2024-2025学年内蒙古呼和浩特市武川三中九年级（上）开学数学试卷（含详解）

这是一份2024-2025学年内蒙古呼和浩特市武川三中九年级（上）开学数学试卷（含详解），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列根式中，不是最简二次根式的是( )
A. 10B. 8C. 6D. 2
2.下列计算正确的是( )
A. 2+ 6= 8 B. 6 3−2 3=4 C. 4 2×2 3=6 6 D. 12− 3=2+ 3
3.若y=(m−2)x+(m2−4)是正比例函数，则m的取值是( )
A. 2B. −2C. ±2D. 任意实数
4.下列说法中正确的是( )
A. 已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2=c2
B. 在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C. 在Rt△ABC中，∠C=90°，所以BC2+AC2=AB2
D. 在Rt△ABC中，∠B=90°，所以BC2+AC2=AB2
5.下列说法中，不正确的是( )
A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
B. 对角线垂直的矩形是正方形
C. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D. 一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
6.某校规定学生的学期学业成绩由三部分组成：平时成绩占20%，期中成绩占30%，期末成绩占50%，小颖的平时、期中、期末成绩分别为85分、90分、92分，则她本学期的学业成绩为( )
A. 85B. 90C. 92D. 89
7.如图，已知直线l1：y=−2x+4与坐标轴分别交于A、B两点，那么过原点O且将△AOB的面积平分的直线l2的解析式为( )
A. y=12x
B. y=x
C. y=32x
D. y=2x
8.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长16cm的直吸管露在罐外部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是( )
A. 4≤a≤5
B. 3≤a≤4
C. 2≤a≤3
D. 1≤a≤2
9.如图.将边长为4的菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在对角线的交点O处，若折痕EF=2 3.则∠A=( )
A. 120°B. 100°C. 60°D. 30°
10.如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为点G，连接CG，下列说法：①AG>GE；②AE=BF；③点G运动的路径长为π；④CG的最小值 5−1.其中正确的说法有( )个．
A. 4B. 3C. 2D. 1
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.若|a−b+1|与 a+2b+4互为相反数，则(a+b)2的值是______．
12.一组数据1，2，a的平均数为2，另一组数据−1，a，1，2，b的唯一众数为−l，则数据−1，a，1，2，b的中位数为______．
13.如图，已知AC=4，BC=3，BD=12，AD=13，∠ACB=90°，则阴影部分的面积为______．
14.如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长是______．
15.已知O为坐标原点，点A(2,m)在直线y=2x上，在x轴上有一点B使得△AOB的面积为8，则直线AB与y轴的交点坐标为______．
16.一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则下列结论
①k<0；②a>0；③当x<3时，y1三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算．
(1)(2 3−1)2+( 3+2)( 3−2)；
(2)x2−2x−1=0(配方法)．
18.(本小题6分)
如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=16，BD=12，求菱形的高DH．
19.(本小题6分)
我校举行“中国梦⋅校园好声音”歌手大赛，初一、初二年级组根据年级初赛成绩，各选出5名选手参加学校总决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．
(1)根据图示填写表格；
(2)结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？
(3)计算两队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
20.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−43x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
(1)求点C和点D的坐标；
(2)y轴上是否存在一点P，使得S△PAB=12S△OCD？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21.(本小题8分)
甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品．新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销．甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折．
(1)以x(单位：元)表示商品原价，y(单位：元)表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数解析式；
