2024-2025学年内蒙古赤峰三中九年级（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年内蒙古赤峰三中九年级（上）开学数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列函数：①y=3− 3x2；②y=2x2；③y=x(3−5x)；④y=(1+2x)(1−2x)，是二次函数的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2.用配方法解方程x2−x−154=0时，变形结果正确的是( )
A. (x−12)2=4B. (x−12)2=72C. (x−14)2=4D. (x−14)2=72
3.一元二次方程x2−2x−1=0的根的情况为( )
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
4.已知关于x的一元二次方程(k−2)x2+3x+k2−4=0的常数项为0，则k的值为( )
A. −2B. 2C. 2或−2D. 4或−2
5.关于抛物线y=x2−2x+c与y轴交于点(0,−3)，则下列说法不正确的是( )
A. 抛物线的开口方向向上B. 抛物线的对称轴是直线x=1
C. 当x=1时，y的最大值为−4D. 抛物线与x轴的交点为(−1.0)，(3,0)
6.若a是关于x的方程3x2−x−1=0的一个根，则2024−6a2+2a的值是( )
A. 2026B. 2025C. 2023D. 2022
7.抛物线y=x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表式是( )
A. y=(x−3)2−2B. y=(x−3)2+2C. y=(x+3)2−2D. y=(x+3)2+2
8.已知二次函数y=ax2+bx−1(a≠0)的图象经过点(1,1)，则代数式1−a−b的值为( )
A. −1B. 2C. −3D. 5
9.点P1(−1,y1)，P2(3,y2)，P3(5,y3)均在二次函数y=−x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y3>y2>y1B. y3>y1=y2C. y1>y2>y3D. y1=y2>y3
10.直线y=ax+b与抛物线y=ax2+bx+b在同一坐标系里的大致图象正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.关于x的方程(a−3)x2−4x−1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______．
12.若抛物线y=(x−2)2+(m+1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为______．
13.已知A(0,3)、B(2,3)是抛物线y=−x2+bx+c上两点，该抛物线的对称轴是______．
14.如图，函数y=−(x−ℎ)2+k的图象，则其解析式为______．
15.已知关于x的一元二次方程x2−2(m−1)x+m2=0.若方程的两根互为倒数，则m= ______．
16.已知关于x的方程x2−(m+3)x+4m−4=0的两个实数根，若等腰三角形ABC的一边长a=5，另两边b，c的长度恰好是这个方程的两个根.△ABC的周长为______．
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题20分)
按规定方法解方程：
(1)x2−3x+1=0；(公式法)
(2)4x(2x−1)=3(2x−1)；(因式分解法)
(3)(y+3)2=(5−3y)2；(直接开平方或因式分解法)
(4)3x2+6x−4=0.(配方法)
18.(本小题8分)
已知关于x的方程x2+ax−a−5=0．
(1)若方程有一个根为2，求a的值及该方程的另一个根；
(2)求证：不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
19.(本小题6分)
把二次函数y=a(x−ℎ)2+k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=12(x+1)2−1的图象．
(1)直接写出a、ℎ、k的值：a= ______、ℎ= ______、k= ______；
(2)二次函数y=a(x−ℎ)2+k的开口方向______、对称轴是______、顶点坐标是______．
20.(本小题8分)
阅读材料：材料：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．
(1)材料理解：一元二次方程5x2+10x−1=0的两个根为x1，x2，则x1+x2= ______，x1x2= ______；
