2024-2025学年内蒙古赤峰三中九年级（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年内蒙古赤峰三中九年级（上）开学数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列函数：①y=3− 3x2；②y=2x2；③y=x(3−5x)；④y=(1+2x)(1−2x)，是二次函数的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2.用配方法解方程x2−x−154=0时，变形结果正确的是( )
A. (x−12)2=4B. (x−12)2=72C. (x−14)2=4D. (x−14)2=72
3.一元二次方程x2−2x−1=0的根的情况为( )
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
4.已知关于x的一元二次方程(k−2)x2+3x+k2−4=0的常数项为0，则k的值为( )
A. −2B. 2C. 2或−2D. 4或−2
5.关于抛物线y=x2−2x+c与y轴交于点(0,−3)，则下列说法不正确的是( )
A. 抛物线的开口方向向上B. 抛物线的对称轴是直线x=1
C. 当x=1时，y的最大值为−4D. 抛物线与x轴的交点为(−1.0)，(3,0)
6.若a是关于x的方程3x2−x−1=0的一个根，则2024−6a2+2a的值是( )
A. 2026B. 2025C. 2023D. 2022
7.抛物线y=x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表式是( )
A. y=(x−3)2−2B. y=(x−3)2+2C. y=(x+3)2−2D. y=(x+3)2+2
8.已知二次函数y=ax2+bx−1(a≠0)的图象经过点(1,1)，则代数式1−a−b的值为( )
A. −1B. 2C. −3D. 5
9.点P1(−1,y1)，P2(3,y2)，P3(5,y3)均在二次函数y=−x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y3>y2>y1B. y3>y1=y2C. y1>y2>y3D. y1=y2>y3
10.直线y=ax+b与抛物线y=ax2+bx+b在同一坐标系里的大致图象正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.关于x的方程(a−3)x2−4x−1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______．
12.若抛物线y=(x−2)2+(m+1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为______．
13.已知A(0,3)、B(2,3)是抛物线y=−x2+bx+c上两点，该抛物线的对称轴是______．
14.如图，函数y=−(x−ℎ)2+k的图象，则其解析式为______．
15.已知关于x的一元二次方程x2−2(m−1)x+m2=0.若方程的两根互为倒数，则m= ______．
16.已知关于x的方程x2−(m+3)x+4m−4=0的两个实数根，若等腰三角形ABC的一边长a=5，另两边b，c的长度恰好是这个方程的两个根.△ABC的周长为______．
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题20分)
按规定方法解方程：
(1)x2−3x+1=0；(公式法)
(2)4x(2x−1)=3(2x−1)；(因式分解法)
(3)(y+3)2=(5−3y)2；(直接开平方或因式分解法)
(4)3x2+6x−4=0.(配方法)
18.(本小题8分)
已知关于x的方程x2+ax−a−5=0．
(1)若方程有一个根为2，求a的值及该方程的另一个根；
(2)求证：不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
19.(本小题6分)
把二次函数y=a(x−ℎ)2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=12(x+1)2−1的图象．
(1)直接写出a、ℎ、k的值：a= ______、ℎ= ______、k= ______；
(2)二次函数y=a(x−ℎ)2+k的开口方向______、对称轴是______、顶点坐标是______．
20.(本小题8分)
阅读材料：材料：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．
(1)材料理解：一元二次方程5x2+10x−1=0的两个根为x1，x2，则x1+x2= ______，x1x2= ______；
(2)类比探究：已知实数m，n满足7m2−7m−1=0，7n2−7n−1=0.且m≠n，求m2n+mn2的值；
(3)思维拓展：已知实数s、t分别满足7s2+7s+1=0，t2+7t+7=0，且st≠1.求2st+7s+2t的值．
21.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A(3,0)，B(0,−3)，点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．
(1)分别求出直线AB和这条抛物线的解析式；
(2)若点P在第四象限，连接AM、BM，求线段PM最长时点P的坐标．
参考答案
1.C
2.A
3.B
4.A
5.C
6.D
7.C
8.A
9.D
10.D
11.a>−1且a≠3
12.m>−1
13.x=1
14.y=−(x+1)2+5
15.−1
16.13或14
17.解：(1)x2−3x+1=0，
a=1，b=−3，c=1，
Δ=b2−4ac=9−4=5，
x=−b± b2−4ac2a=3± 52，
故x1=3+ 52，x2=3− 52；
(2)4x(2x−1)=3(2x−1)，
整理得4x(2x−1)−3(2x−1)=0，
因式分解得(2x−1)(4x−3)=0，
∴2x−1=0，4x−3=0，
解得x1=12，x2=34；
(3)(y+3)2=(5−3y)2，
开方得y+3=±(5−3y)，
∴y+3=5−3y，y+3=−5+3y，
解得y1=12，y2=4；
(4)3x2+6x−4=0，
整理得x2+2x=43，
配方得x2+2x+1=43+1，即(x+1)2=73，
开方得x+1=± 213，
解得x1= 21−33，x2=− 21−33．
18.(1)解：根据题意，将x=2代入方程x2+ax−a−5=0，
得4+2a−a−5=0，
解得a=1，
∵x1+x2=−a，
∴2+x2=−1，
解得x2=−3，
∴a=1，方程的另一个根为−3；
(2)证明：∵Δ=a2−4(−a−5)=a2+4a+20=(a+2)2+16>0，
∴不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
19.(1)12，1，−5；
(2)向上，直线x=1，(1,−5)．
20.(1)−2，−15．
(2)∵7m2−7m−1=0，7n2−7n−1=0，且m≠n，
∴m、n可看作方程7x2−7x−1=0，
∴m+n=1，mn=−17，
∴m2n+mn2
=mn(m+n)
=−17×1
=−17．
(3)把t2+7t+7=0，两边同时除以t2得：
7⋅(1t)2+7⋅1t+1=0，
则实数s和1t可看作方程7x2+7x+1=0的根，
∴s+1t=−1，s⋅1t=17，
∴2st+7s+2t
=2s+7⋅st+2t
=2(s+1t)+7⋅st
=2×(−1)+7×17
=−2+1
=−1．
21.解：(1)抛物线y=x2+mx+n经过点A(3,0)，B(0,−3)，得
9+3m+n=0n=−3，
解得m=−2n=−3，
∴y=x2−2x−3．
设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)，经过A(3,0)，B(0,−3)，得
3k+b=0b=−3，
解得k=1b=−3，
∴直线AB的解析式为y=x−3．
(2)点P在第四象限，设P(t,t−3)(0∴PM=t−3−(t2−2t−3)=−t2+3t=−(t−32)2+94．
t=32时，PM取得最大值，t−3=−32．
∴P(32,−32)．