2024-2025学年山东省聊城实验中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年山东省聊城实验中学九年级（上）开学数学试卷（含解析），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在下列各根式中，最简二次根式有( )个．
① 42；
② 12；
③ a2−b2；
④32
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.下列运算错误的是( )
A. 2⋅ 3= 5B. 2⋅ 3= 6
C. 6÷ 2= 3D. 18= 32×2=3 2
3.“五一节”期间，王老师一家自驾游去了离家170千米的某地，下面是他们家的距离y(千米)与汽车行驶时间x(小时)之间的函数图象，当他们离目的地还有20千米时，汽车一共行驶的时间是( )
A. 2小时
B. 2.2小时
C. 2.25小时
D. 2.4小时
4.下列图形是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
5.若关于x的一元一次不等式组x−a≥0,2x+1>3的解集为x>1，则a的取值范围是( )
A. a1D. a≥1
6.下列各式中与 3是同类二次根式的是( )
A. 6B. 9C. 12D. 18
7.下列各组线段中是成比例线段的是( )
A. 2cm，4cm，6cm，6cmB. 2cm，4cm，4cm，8cm
C. 4cm，8cm，12cm，16cmD. 3cm，6cm，9cm，12cm
8.若两个相似三角形对应边上的高线之比为3：1，则对应角的平分线之比为( )
A. 9：1B. 6：1C. 3：1D. 3：1
9.如图，线段BD，CE相交于点A，DE//BC，若AB=8，AD=4，DE=3，则BC的长为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
10.已知△ABC与△DEF相似，且相似比是1：3，那么它们的面积比S△ABC：S△DEF=( )
A. 1：3B. 1：6C. 1：9D. 3：1
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.已知函数y=(m−1)x|m|+2是一次函数，则m=______．
12.已知x+y=2 3，xy=3，则x2y+xy2的值为______．
13.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BD⊥CD，AC=6，BD=4，则AB的长为______．
14.某天上午的大课间，小明和小刚站在操场上，同一时刻测得他们的影子长分别是2m和2.2m，已知小明的身高是1.6m，则小刚的身高是______m.
15.如图，在平面直角坐标系的第一象限内，△A′B′C′与△ABC关于原点O位似，相似比为2：1，点A的坐标为(1,2)，则点A′的坐标为______．
三、解答题：本题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
先化简，再求值：(2a+b)2−(2a+b)(2a−b)−2b2，其中a= 3+1，b= 3−1．
17.(本小题8分)
解不等式：−16(2x−4)≤13(x+6)，并把解集表示在数轴上．
18.(本小题12分)
某校社会实践小组为了测量花丛中路灯AB的高度，在地面上D处垂直于地面竖立了高度为1.7m的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点C，路灯的顶端点A正好在同一直线上，测得ED=3m，将标杆向后平移5m到达点G处，这时地面上的点H，标杆的顶端点F，路灯的顶端点A正好在同一直线上，这时测得GH=5m，请你根据以上数据，计算花丛中路灯AB的高度．
19.(本小题12分)
如图，在△ABC中，过A点作AD//BC，交∠ABC的平分线于点D，点E在BC上，DE//AB．
(1)求证：四边形ABED是菱形；
(2)当BC=6，AB=4时，求DF的长．
答案解析
1.B
【解析】解： 42的被开方数不含开的尽的因数，是最简二次根式，故①符合题意；
12的被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故②不符合题意；
a2−b2的被开方数不含开的尽的因数，是最简二次根式，故③符合题意；
32不是二次根式，故④不符合题意；
最简二次根式的有2个，
故选：B．
根据最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽方的因数或因式，可得答案．
本题考查最简二次根式，熟练掌握最简二次根式需满足的条件是解答的关键．
2.A
【解析】解：A、 2× 3= 6，故本选项符合题意；
B、 2× 3= 6，故本选项不符合题意；
C、 6÷ 2= 3，故本选项不符合题意；
D、 18=3 2，故本选项不符合题意；
故选：A．
根据二次根式的乘法法则和二次根式的性质逐个判断即可．
本题考查了二次根式的乘除和二次根式的性质，能灵活运用二次根式的乘法法则进行化简是解此题的关键，注意： a⋅ b= ab(a≥0,b≥0)．
3.C
【解析】解：设AB段的函数解析式是y=kx+b，
y=kx+b的图象过A(1.5,90)，B(2.5,170)，
1.5k+b=902.5k+b=170，
解得k=80b=−30
∴AB段函数的解析式是y=80x−30，
离目的地还有20千米时，即y=170−20=150km，
当y=150时，80x−30=150
解得：x=2.25ℎ，
故选：C．
根据待定系数法，可得一次函数解析式，根据函数值，可得相应自变量的值．
本题考查了一次函数的应用，利用了待定系数法求解析式，利用函数值求自变量的值．
4.C
【解析】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：C．
根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
此题主要考查了中心对称图形，关键是要寻找对称中心，旋转180°后重合．
5.B
【解析】解：解不等式x−a≥0，得：x≥a，
解不等式2x+1>3，得：x>1，
∵不等式组的解集为x>1，
∴a≤1，
故选：B．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6.C
【解析】解：A、 6与 3不是同类二次根式，
B、 9=3与 3不是同类二次根式，
C、 12=2 3与 3是同类二次根式，