(2)新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？
22.(本小题8分)
如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE//AC且DE=12AC，连接AE交OD于点F，连接CE、OE．
(1)求证：四边形OCED为矩形；
(2)若菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，求AE的长．
23.(本小题10分)
如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→C方向运动，且速度为每秒1个单位长度，点Q从点B开始沿C→B→A方向运动，且速度为每秒2个单位长度，它们同时出发，设出发的时间为t秒．
(1)出发2秒后，求线段PQ的长．
(2)t为何值时，△APB是等腰三角形？
(3)当点Q在边BA上运动时，求能使△CBQ成为等腰三角形的运动时间．
答案解析
1.B
【解析】解：因为 8= 2×22=2 2，因此 8不是最简二次根式．
故选：B．
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式中的两个条件(被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式)是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
规律总结：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
(1)被开方数不含分母；
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
2.D
【解析】解：A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式=4 3，不符合题意；
C、原式=8 6，不符合题意；
D、原式=2+ 3(2− 3)(2+ 3)=2+ 3，符合题意．
故选：D．
A、原式不能合并，不符合题意；
B、原式合并同类二次根式得到结果，即可作出判断；
C、原式利用二次根式乘法法则计算得到结果，即可作出判断；
D、原式分母有理化得到结果，即可作出判断．
此题考查了二次根式的混合运算，以及分母有理化，熟练掌握运算法则及分母有理化的方法是解本题的关键．
3.B
【解析】解：∵函数y=(m−2)x+(m2−4)是正比例函数，
∴m2−4=0，m−2≠0，
得m=−2，
故选：B．
根据函数y=(m−2)x+(m2−4)是正比例函数，可知m2−4=0，得m的值．
本题考查正比例函数的定义，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数的定义解答．
4.C
【解析】解：A不正确；
∵以a，b，c为三边的三角形不一定是直角三角形，
∴A不正确；
B不正确；
∵直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，
∴B不正确；
C正确；
∵∠C=90°，
∴AB为斜边，
∴BC2+AC2=AB2，
∴C正确；
D不正确；
∵∠B=90°，
∴AC为斜边，
∴AB2+BC2=AC2，
∴D不正确；
故选：C．
以a，b，c为三边的三角形不一定是直角三角形，得出A不正确；
由直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，得出B不正确；
由勾股定理得出C正确，D不正确；即可得出结论．
本题考查了勾股定理的运用；熟练掌握勾股定理，并能进行推理论证是解决问题的关键．
5.D
【解析】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，是菱形的判定定理，故选项正确；
B、根据正方形的性质，正方形的对角线互相垂直平分，相等且平分对角，故选项正确；
C、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，符合平行四边形的判定，故选项正确；
D、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形，故选项错误．
故选：D．
根据正方形、菱形、矩形中对角线的性质，对选项一一分析，比较其异同易得答案，注意这些性质应牢记．
本题主要考查矩形、菱形、正方形的判定及性质定理．学生需熟记课本中的基本定义．熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定定理是解答此题的关键．
6.B
【解析】解：她本学期的学业成绩为：20%×85+30%×90+50%×92=90(分)．
故选：B．
根据加权平均数的计算方法计算即可．
本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的定义是解题的关键．
7.D
【解析】解：如图，当y=0，−2x+4=0，解得x=2，则A(2,0)；
当x=0，y=−2x+4=4，则B(0,4)，
∴AB的中点坐标为(1,2)，
∵过原点O的直线l2把△AOB平分，
∴直线l2过AB的中点，
设直线l2的解析式为y=kx，
把(1,2)代入得2=k，解得k=2，
∴l2的解析式为y=2x，
故选：D．
根据坐标轴上点的坐标特征求出A(2,0)，B(0,4)，则AB的中点为(1,2)，所以l2经过AB的中点，直线l2把△AOB平分，然后利用待定系数法求l2的解析式；
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，明确直线l2过AB的中点是解题的关键．
8.B
【解析】解：如图，
当吸管底部在地面圆心时吸管在罐内部分b最短，
此时b就是圆柱形的高，
即b=12cm；
∴a=16−12=4(cm)，
当吸管底部在饮料罐的壁底时吸管在罐内部分b最长，
b= 122+52=13(cm)，
∴此时a=3，
所以3≤a≤4．
故选：B．
如图，当吸管底部在O点时吸管在罐内部分a最短，此时a就是圆柱形的高；当吸管底部在A点时吸管在罐内部分a最长，此时a可以利用勾股定理在Rt△ABO中即可求出
