2024-2025学年浙江省宁波市海曙区储能学校丽园校区八年级（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年浙江省宁波市海曙区储能学校丽园校区八年级（上）开学数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.汉字是迄今为止持续使用时间最长的文字，是传承中华文化的重要载体．汉字在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“北京之美”四个字的篆书，不能看作轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
A. 3，4，7B. 6，7，12C. 6，7，14D. 3，3，8
3.下列命题中是真命题的是( )
A. 相等的角是对顶角B. 同旁内角相等，两直线平行
C. 全等三角形的对应边相等D. 如果|a|≠|b|，那么a=b
4.如图，已知△ABC≌△ADC，∠BAC=30°，∠ACD=60°，则∠D=( )
A. 45°
B. 60°
C. 75°
D. 90°
5.如图，MC是∠AMB的角平分线，P为MC上任意一点，PD⊥MA，垂足为点D，且PD=3，则点P到射线MB的距离是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 不能确定
6.空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是( )
A. 两点确定一条直线
B. 两点之间线段最短
C. 三角形的稳定性
D. 垂线段最短
7.不等式x>1的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
8.如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A、C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是( )
A. SSS
B. SAS
C. ASA
D. AAS
9.如图，△ABC中，∠ACB=80°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，使点B的对应点D恰好落在AB边上，AC、ED交于点F.若∠BCD=α，则∠EFC的度数是( )(用含α的代数式表示)
A. 80°+32α
B. 170°+32α
C. 170°−32α
D. 32α
10.已知一个三角形的三边长均为整数，若其中仅有一条边长为6，且它不是最短边，也不是最长边，则满足条件的三角形共有( )
A. 12个B. 10个C. 8个D. 6个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.用不等式表示“线上学习期间，每天体育运动时间超过1小时”，设每天的体育运动时间为x小时，所列不等式为______．
12.写出命题“直角三角形只有两个锐角”的逆命题______．
13.在△ABC中，∠A=30°，∠B=4∠C，则∠C的度数为______．
14.如图，若△ABC≌△DEF，B、E、C、F在同一直线上，BC=7cm，
CE=4cm，则CF的长是______cm．
15.如图所示，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于点E，AB=AD+2BE，则下列结论：①AB+AD=2AE；②∠ADC+∠ABC=180°；③CD=CB；④S△ADC+S△BCE=S△ACE，其中正确的结论有______(把正确结论的序号填写在横线上)．
16.如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为______．
三、解答题：本题共8小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
解不等式9x−2≤7x+3，并把解集表示在数轴上．
18.(本小题6分)
如图，在方格纸中，每一个小正方形的边长为1，按要求画一个三角形，使它的顶点都在小方格的顶点上．
(1)在图甲中画一个以AB为边且面积为3的直角三角形．
(2)在图乙中画一个以AC为腰的等腰三角形．
19.(本小题6分)
如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于P点．
(1)若∠A=35°，求∠BPC的度数
(2)若AB=5cm，BC=3cm，求△PBC的周长．
20.(本小题6分)
如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，试说明AD⊥BC的理由．
解：∵BD=DC(已知)，
∴ ______(______).
∵∠1=∠2(已知)，
∴∠ABC=∠ACB(等式性质)，
∴AB=AC(______).
在ABD与ACD中，
AB=AC∠1=∠2BD=DC，
∴△ABD≌△ACD(______)，
∴∠BAD=∠CAD，(______).
又∵AB=AC，
∴AD⊥BC(______).
21.(本小题6分)
为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数．某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造．如图，AB表示该小区一段长为20m的斜坡，坡角∠BAD=30°，BD⊥AD于点D.为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为15°．
(1)求该斜坡的高度BD；
(2)求斜坡新起点C与原起点A之间的距离．(假设图中C，A，D三点共线)
22.(本小题7分)
如图，在△ABC中，已知点D在线段AB的反向延长线上，过AC的中点F作线段GE交∠DAC的平分线于E，交BC于G，且AE//BC．
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)若AE=8，AB=10，GC=2BG，求△ABC的周长．
23.(本小题7分)
(1)模型的发现：
如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，且B，C两点在直线l的同侧，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E.问：DE、BD和CE的数量关系．
(2)模型的迁移：位置的改变
如图2，在(1)的条件下，若B、C两点在直线l的异侧，请说明DE、BD和CE的数量关系，并证明．
24.(本小题8分)
定义：如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”：如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”．