(2)类比探究：已知实数m，n满足7m2−7m−1=0，7n2−7n−1=0.且m≠n，求m2n+mn2的值；
(3)思维拓展：已知实数s、t分别满足7s2+7s+1=0，t2+7t+7=0，且st≠1.求2st+7s+2t的值．
21.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A(3,0)，B(0,−3)，点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．
(1)分别求出直线AB和这条抛物线的解析式；
(2)若点P在第四象限，连接AM、BM，求线段PM最长时点P的坐标．
答案解析
1.C
【解析】解：①y=3− 3x2；③y=x(3−5x)；④y=(1+2x)(1−2x)，是二次函数，共3个，
故选：C．
利用二次函数定义进行分析即可．
此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
2.A
【解析】解：x2−x−154=0，
x2−x=154，
x2−x+14=154+14，
(x−12)2=4．
故选：A．
利用配方法判断即可．
本题考查解一元二次方程−配方法，解题的关键是掌握配方法的步骤．
3.B
【解析】解：根据题意Δ=(−2)2−4×1×(−1)=8>0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
先计算判别式，得到Δ=(−2)2−4×1×(−1)=8>0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac.当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．
4.A
【解析】解：根据题意可得：
k−2≠0k2−4=0，
解得k=−2．
故选：A．
由一元二次方程的定义可得k−2±0，由题意又知k2−4=0，联立不等式组，求解可得答案．
本题考查了一元二次方程的解和一元二次方程的定义的应用，关键是能根据题意得出方程k2−4=0和k−2≠0．
5.C
【解析】解：A.a=1>0，则抛物线的开口方向向上，所以A选项不符合题意；
B.抛物线的对称轴是直线x=−−22×1=1，所以B选项不符合题意；
C.因为抛物线y=x2−2x+c与y轴交于点(0,−3)，则c=−3，所以y=(x−1)2−4，当x=1时，y的最小值为−4，所以C选项符合题意；
D.解方程x2−2x−3=0得x1=−1，x2=3，则抛物线与x轴的交点为(−1.0)，(3,0)，所以D选项不符合题意．
故选：C．
根据二次函数的性质对A选项进行判断；根据抛物线的对称轴方程可对B选项进行判断，利用配方法得到抛物线的顶点式，然后根据二次函数的性质对C选项进行判断；根据抛物线与x轴的交点问题对D选项进行判断．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
6.D
【解析】解：∵a是关于x的方程3x2−x−1=0的一个根，
∴3a2−a=1，
∴2022−6a2+2a=2024−2(3a2−a)=2024−2×1=2022，
故选：D．
把x=a代入3x2−x−1=0，得3a2−a=1，然后把所求式子化为2024−2(3a2−a)代入计算即可作答．
本题考查了一元二次方程的解，以及已知式子的值，求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
7.C
【解析】解：y=x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表式是y=(x+3)2−2，
故选：C．
根据函数图象的平移规律：左加右减，上加下减，可得答案．
本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
8.A
【解析】解：∵二次函数y=ax2+bx−1(a≠0)的图象经过点(1,1)，
∴a+b−1=1，
∴1−a−b=−1．
故选A．
把点(1,1)代入函数解析式求出a+b−1，然后即可得解．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，整体思想的利用是解题的关键．
9.D
【解析】解：∵y=−x2+2x+c，
∴对称轴为x=1，
P2(3,y2)，P3(5,y3)在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∵3<5，
∴y2>y3，
根据二次函数图象的对称性可知，P1(−1,y1)与(3,y1)关于对称轴对称，
故y1=y2>y3，
故选D．
10.D
【解析】解：A、由一次函数的图象可知a>0，b>0，由二次函数的性质可知，图象a>0，b<0，故选项不符合题意；
