广东省湛江市岭南师范学院附属中学2024-2025学年高二上学期开学调研考试数学试题

这是一份广东省湛江市岭南师范学院附属中学2024-2025学年高二上学期开学调研考试数学试题，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高二年级数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分 命题人：GSL审题人：CHH
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合，，则（ ）．
A．B．
C．D．
2．设复数z满足，则（ ）．
A．B．C．D．i
3．某公司在职员工有1200人，其中销售人员有400人，研发人员有600人，现采用分层随机加样的方法抽取120人进行调研，则被抽到的研发人员人数比销售人员人数多（ ）．
A．20B．30C．40D．50
4．已知向量，，则在上的投影向量为（ ）．
A．B．C． D．
5．已知数据，，，…，的平均数，方差，则，，，…，的平均数和方差分别为（ ）．
A．，B．，
C．，D．，
6．在正方体中，E为的中点，则异面直线AE与所成角的余弦值为（ ）．
A．B．C．D．
7．若函数，则函数的单调递增区间为（ ）．
A．，B．，
C．，D．，
8．在直角梯形ABCD中，，，，点P为梯形ABCD四条边上的一个动点，则的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．人均可支配收入和人均消费支出是两个非常重要的经济和民生指标，常被用于衡量一个地区经济发展水平和群众生活水平，下图为2018～2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入及人均消费支出统计图，据此进行分析，则（ ）．
A．2018～2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出逐年递增
B．2018～2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入逐年递增
C．2018～2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差比人均消费支出的极差小
D．2018～2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为21180元
10．已知复数，其中i为虚数单位，则下列结论正确的有（ ）．
A．复数z的共轭复数的模为1 B．复数z在复平面内对应的点在第四象限
C．复数z是方程的解 D．复数满足，则的最大值为2
11．如图，正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）．
A．三棱锥的体积为定值
B．平面
C．的最小值为
D．当，C，，P四点共面时，四面体的外接球的体积为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知平面向量，，，若，，则__________．
13．在中，，则角B的大小是__________，若，则的面积的最大值是__________．
14．蹴鞠（如图所示），又名蹴球、蹴圆、筑球、踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知某鞠（球）的表而上有四个点A，B，C，P，且球心O在PC上，，，，则该鞠（球）的表面积为__________．
四、解答题（本题共5小题，共77分，其中15题13分，16题15分，17题15分，18题17分，19题17分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且，，．
（1）求b及的面积S；
（2）若D为BC边上一点，且，求的正弦值．
16．小米在2024年推出SU7汽车，创始人雷军为了了解广“大客户对小米SU7的评价，令销售部随机抽取200名客户进行了问卷调查，根据统计情况，将他们的年龄按，，，，分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图．
（1）估计样本数据中用户年龄的众数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）销售部从年龄在，内的样本中按比例分配的分层随机抽样方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行电话回访，求这2人取自不同年龄区间的概率．
17．如图，在正三棱柱中，，E，P分别为棱AC，BC的中点，且．
（1）证明：平面；
（2）求三棱柱被平面截得的两部分的体积．
18．甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球约定甲先投，先投中者获胜，一直到有人获胜或者每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．
（1）求甲获胜的概率；
（2）求投篮结束时，甲只投了2个球的概率；
（3）若用投掷一枚质地均匀硬币的方式决定甲、乙两人谁先投篮，求第3次投篮结束后，投篮结束的概率．
19．如图，在矩形ABCD中，，，M是线段AD上的一动点，将沿着BM折起，使点A到达点的位置，满足点平面BCDM且点在平面BCDM内的射影E落在线段BC上．
（1）当点M与点D重合时，
