2024-2025学年广东省深圳中学九年级（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年广东省深圳中学九年级（上）开学数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.2024年巴黎奥运会是第三十三届夏季奥林匹克运动会，将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行.下面2024年巴黎奥运会项目图标是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.若a>b，则下列不等式不一定成立的是( )
A. a−2>b−2B. 2a>2bC. a−3b2
3.若代数式 2xx−3在实数范围内有意义，则x的取值范围为( )
A. x≥0且x≠3B. x≥0C. x≠3D. x>0且x≠3
4.把多项式x2+ax−2分解因式，结果是(x+1)(x+b)，则a，b的值为( )
A. a=3，b=2B. a=−3，b=2
C. a=1，b=−2D. a=−1，b=−2
5.如图，在▱ABCD中，按照如下尺规作图的步骤进行操作：①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别与AB，BC交于点E，F；②分别以E，F为圆心，以适当长为半径画弧，两弧交于点G，作射线BG，与边AD交于点H；③以B为圆心，BA长为半径画弧，交于边BC于点M.若AB=5，BH=8，则点A，M之间的距离为( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
6.下列命题中，假命题是( )
A. 顺次连接任意四边形各边中点形成的四边形都是平行四边形
B. 等腰三角形的高、中线、角平分线重合
C. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
D. 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先要假设“这个三角形中每一个内角都大于60°”
7.如图，用长为20m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为11m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1m的两扇小门，若花圃的面积刚好为40m2，则此时花圃AB段的长为( )m．
A. 4或103B. 103C. 4D. 10
8.如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=8 3，点E为边AD上一动点，点F为CE的中点，连接BE，点G在BE上，且EF=GF，则下列结论：①在点E从点D运动到点A的过程中，点F运动的路径长为4 3；②AF+DF的最小值为16；③点G到BC的中点的距离为定值4 3；④S△EFG的最小值为16 3−24.其中正确的是( )
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.因式分解：x2y−xy2= ______．
10.若a为方程x2+2x−5=0的解，则3a2+6a−8的值为______．
11.如图，在▱ABCD中，AB=3，AD=7，∠ABC的平分线交AD于E，交CD的延长线于点F，则DF= ______．
12.若关于x的方程2xx−2−1=mx−2解为正数，则m的取值范围是______．
13.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=5，D为AC的中点，∠MDN分别交直线AB，BC于点E，F，且∠MDN=90°，连接EF，当AE=1时，EF的长为______．
三、解答题：本题共7小题，共61分。
14.(1)解不等式组：3(x−1)≥2x−4①2x+13>x−1②；
(2)解方程：x2−10x−24=0．
15.先化简(1+1x−2)÷x2−2x+1x2−4，然后从−1，1，−2，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
16.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(−1,1)，B(−4,2)，C(−3,3)．
(1)平移△ABC，若点A的对应点A1的坐标为(3,−1)，画出平移后的△A1B1C1；
(2)将△ABC以点(0,2)为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A2B2C2；
(3)已知将△A1B1C1绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，则旋转中心的坐标为______；
(4)若第二象限内存在点D，使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为______．
17.如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE/​/AC，AE/​/BD，OE与AB交于点F．
(1)在不添加新的点和线的前提下，增加一个条件：______，使得四边形AOBE是矩形，并说明理由；
(2)若AC⊥BD，OE=10，AC=16，求▱ABCD的面积．
18.深圳市某商场准备购买足球、排球两种商品，每个足球的进价比排球多30元，用3000元购进足球和2100元购进排球的数量相同．
(1)每个足球和排球的进价分别是多少？
(2)根据对运动用品的市场调查，商场计划用不超过4800元的资金购进足球和排球共60个，其中足球数量不低于排球数量13倍，该商场有几种进货方案？(不用写出具体方案)
19.材料1：法国数学家弗朗索瓦⋅韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,b2−4ac≥0)的两根x1，x2有如下的关系(韦达定理)：x1+x2=−ba,x1⋅x2=ca；
材料2：如果实数m、n满足m2−m−1=0、n2−n−1=0，且m≠n，则可利用根的定义构造一元二次方程x2−x−1=0，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根．
请根据上述材料解决下面问题：
(1)①已知一元二次方程2x2−3x−5=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2= ______，x1⋅x2= ______．
②已知实数a，b满足：a2+4a−3=0，b2+4b−3=0(a≠b)，则1a+1b= ______．