B、由一次函数的图象可知a>0，b>0，由二次函数的性质可知，图象a>0，b<0，故选项不符合题意；
C、由一次函数的图象可知a>0，b>0，由二次函数的性质可知，图象a>0，b>0，ab>0，而抛物线对称轴位于y轴右侧，则ab<0，故选项不符合题意；
D、由一次函数的图象可知a>0，b>0，由二次函数的性质可知，图象a>0，b>0，对称轴位于y轴左侧，则ab>0，故选项符合题意；
故选：D．
根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中a和b的正负情况和二次函数图象中a、b的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11.a>−1且a≠3
【解析】解：根据题意得a−3≠0且Δ=(−4)2−4(a−3)×(−1)>0，
解得a>−1且a≠3．
故答案为：a>−1且a≠3．
利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到a−3≠0且Δ=(−4)2−4(a−3)×(−1)>0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
12.m>−1
【解析】解：∵抛物线y=(x−2)2+(m+1)，
∴顶点坐标为(2,m+1)，
∵顶点在第一象限，
∴m+1>0，
∴m的取值范围为m>−1．
故答案为：m>−1．
直接利用顶点形式得出顶点坐标，结合第一象限点的特点列出不等式解答即可．
本题考查二次函数的性质，二次函数y=a(x−ℎ)2+k的顶点坐标为(ℎ,k)，以及各个象限点的坐标特征．
13.x=1
【解析】解：
∵A(0,3)、B(2,3)是抛物线y=−x2+bx+c上两点，
∴c=3−4+2b+c=3，解得b=2c=3，
∴抛物线解析式为y=−x2+2x+3，
∴对称轴为x=−22×(−1)=1，
故答案为：x=1．
把点的坐标代入可求得抛物线解析式，则可求得对称轴．
本题主要考查二次函数的性质，由已知点的坐标求得抛物线解析式是解题的关键．
14.y=−(x+1)2+5
【解析】解：由图象可知抛物线的顶点坐标为(−1,5)
所以函数的解析式为y=−(x+1)2+5．
故答案为y=−(x+1)2+5．
15.−1
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−2(m−1)x+m2=0.若方程的两根互为倒数，
设方程的一根为a，则得另一根为1a，
∴m2=1
又Δ=4(m−1)2−4m2≥0．
解得m=±1m≤ 12
所以m的值为−1．
故填空答案：−1．
可设方程的一根为a，则得另一根为1a，根据根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，列出方程组，解出即可．
本题考查根与系数的关系和判别式的有关问题，仔细分析，不难解决．
16.13或14
【解析】解：∵△ABC为等腰三角形，
∴b=c或b、c中有一个为5．
①当b=c时，Δ=(m−5)2=0，
解得：m=5，
∴原方程为x2−8x+16=0，
解得：b=c=4，
∵b+c=4+4=8>5，
∴4、4、5能构成三角形．
该三角形的周长为4+4+5=13．
②当b或c中的一个为5时，将x=5代入原方程，得：25−5m−15+4m−4=0，
解得：m=6，
∴原方程为x2−9x+20=0，
解得：x1=4，x2=5．
∵4、5、5能组成三角形，
∴该三角形的周长为4+5+5=14．
综上所述，该三角形的周长是13或14．
故答案为：13或14．
由等腰三角形的性质可知b=c或b、c中有一个为5，①当b=c时，根据根的判别式Δ=0，解之求出m值，将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根据三角形的三边关系即可得出该种情况不合适；②当方程的一根为5时，将x=5代入原方程求出m值，将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根据三角形的三边关系确定△ABC的三条边，结合三角形的周长即可得出结论．
本题考查了三角形三边关系、等腰三角形的性质以及解一元二次方程，此题属于易错题，解题时是需要分类讨论，以防漏解．
17.解：(1)x2−3x+1=0，
a=1，b=−3，c=1，
Δ=b2−4ac=9−4=5，
x=−b± b2−4ac2a=3± 52，
故x1=3+ 52，x2=3− 52；
(2)4x(2x−1)=3(2x−1)，
整理得4x(2x−1)−3(2x−1)=0，
因式分解得(2x−1)(4x−3)=0，
∴2x−1=0，4x−3=0，
解得x1=12，x2=34；
(3)(y+3)2=(5−3y)2，
开方得y+3=±(5−3y)，
∴y+3=5−3y，y+3=−5+3y，
解得y1=12，y2=4；