本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息，正确理解题意是解题的关键．
9.A
【解析】解：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵A沿EF折叠与O重合，
∴EF⊥AC，EF平分AO，
∵AC⊥BD，
∴EF//BD，
∴E、F分别为AB、AD的中点，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EF=12BD，
∴BD=2EF=4 3，
∴BO=2 3，
∴AO= AB2−BO2=2，
∴AO=12AB，
∴∠ABO=30°，
∴∠BAO=60°，
∴∠BAD=120°．
故选：A．
连接AC，根据菱形的性质得出AC⊥BD，根据折叠得出EF⊥AC，EF平分AO，得出EF//BD，得出EF为△ABD的中位线，根据三角形中位线定理求出BD的长，进而可得到BO的长，由勾股定理可求出AO的长，则∠ABO可求出，继而∠BAO的度数也可求出，再由菱形的性质可得∠BAD=2∠BAO．
本题考查了折叠的性质、菱形的性质、三角形中位线定理以及勾股定理的运用；熟练掌握菱形的性质和翻折变换的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
10.C
【解析】解：∵在正方形ABCD中，BF⊥AE，
∴∠AGB保持90°不变，
∴G点的轨迹是以AB中点O为圆心，AO为半径的圆弧，
∴当E移动到与C重合时，F点和D点重合，此时G点为AC中点，
∴AG=GE，故①错误；
∵BF⊥AE，
∴∠AEB+∠CBF=90°，
∵∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
∠BAE=∠CBF∠ABE=∠BCF=90°AB=BC，
∴△ABE≌△BCF(AAS)，
∴故②正确；
∵当E点运动到C点时停止，
∴点G运动的轨迹为14圆，
圆弧的长=14π×2=12π，故③错误；
由于OC和OG的长度是一定的，因此当O、G、C在同一条直线上时，CG取最小值，
OC= OB2+BC2= 5，
CG的最小值为OC−OG= 5−1，故④正确；
综上所述，正确的结论有②④．
故选C．
根据正方形对角线的性质可得出当E移动到与C重合时，F点和D点重合，此时G点为AC中点，故①错误；求得∠BAE=∠CBF，根据正方形的性质可得AB=BC，∠ABC=∠C=90°，然后利用“角角边”证明△ABE和△BCF全等，根据全等三角形对应角相等可得AE=BF，判断出②正确；根据题意，G点的轨迹是以AB中点O为圆心，AO为半径的圆弧，然后求出弧的长度，判断出③错误；由于OC和OG的长度是一定的，因此当O、G、C在同一条直线上时，CG取最小值，根据勾股定理求出最小CG长度．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，弧长的计算，勾股定理的应用，熟记性质并求出△ABE和△BCF全等是解题的关键，此题求运动轨迹有一定的难度．
11.9
【解析】解：根据题意得：|a−b+1|+ a+2b+4=0，
∴a−b=−1a+2b=−4，
解得：a=−2b=−1，
则原式=9，
故答案为：9
利用相反数的性质列出关系式，再利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到a与b的值，即可求出原式的值．
此题考查了解二元一次方程组，相反数，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12.1
【解析】解：∵一组数据1，2，a的平均数为2，
∴1+2+a=3×2
解得a=3
∴数据−l，a，1，2，b的唯一众数为−l，
∴b=−1，
∴数据−1，3，1，2，b的中位数为1．
故答案为：1．
根据平均数求得a的值，然后根据众数求得b的值后再确定新数据的中位数．
本题考查了平均数、众数及中位数的定义，解题的关键是正确的利用其定义求得未知数的值．
13.24
【解析】解：连接AB，
∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB= AC2+BC2= 42+32=5，
∵BD=12，AD=13，
∴AB2+BD2=52+122=169，AD2=132=169，
∴AB2+BD2=AD2，
∴△ABD是直角三角形，
∴∠ABD=90°，
∴阴影部分的面积=△ABD的面积−△ABC的面积
=12AB⋅BD−12AC⋅BC
=12×5×12−12×4×3
=30−6
=24，
故答案为：24．
先在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长，然后利用勾股定理的逆定理证明△ABD是直角三角形，从而可得∠ABD=90°，最后根据阴影部分的面积=△ABD的面积−△ABC的面积，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
14.16
【解析】解：∵AC是菱形ABCD的对角线，E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=12BC=2，
∴BC=4，
∴菱形ABCD的周长是4×4=16．
故答案为：16．
根据题意可得出EF是△ABC的中位线，易得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长=4BC．
本题考查的是三角形中位线的性质及菱形的性质，关键是根据EF是△ABC的中位线，得出BC的长度，难度一般．
15.(0,8)或(0,83)
【解析】解：∵点A(2,m)在直线y=2x上，
∴m=2×2=4，即A(2,4)．
设B(a,0)，直线AB的解析式为y=kx+b(k≠0)．
∵△AOB的面积是8，
∴12OB⋅AD=12|a|×4=8，
解得，a=4或a=−4．
当a=4时，B(4,0).则2k+b=44k+b=0，
解得，k=−2 b=8，
所以直线AB的解析式为y=−2x+8．
令x=0，则y=8.即AB所在的直线与y轴的交点的坐标是(0,8)．
同理，当a=−4时，AB所在的直线与y轴的交点的坐标是(0,83).
