则a+2b=4≥2 2ab，当且仅当a=2b，即a=2，b=1时等号成立，
所以00，b>0，则00，关于y的方程y3−ax0y+x02−20=0有三个实根．
令f(y)=y3−ax0y+x02−20，则f′(y)=3y2−ax0，
假设a≤0，∀x0>0，都有f′(y)≥0，即f(y)单调递增，
则方程y3−ax0y+x02−20=0在(0,+∞)最多有一个实根，与题图矛盾，假设错误．
所以a>0，选项B正确；
对于C，当a=0时，曲线C1：x2+y3=20，即函数y=320−x2的图像，
设f(x)=320−x2，x∈R，定义域关于原点对称．
且f(−x)=320−(−x)2=320−x2=f(x)，所以f(x)是偶函数．
所以存在a，使得曲线C1：x2+y3−axy=20是偶函数的图像，选项C正确；
对于D，当a=3时，曲线C1方程为x2+y3−3xy−20=0．
令x=8，得y3−24y+44=0，
令f(y)=y3−24y+44，则f(0)=44>0，f(3)=−10，
由零点存在性定理知f(y)=0至少两根，则x=8对应的y值不唯一，不符合函数定义，选项D错误．
故选：ABC．
A、B选项，转化为三次方程根的个数问题研究；C选项，举特例说明存在a值使曲线是偶函数的图像；D选项，令x=8，由零点存在性定理说明方程至少两根，对应y值不唯一即可说明y不是x的函数．
本题考查了函数与方程的应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
12.(5,+∞)
【解析】解：由题意可知，∀x∈[1,4]，x2−mx+4x+4x恒成立，
函数f(x)=x+4x在[1,2)上单调递减，在(2,4]上单调递增，
又f(1)=5，f(4)=5，∴f(x)max=5，∴m>5，
即m的取值范围是(5,+∞)．
故答案为：(5,+∞)．
由题意可知，∀x∈[1,4]，x2−mx+4x+4x恒成立，再根据函数f(x)=x+4x的单调性，求出f(x)在[1,4]上的最大值即可．
本题主要考查了函数的恒成立问题，分离参数法的应用，以及利用基本不等式求出最值，属于基础题．
13.[0,4]
【解析】解：①当a0，解得a>2，
∵ℎ(x1)−ℎ(x2)x1−x2=alnx1−x1+1x1−alnx2+x2−1x2x1−x2=a(lnx1−lnx2)x1−x2−2，
要证ℎ(x1)−ℎ(x2)x1−x2−a+2