(4)3x2+6x−4=0，
整理得x2+2x=43，
配方得x2+2x+1=43+1，即(x+1)2=73，
开方得x+1=± 213，
解得x1= 21−33，x2=− 21−33．
【解析】(1)根据公式法进行计算即可；
(2)整理后，根据因式分解进行计算即可；
(3)根据直接开平方进行计算即可；
(3)根据配方法进行配方计算即可．
本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18.(1)解：根据题意，将x=2代入方程x2+ax−a−5=0，
得4+2a−a−5=0，
解得a=1，
∵x1+x2=−a，
∴2+x2=−1，
解得x2=−3，
∴a=1，方程的另一个根为−3；
(2)证明：∵Δ=a2−4(−a−5)=a2+4a+20=(a+2)2+16>0，
∴不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【解析】(1)根据题意将x=2代入方程求出a的值，再根据根与系数的关系可得2+x2=−1，进一步即可求出另一个根；
(2)根据Δ=a2−4(−a−5)=(a+2)2+16>0，即可得证．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握这些知识是解题的关键．
19.12 1 −5 向上 直线x=1 (1,−5)
【解析】解：(1)二次函数y=12(x+1)2−1的图象的顶点坐标为(−1,−1)，把点(−1,−1)先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到点的坐标为(1,−5)，
所以原二次函数的解析式为y=12(x−1)2−5，
所以a=12，ℎ=1，k=−5．
故答案为：12，1，−5；
(2)二次函数y=a(x−ℎ)2+k，即y=12(x−1)2−5的开口方向向上，对称轴是直线x=1，顶点坐标为(1,−5)．
故答案为：向上，直线x=1，(1,−5)．
(1)利用逆向思维的方法求解：把二次函数y=12(x+1)2−1的图象先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到二次函数y=a(x−ℎ)2+k的图象，然后利用顶点的平移情况确定原二次函数解析式，然后写出a、ℎ、k的值；
(2)根据二次函数的性质求解．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了二次函数的性质．
20.−2 −15
【解析】解：(1)∵一元二次方程5x2+10x−1=0的两个根为x1，x2，
∴x1+x2=−2，x1x2=−15．
故答案为：−2，−15．
(2)∵7m2−7m−1=0，7n2−7n−1=0，且m≠n，
∴m、n可看作方程7x2−7x−1=0，
∴m+n=1，mn=−17，
∴m2n+mn2
=mn(m+n)
=−17×1
=−17．
(3)把t2+7t+7=0，两边同时除以t2得：
7⋅(1t)2+7⋅1t+1=0，
则实数s和1t可看作方程7x2+7x+1=0的根，
∴s+1t=−1，s⋅1t=17，
∴2st+7s+2t
=2s+7⋅st+2t
=2(s+1t)+7⋅st
=2×(−1)+7×17
=−2+1
=−1．
(1)直接根据根与系数的关系可得答案；
(2)由题意得出m、n可看作方程7x2−7x−1=0，据此得到m+n=1，mn=−17，将其代入计算可得；
(3)把t2+7t+7=0，两边同时除以t2得7⋅(1t)2+7⋅1t+1=0，据此可得实数s和1t可看作方程7x2+7x+1=0的根，进一步代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值、根与系数的关系，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则．
21.解：(1)抛物线y=x2+mx+n经过点A(3,0)，B(0,−3)，得
9+3m+n=0n=−3，
解得m=−2n=−3，
∴y=x2−2x−3．
设直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)，经过A(3,0)，B(0,−3)，得
3k+b=0b=−3，
解得k=1b=−3，
∴直线AB的解析式为y=x−3．
(2)点P在第四象限，设P(t,t−3)(0∴PM=t−3−(t2−2t−3)=−t2+3t=−(t−32)2+94．
t=32时，PM取得最大值，t−3=−32．
∴P(32,−32)．
【解析】(1)将已知两点坐标代入解析式，求解方程组即可；
(2)点P在第四象限，设P(t,t−3)(0本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数性质；由坐标表示线段长，进而运用二次函数性质是解题的关键．