综上所述，符合条件的点的坐标是(0,8)或(0,83)；
故答案是：(0,8)或(0,83).
把点A的坐标代入直线方程可以求得点A的坐标，根据三角形的面积公式求得点B的坐标，利用待定系数法可以求得直线AB的解析式，然后再根据该直线解析式来求AB所在的直线与y轴的交点的坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，求出直线AB的解析式是解题的关键．
16.①
【解析】解：①y1=kx+b的图象过一、二、四象限，则k<0；故此选项正确；
②y2=x+a的图象过一、三、四象限，则a<0；故此选项错误；
③由于两函数图象交点横坐标为3，则当x<3时，y1>y2；故此选项错误．
故答案为①．
根据一次函数的图象和性质即可判断出k和a的取值范围；由图象的交点横坐标即可得到③的结论．
此题考查了一次函数的图象和性质及一次函数与不等式组的关系，要结合图形，利用数形结合来解答．
17.解：(1)(2 3−1)2+( 3+2)( 3−2)
=12−4 3+1+3−4
=12−4 3；
(2)x2−2x−1=0，
∴x2−2x=1，
则x2−2x+12=1+12，
∴(x−1)2=2．
∴x−1=± 2．
∴x1=1+ 2，x2=1− 2．
【解析】(1)利用完全平方公式和平方差公式进行计算即可；
(2)原方程配方变形为(x−1)2=2，再开平方即可求出方程的解．
此题考查了二次根式的混合运算和配方法解一元二次方程．将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
18.解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OD=OB=12BD=6，OA=OC=12AC=8，
∴AB= OA2+OB2= 82+62=10，
∵DH⊥AB
∴菱形ABCD的面积=AB⋅DH=12⋅AC⋅BD，
∴DH=12×16×1210=485．
【解析】利用勾股定理求出AB，再利用面积法求解．
本题考查菱形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题．
19.(1)85 85 100
解：(2)初一、初二组成绩的平均数相同，而初一组成绩的中位数大于初二组，
所以初一组的高分人数多于初二组，
∴初一组的成绩好；
(3)S初一2=15[(75−85)2+(80−85)2+(85−85)2+(85−85)2+(100−85)2]=70，
S初二2=15[(70−85)2+(100−85)2+(100−85)2+(75−85)2+(80−85)2]=160，
∵S初一2∴初一组选手成绩较稳定．
【解析】解：(1)将初一组成绩重新排列为75、80、85、85、100，
∴初一组成绩的中位数为85分，
初二组成绩重新排列为70、75、80、100、100，
∴初二组成绩的平均数为70+75+80+100+1005=85(分)，众数为100分，
故答案为：85、85、100；
(2)见答案；
(3)见答案．
(1)由条形图得出初一组、初二组的成绩，再根据中位数、众数和平均数的定义求解即可；
(2)在平均数相等的前提下比较中位数大小即可得出答案；
(3)根据方差的定义列式计算，再由方差的性质可得答案．
本题考查条形统计图、加权平均数、众数、中位数、方差，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
20.解：(1)令x=0得：y=4，
∴B(0,4)．
∴OB=4，
令y=0得：0=−43x+4，
解得：x=3，
∴A(3,0)．
∴OA=3．
在Rt△OAB中，AB= OA2+OB2=5，
∵AC=AB=5，
∴OC=OA+AC=3+5=8，
∴C(8,0)．
设OD=x，则CD=DB=x+4．
在Rt△OCD中，DC2=OD2+OC2，即(x+4)2=x2+82，
解得：x=6，
∴D(0,−6)．
故C(8,0)，D(0,−6)；
(2)存在，理由如下：
∵S△PAB=12S△OCD，
∴S△PAB=12×12×6×8=12．
∵点P在y轴上，S△PAB=12，
∴12BP⋅OA=12，即12×3BP=12，
解得：BP=8，
∴P点的坐标为(0,12)或(0,−4)．
【解析】(1)通过y=−43x+4得A(3,0)，B(0,4)，再根据AB= OA2+OB2可得出AB的长，由AC=AB=5，得C(8,0)，设OD=x，则CD=DB=x+4.由勾股定理DC2=OD2+OC2，进而即可求解；