D、 18=3 2与 3不是同类二次根式，
故选：C．
先化简二次根式，再根据同类二次根式的定义判定即可．
本题考查了同类二次根式，解题的关键是二次根式的化简．
7.B
【解析】解：A、由于2×6≠4×6，所以不成比例，不符合题意；
B、由于2×8=4×4，所以成比例，符合题意；
C、由于4×16≠8×12，所以不成比例，不符合题意；
D、由于3×12≠6×9，所以不成比例，不符合题意．
故选：B．
四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．
本题考查线段成比例的知识．解决本类问题只要计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例．
8.C
【解析】解：
∵两个相似三角形对应高之比是3：1，
∴两个相似三角形的相似比是3：1，
∴它们的对应角平分线之比为3：1，
故选C．
9.D
【解析】解：∵DE//BC，
∴△EAD∽△CAB，
∴ADAB=DEBC，
∵AB=8，AD=4，DE=3，
∴48=3BC，
∴BC=6，
故选：D．
由DE//BC，可证△EAD∽△CAB，可得ADAB=DEBC，再代入求解即可．
本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
10.C
【解析】解：∵△ABC与△DEF相似，且相似比是1：3，
∴S△ABC：S△DEF=1：9，
故选：C．
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．
本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是知道相似三角形的面积比等于相似比的平方．
11.−1
【解析】解：根据次函数的定义可知：|m|=1，m−1≠0，
解得：m=−1．
故答案是：−1．
根据一次函数的定义可列方程：|m|=1，m−1≠0，继而即可求出m的值．
本题主要考查了一次函数的定义，注意掌握一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
12.6 3
【解析】解：∵x+y=2 3，xy=3，
∴x2y+xy2
=xy(x+y)
=3×2 3
=6 3；
故答案为：6 3．
把所求式子变形后整体代入计算即可．
本题考查二次根式化简求值，解题的关键是整体代入思想的应用．
13. 5
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，AO=CO=12AC=12×6=3，BO=DO=12BD=12×4=2，
∵对角线AC，BD相交于点O，BD⊥CD，
∴∠ABD=∠CDB=90°，
在Rt△ABO中，
AB= AO2−OB2= 32−22= 5．
故答案为： 5．
再利用平行四边形的性质结合勾股定理得出AB的长．
本题考查了平行四边形的性质及勾股定理，熟练掌握平行四边形性质是关键．

【解析】解：设小刚的身高是x米．
2：2.2=1.6：x，
解得：x=1.76，
故小刚的身高是1.76米，
故答案为：1.76．
同一时间，同一地点测得物体与影子的比值相等，也就是两人的身高比等于影长比，据此解答．
本题考查了相似三角形的应用，解答此题的关键是，判断实际高度之比与影子之比相等，由此列出比例解决问题．
15.(2,4)
【解析】解：根据题意，△A′B′C′与△ABC关于原点O位似，且相似比为2：1，
则OA′=2OA，
∵点A的坐标为(1,2)，
则A′的坐标为(2,4)
故答案为：(2,4)．
根据位似图形相似及相似比即可得出结果．
本题主要考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．
16.解：原式=4a2+4ab+b2−(4a2−b2)−2b2
=4a2+4ab+b2−4a2+b2−2b2
=4ab，
当a= 3+1，b= 3−1时，原式=4×( 3+1)×( 3−1)=8．
【解析】根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项法则把原式化简，把a、b的值代入计算即可．
本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
17.解：−16(2x−4)≤13(x+6)，
−(2x−4)≤2(x+6)，
−2x+4≤2x+12，
−4x≤8，
x≥−2．
不等式的解集在数轴上表示如下：

【解析】不等式的解集在数轴上表示时，空心圈表示不包含该点，实心点表示包含该点．先求出不等式的解集，再在数轴上表示即可．
本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．
18.解：由题意可得：∵DC//AB，
∴△EDC∽△EBA，
∴DCAB=EDEB，
∵FG//AB，
∴△FHG∽△AHB，
∴FGAB=GHBH，
∵DC=FG，
∴DEBE=GHBH，
∵ED=3m，DG=GH=5 m，
∴33+BD=55+5+BD，
∴BD=7.5( m)，经检验符合题意，
∵CDAB=DEBE，
∴1.7AB=33+7.5，
∴AB=5.95( m)，经检验符合题意；
答：花丛中路灯AB的高度5.95米．
【解析】易知△EDC∽△EBA，△FHG∽△AHB，可得DCAB=EDEB，FGAB=GHBH，因为DC=FG，推出DEBE=GHBH，列出方程求出BD，由 CDAB=DEBE，由此即可解决问题．
本题考查相似三角形的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
19.(1)证明：∵DE//AB，AD//BC，
∴四边形ABED是平行四边形，
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD，
∴四边形ABED是菱形；
(2)解：∵四边形ABED是菱形，AB=4，
∴DE=EB=AD=4，DE//AB，
∴△CEF∽△CBA，
∴CEBC=EFAB，
∵BC=6，
∴CE=BC−BE=2，
∴26=EF4，
∴EF=43，
∴DF=DE−EF=4−43=83．
【解析】(1)根据平行线的性质得到∠ADB=∠CBD，根据角平分线的定义得到∠ABD=∠CBD，等量代换得到∠ADB=∠ABD，证得AD=AB，由菱形的判定于是得到结论；
(2)证明△CEF∽△CBA，由相似三角形的性质得出CEBC=EFAB，求出EF的长，则可得出答案．
此题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质、菱形的判定与性质是解题的关键．