(1)三角形内角度数如图1所示，在图中画出“二分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数．
(2)图2是一个顶角为45°的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数．
(3)在△ABC中，其最小的内角∠C=24°，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请直接写出∠ABC的度数．
参考答案
1.C
2.B
3.C
4.D
5.C
6.C
7.A
8.A
9.C
10.B
11.x>1
12.只有两个锐角的三角形是直角三角形
13.30°
14.3
15.①②③④
16.180°
17.解：9x−2≤7x+3，
移项，得9x−7x≤3+2．
合并同类项，得2x≤5．
两边都除以2，得x≤52．
这个不等式的解表示在数轴上如图所示．

18.解：(1)如图甲中，△ABC即为所求．
(2)如图乙中，△ACE即为所求(答案不唯一)．

19.解：(1)∵AB的垂直平分线交AC于P点，
∴AP=BP，
∴∠A=∠ABP=35°，
∴∠BPC=∠A+∠ABP=35°+35°=70°；
(2)△PBC的周长=BP+PC+BC，
=AP+PC+BC，
=AC+BC，
=AB+BC，
∵AB=5cm，BC=3cm，
∴△PBC的周长=5+3=8cm．
20.
21.解：(1)在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠BAD=30°，AB=20m，
∴BD=12AB=10m．
答：该斜坡的高度BD为10m；
(2)∵C，A，D三点共线，∠BAD=30°，∠BCA=15°，
∴∠CBA=∠BAD−∠BCA=30°−15°=15°=∠BCA，
∴AC=AB=20m．
答：斜坡新起点C与原起点A之间的距离为20m．
22.(1)证明：∵AE//BC，
∴∠B=∠DAE，∠C=∠CAE．
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE=∠CAE．
∴∠B=∠C．
∴AB=AC．
∴△ABC是等腰三角形．
(2)解：∵F是AC的中点，
∴AF=CF．
∵AE//BC，
∴∠C=∠CAE．
由对顶角相等可知：∠AFE=∠CFG．
在△AFE和△CFG中∠FAE=∠CAF=CF∠AFE=∠CFG,
∴△AFE≌△CFG(ASA)．
∴AE=GC=8．
∵GC=2BG，
∴BG=4．
∴BC=12．
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=10+10+12=32．
23.解：(1)DE=BD+CE，
理由如下：∵∠DAC=∠AEC+∠ACE，∠BAC=∠AEC=90°，
∴∠D A B=∠E C A，
在△DAB和△ECA中，
∠DAB=∠ECA∠ADB=∠CEAAB=CA，
∴△DAB≌△ECA(AAS)，
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AD+AE=BD+CE；
(2)BD=DE+CE，
证明如下：∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵CE⊥直线l，
∴∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BAD=∠ACE，
在△BAD和△ACE中，
∠BAD−∠ACE∠ADB=∠CEABA=AC，
∴△BAD≌△ACE(AAS)，
∴AE=BD，AD=CE，
∴BD=AE=AD+DE=DE+CE．
24.解：(1)如图1，即为所求：

(2)如图2，即为所求：

(3)如图3，

当BD=CD，BD=AB时，∠DBC=∠C=24°，
∴∠A=∠ADB=∠C+∠DBC=48°，
∴∠ABD=180°−(∠A+∠ADB)=180°−48°×2=84°，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=84°+24°=108°；
当BD=CD，AD=AB时，∠DBC=∠C=24°，
∴∠ABD=∠ADB=∠C+∠DBC=48°，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=48°+24°=72°；
当BD=CD=AD时，∠DBC=∠C=24°，
∴∠ADB=∠C+∠DBC=48°，
∴∠A=∠ABD=12(180°−∠ADB)=12(180°−48°)=66°，
∴∠ABC=∠ABD+∠DBC=66°+24°=90°；
当BD=BC，BD=AD，AC=18，BC=12时，∠BDC=∠C=24°，∠A=∠ABD，
∵∠A+∠ABD=∠BDC，
∴∠A=∠ABD=12∠BDC=12°，
此时在△ABC中，其最小的内角为∠A=12°，故此种情况不符合题意；
综上所述，∠ABC的度数为108°或72°或90°．