①证明：平面；
②求二面角的余弦值；
（2）设直线CD与平面所成的角为，二面角的平面角为，求的最大值．
岭南师范学院附属中学
2024～2025学年第一学期开学调研考试
高二年级数学试卷答案
1．【详解】由，则，
所以，
又，所以．故选：C．
2．【详解】由可得，所
以．故选：B．
3．【解析】由题意可得被抽到的研发人员有人，
销售人员有人，
则被抽到的研发人员人数比销售人员人数多．故选：A．
4．【详解】依题意，，，
所以在上的投影向量为．故选：A．
5．【解析】因为，，，…，的平均数是10，方差是10，
则，，
所以，，，…，的平均数是
，
方差是
．
故选：D．
6．【详解】取的中点F，连接BF，，设正方体棱长为a，
因为，，所以四边形ABFE为平行四边形，
所以，则为异面直线AE与所成角或其补角，
由，，
所以．故选：B．
7．【详解】因为，
所以，所以，
则函数的单调递增区间为，．故选：C．
8．【详解】如图中，O为AB中点，
，
如图，取AB中点O，
，要求取值范围，只需要求最大，最小即可．
由图，可知最大时，P在D点，即，
此时，
最小时，P在O点，即，此时．
综上所得，所取值范围为：．故选：D．
9．对于B，由题中折线图知人均可支配收入逐年递增，B正确；
对于C，2018～2023年前三季度全国城镇居民人均可支配收入的极差为元，人均消费支出的极差为元，C错误；
对于D，2018～2023年前三季度全国城镇居民人均消费支出的中位数为元，D正确．故选：BD．
10．【解析】因为，所以，
对于选项A，因为，所以，故选项A正确：
对于选项B，因为复数z在复平面内对应的点为，故选项B正确；
对于选项C，，所以，故选项C错误；
对于选项D，设，则由，得到，
又，由几何意义知，可看成圆上的动点到原点的距离，
所以的最大值为，故选项D正确．故选：ABD．
11．【详解】对于A，因为，不在平面内，平面，
所以平面，
又，所以点P到平面的距离为1，
又为定值，故定值，A正确；
对于B，因为，平面，平面，
所以平面，同理可知平面，
又，，平面，所以平面平面，
由于平面，故平面，B正确；
对于C，展开两线段所在的平面，得矩形及等腰直角三角形，
连接，交于点P，此时最小，最小值即为的长，
过点作，交AB的延长线于点N，
其中，，，故，
又勾股定理得，C不正确；
对于D，点P在点B处，，C，，P四点共面，
四面体的外接球即正方体的外接球，
故外接球的半径为，所以该球的体积为，D正确．
故选：ABD．
12．【详解】因为，，，
所以，，
因为，，，所以，，
所以．
故答案为：．
13．【详解】因为，
由余弦定理得，所以．
因为，所以，
当且仅当时取等号，所以，面积，
所以三角形面积的最大值为．
故答案为：；．
14．【详解】如图，取AB的中点M，连接MP，
由，得：，
∵，∴．
连接CM并延长，交球O于点H，连接PH，
因为PC为球O的直径，设球的半径为R，则，．
∴．
∴，∴，
球的表面积为．故答案为：．
15．【小问1详解】由余弦定理得，
整理得，即，
因为，解得，
所以．
【小问2详解】由正弦定理得：，
所以，
在三角形ABD中，因为，则，
所以．
16．解：（1）由平均数计算公式，可估计平均数为，
根据频率分步直方图，估计众数为45．
（2）由已知可得抽取的6人中，年龄在内的有4人，分别记为，，，；
年龄在内的有2人，分别记为，；
则从这6人中随机抽取2人的样本点为，，，，，，，，，，，，，，，共15个；
记事件A＝“这2人取自不同年龄区间”，其包含样本点有，，，，，，，，共8个，
故这2人取自不同年龄区间的概率为．
17．解：（1）连接交于F，连接EF，如图．
∵三棱柱为正三棱柱，∴F为的中点，
又E为AC的中点，∴EF为的中位线，∴，
又平面，平面，∴平面．
（2）三棱柱被平面截得的两部分为三棱锥与多面体．
∵三棱柱为正三棱柱，∴四边形为矩形，
又，∴∽，
∴，解得．
∴三棱柱的体积为，
故三棱锥的体积为，
多面体的体积为．
18．解：（1）根据题意，设，分别表示甲、乙在第k次投篮投中，
则，，，2，3，
设甲获胜为事件E，则，
而，，互斥，
故．
（2）根据题意，设投篮结束时，甲只投2个球为事件F，
则，而，互斥，
所以．
（3）根据题意，设第3次投篮结束后，投篮结束为事件G，
分两种情况讨论：
若甲先投篮，若第3次投篮结束后，投篮结束，即事件，
若乙先投篮，若第3次投篮结束后，投篮结束，即事件，
故．
19．【小问1详解】
①
当点M与端点D重合时，由可知，
由题意知平面BCD，平面BCD，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为，平面，平面，
所以平面．
②
过E作于点O，连接．
因为平面BCD，平面ABCD，所以，
因为，，，，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
所以为二面角的平面角，且在四边形ABCD中，A、O、E三点共线．
因为，，所以，
所以，所以，，
所以，，
所以，
所以在中，，
即二面角的余弦值为．
【小问2详解】
过点E做交BM于Q，所以直线EQ与平面所成的角，
即为直线CD与平面所成的角，
过E作于点O，连接．
由②同理可得平面，平面，
所以平面平面，
作，垂足为H，平面平面，平面，
所以平面，
连接QH，是直线EQ与平面所成的角，即，
因为∽，满足，
设，，所以，，
所以，，
所以，，
因为在中，斜边大于直角边，即，
所以，
所以，，
在中由等面积，，，
因为，，所以是二面角平面角，
即，，
，当且仅当时“＝”成立，
故的最大值为．