(2)已知实数m、n、t满足：m2−4m=11+t，n2−4n=11+t，且0b−2，∴此选项的不等式一定成立，故此选项不符合题意；
B.∵如果a>b，则2a>2a，∴此选项的不等式一定成立，故此选项不符合题意；
C.∵如果a>b，则a−3b，即当a=−1，b=−2时，a211，不合题意，舍去；
当x=4时，20−3x+2=10，符合题意．
故选：C．
设AB=x米，则BC=(20−3x+2)米，根据围成的花圃的面积刚好为40平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合BC的长度不超过11米，即可确定x的值，此题得解．
本题考查一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：取CD的中点H，连接FH，
∵点F是CE的中点，
∴FH/​/AD，FH=12AD，
∴点F在直线FH上运动，
当点E和点A重合时，FH有最大值，
∴点F运动的路径长为12AD=12×8 3=4 3，
故结论①正确；
连接AC，AF，
∵在矩形ABCD中，∠ADC=90°，
又点F是CE的中点，
∴DF=12CE=CF，
∴AF+DF=AF+CF≥AC，
∵在矩形ABCD中，CD=AB=8，
∴在Rt△ACD中，AC= AD2+CD2= (8 3)2+82=16，
∴AF+DF的最小值为16，
故结论②正确；
取BC的中点I，连接GI，则GI的长为点G到BC的中点的距离，连接DF，CG，
∵∠CDE=90°，点F是CE的中点，
∴DF=12CE，EF=CF=12CE，
∵EF=GF，
∴DF=EF=CF=GF，
∴点D，E，G，C在以点F为圆心，EC为直径的圆上，
∴∠CGE=90°，
∴∠BGC=180°−∠CGE=90°，
∵点l是BC的中点，
∴GI=12BC=12×8 3=4 3，
∴点G到BC的中点的距离为定值4 3，
故结论③正确；
∵点E是AD上的动点，
∴S△BCE=12BC⋅CD=12×8×8 3=32 3，
∵GI=BI=CI=4 3，
∴点G在以点l为圆心，4 3为半径的圆上运动，
∴当GI⊥BC时，△BGC的面积最大，最大值为S△BGC=12BC⋅GI=12×8 3×4 3=48，
此时S△CEG=S△BCE−S△BCG=32 3−48为最小值，
∵点F是EC的中点，
∴△EFG的最小值为S△EFG=12S△CEG=12(32 3−48)=16 3−24，
故结论④正确．
综上所述，结论正确的是①②③④．
故选：D．
取CD的中点H，连接FH，根据中位线的性质可得点F在直线FH上运动，点F运动的路径长为12AD，即可判断结论①；连接AC，由直角三角形斜边上的中线的性质得到DF=CF，从而AF+DF=AF+CF≥AC，根据勾股定理求出AC的长，即可判断结论②；取BC的中点I，连接GI，则Gl的长为点G到BC的中点的距离，连接DF，CG，由DF=EF=CF=GF，得到点D，E，G，C在以点F为圆心，EC为直径的圆上，从而得到∠BGC=90°，根据直角三角形斜边上的中线的性质即可判断结论③；当GI⊥BC时，△BGC的面积最大，进而由S△CEG=S△BCE−S△BCG求出△CEG的最小值，再根据三角形中线的性质即可求出△EFG的最小值，从而判断结论④．
本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，三角形中位线的性质，圆周角定理，矩形的性质，勾股定理等，综合运用相关知识，正确作出辅助线是解题的关键．
9.【答案】xy(x−y)
【解析】解：原式=xy(x−y)，
故答案为：xy(x−y)．
利用提公因式法因式分解即可．
本题考查提公因式法因式分解，找到正确的公因式是解题的关键．
10.【答案】7
【解析】解：∵a为方程x2+2x−5=0的解，
∴a2+2a−4=0，
∴a2+2a=5，
∴3a2+6a−8=3(a2+2a)−8=3×5−8=7．
故答案为：7．
由题意可得a2+2a=5，再由3a2+6a−8=3(a2+2a)−8，代入求值即可．
本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解与一元二次方程的关系是解题的关键．
11.【答案】4
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，AD=BC=7，AB=CD=3，
∴∠ABE=∠CFE，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠ABE=∠CBF，
∴∠CBF=∠CFB，
∴CF=BC=7，
∴DF=CF−CD=7−3=4．
故答案为：4．
根据平行四边形的对边相等且平行和利用平行四边形的性质以及平行线的基本性质求解即可．
本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
12.【答案】m>2且m≠4
【解析】解：将关于x的分式方程2xx−2−1=mx−2的两边都乘以x−2，得
2x−x+2=m，
解得x=m−2，
由于关于x的分式方程2xx−2−1=mx−2解为正数，
所以m−2>0，
即m>2，
又∵分式方程的增根是x=2，
当x=2时，即m−2=2，
解得m=4，
因此m≠4，
综上所述，m的取值范围是m>2且m≠4．
故答案为：m>2且m≠4．
根据分式方程的解法，去分母化成整式方程，再求出整式方程的解，由分式方程解的情况确定m的取值范围，再由增根进一步确定m的取值范围即可．
本题考查分式方程的解，理解分式方程解的定义，掌握分式方程的解法是正确解答的关键．
13.【答案】 2215
【解析】解：如图，过点D作DJ⊥AB由=于点J，DK⊥BC于点K．
∵∠DJB=∠B=∠DKB=90°，
∴四边形DJBK是矩形，
∴DJ//BC，DK//AB，
∵AD=DC，
∴AJ=JB，BK=CK，
∴DJ=12BC=2.5，DK=12AB=1.5，
∵∠EDF=∠JDK=90°，
∴∠JDE=∠FDK，
∵∠DJE=∠DKF=90°，
∴△DJE∽△DKF，
∴DE：DK=DJ：DK=3：5，
∵AE=1，AJ=1.5，
∴EJ=0.5，
∴DE= DJ2+EJ2= 2．52+0．52= 262，
∴DF=35DE=3 2610，
∴EF= DE2+DF2= ( 262)2+(3 2610)2= 2215．
故答案为： 2215．
如图，过点D作DJ⊥AB由=于点J，DK⊥BC于点K.利用相似三角形的性质求出DE，DF，再利用勾股定理求解．
本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
14.【答案】解：(1)解不等式①得，x≥−1，
解不等式②得，x