(2)由S△PAB=12S△OCD，得S△PAB=12，由12BP⋅OA=12，即可得BP=8．
本题主要考查一次函数的应用、勾股定理的应用，掌握相关知识并通过表达式求出相关点坐标是解题的关键．
21.解：(1)由题意可得，
y甲=0.9x，
当0≤x≤100时，y乙=x，
当x>100时，y乙=100+(x−100)×0.8=0.8x+20，
由上可得，y乙=x(0≤x≤100)0.8x+20(x>100)；
(2)0x>100时，当0.9x<0.8x+20时，得x<200，即100故0当0.9x=0.8x+20时，得x=200，即此时两家商场购物一样；
当0.9x>0.8x+20时，得x>200，即此时选择乙商场购物更省钱．
【解析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
(1)根据题意，可以分别写出两家商场对应的y关于x的函数解析式；
(2)根据题意，可以得到相应的不等式，从而可以得到新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱．
22.(1)证明：四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC=12AC，AD=CD，
∵DE//AC且DE=12AC，
∴DE=OA=OC，
∴四边形OADE、四边形OCED都是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形OCED是矩形；
(2)解：∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴AC=AB=6，
∴在矩形OCED中，CE=OD= AD2−AO2=3 3．
∴在Rt△ACE中，AE= AC2+CE2=3 7．
【解析】(1)由菱形ABCD中，DE//AC且DE=12AC，易证得四边形OCED是平行四边形，于是得到结论；
(2)由菱形的对角线互相垂直，可证得四边形OCED是矩形，根据菱形的性质得出AC=AB，再根据勾股定理得出AE的长度即可．
本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用．注意证得四边形OCED是平行四边形，四边形OCED是矩形是关键．
23.解：(1)出发2秒后，CQ=2×2=4，CP=AC−AP=8−1×2=6，
∴PQ= CQ2+CP2= 16+36=2 13；
(2)当△APB是等腰三角形时，只存在AP=BP，
∵AP=t，
∴CP=AC−AP=8−t，
∴BP= BC2+CP2= 62+(8−t)2，
∴t= 62+(8−t)2，
解得：t=254；
(3)分类讨论：①当CQ=BQ时，如图1，

则∠B=∠BCQ．
∵∠B+∠A=∠BCQ+∠ACQ=90°，
∴∠A=∠ACQ，
∴AQ=CQ，
∴AQ=CQ=BQ．
∵AB= AC2+BC2=10，
∴BQ=12AB=5，
∴BC+BQ=6+5=11，
∴t=112；
②当BQ=BC时，如图2，

∵BQ=2t−6，
∴6=2t−6，
解得：t=6；
③当CQ=BC时，过点C作CE⊥AB于点E，如图3，

∴S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CE，
∴12×6×8=12×10CE，
∴CE=245，
∴BE= BC2−BE2= 62−(245)2=185，
∴BQ=2BE=365，
∴CE+BE=6+365=665，
∴t=665÷2=335．
综上可知当t=112或t=6或t=335时，△CBQ为等腰三角形．
【解析】(1)由题意可求出CQ=4，CP=AC−AP=6，再根据勾股定理求解即可；
(2)由等腰三角形的定义结合勾股定理可列出关于t的等式，解之即可；
(3)分类讨论：①当CQ=BQ时，②当BQ=BC时和③当CQ=BC时分别求解即可．
本题考查等腰三角形的定义和性质，勾股定理，一元一次方程的实际应用，等积法的应用等知识．利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键．平均数(分)
中位数(分)
众数(分)
初一组
85
______
85
初二组
______
80
______