江苏省宿迁市沭阳县2023届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份江苏省宿迁市沭阳县2023届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题纸相应位置上）
1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：解：A、该方程中未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、该方程中含两个有未知数．不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；
D、该方程中分母中含有未知数．不属于整式方程，故本选项不符合题意；
故选：．
2. 下列说法正确的是（ ）
A. 相等的圆周角所对的弧相等
B. 相等的弦所对的弧相等
C. 平分弦的直径一定垂直于弦
D. 任意三角形一定有一个外接圆
答案：D
解析：解：A、在等圆或同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故A不符合题意；
B、在等圆或同圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，故B不符合题意；
C、根据垂径定理知，平分弦（不是直径）的直径一定垂直于弦，故C不符合题意；
D、任意三角形一定有一个外接圆，故D符合题意；
故选D．
3. 已知一组数据：4，3，4，5，6，则这组数据的极差是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
答案：C
解析：这组数据的极差是，
故选：C．
4. 如图，点，，在⊙O上，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：解：，
由圆周角定理得：，
故选：B．
5. 一元二次方程配方后可变形为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：解：变形为：，
配方得：，
即；
故选：C．
6. 新能汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能汽车近几年销量全球第一，2020年销量为50.7万辆，销量逐年增加，到2022年销量为125.6万辆．设年平均增长率为，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：解：设年平均增长率为，可列方程为：
故选：A
7. 如图，P是⊙O外任意一点，PA、PB分别与⊙O相切与点A、B，OP与⊙O相交于点M．则点M是△PAB的（ ）
A. 三条高线的交点
B. 三条中线的交点
C. 三个角的角平分线的交点
D. 三条边的垂直平分线的交点
答案：C
解析：解：∵PA、PB分别与⊙O相切与点A、B，
∴∠APO＝∠BPO，PA＝PB，
∴AB⊥OP，
连接OA，AM，
则∠OAP＝90°，
∴∠PAM+∠OAM＝∠BAM+∠AMO＝90°，
∵OA＝OM，
∴∠OAM＝∠AMO，
∴∠PAM＝∠BAM，
则点M是△PAB的三个角的角平分线的交点，
故选C．
8. 如图，中，，，，点从点出发，沿运动到点停止，过点作射线的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：解：∵，
∴点Q在以为直径的上运动，运动路径为，连接，
∵，
∴，
∴，
∴的长为，
故选B．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，本大题共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题纸相应位置上）
9. 一元二次方程x2＝5x的解为______．
答案：，
解析：x2＝5x
移项，得
分解因式，得：
∴，
故答案为：，．
10. 甲、乙两名射击运动员在一次训练中，每人各打10发子弹，根据命中环数求得方差分别是，则_______运动员的成绩比较稳定．
答案：甲
解析：∵，
∴．
∴甲的成绩比较稳定
11. 如图，AB是直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若，则______°
答案：62
解析：解：连接，
∵AB是的直径，
∴，
，
，
故答案为：62
12. 已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为，则它的母线长为___________．
答案：12
解析：解：∵圆锥的底面半径是4，
∴圆锥的底面圆周长为，
∴侧面展开后所得的扇形的弧长是，
∵侧面展开后所得的扇形的圆心角为
∴侧面展开后所得的扇形的半径为：
∵圆锥的母线就是侧面展开后所得的扇形的半径，
∴圆锥的母线长度为12，
故答案为：12．
13. 如图，与正五边形ABCDE的边AB、DE分别相切于点B、D，则劣弧所对的圆心角的大小为_____度．
答案：144
解析：解：五边形ABCDE是正五边形，
．
AB、DE与相切，
，
，
故答案为144．
14. 过内一点P的最长弦长为，最短弦长为，则的长为______．
答案：
解析：解：如图，直径经过点，过作交于、，连接，

，，
，，
；
故答案：．
15. 小明在与同学的嬉闹中把校服划坏了，划坏的图形恰好是一个直角三角形，这个直角三角形的两条边长分别是5和12，妈妈打算用一个圆形图案把它盖住缝补好，则妈妈用的圆形图案所在圆的半径最小值为___________．
答案：6或6.5
解析：解：由勾股定理可知：
①当直角三角形的斜边长为：12；
因此这个直角三角形的外接圆半径为6，
②当两条直角边长为5和12，则直角三角形的斜边长为：；
因此这个直角三角形的外接圆半径为6.5
综上所述：这个外接圆的半径为6或6.5
故答案为：6或6.5
16. 已知，则的值为___________．
答案：2
解析：解：
或
或
∵
∴．
故答案为 2．
17. 如图，△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB、BC均相切，则⊙O的半径为__．
答案：
解析：过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F．
∵AB、BC是⊙O的切线，
∴点E、F是切点，
∴OE、OF是⊙O的半径；
∴OE=OF；
在△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，
∴由勾股定理，得BC=8；
又∵D是BC边的中点，
∴S△ABD=S△ACD，
又∵S△ABD=S△ABO+S△BOD，
∴AB•OE+BD•OF=CD•AC，即10×OE+4×OE=4×6，
解得OE=，
∴⊙O的半径是．
18. 如图，在矩形中，，，为矩形的对角线的交点，以为圆心，半径为1作，为上的一个动点，连接、，则面积的最大值为___________．
答案：14.5
解析：当P点移动到过点P的直线平行于且与相切时，面积的最大，如图，
∵过点P的直线是的切线，
∴垂直于切线，延长交于M，则，
∵在矩形中，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴的最大面积，
故答案为：．
三、解答题（本大题共10题，共96分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．画图痕迹用黑色签字笔加粗加黑）
19. 解方程：
（1）；
（2）．
答案：（1），
（2），
小问1解析：
解：
∴或
解得：，
小问2解析：
解：
∴，
20. 已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=11，求k的值．
答案：（1）k≤；（2）k=﹣1．
解析：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根，
∴△≥0，即[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）=﹣8k+5≥0，
解得k≤；
（2）由根与系数的关系可得x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2+k﹣1，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（2k﹣1）2﹣2（k2+k﹣1）=2k2﹣6k+3，
∵x12+x22=11，
∴2k2﹣6k+3=11，解得k=4，或k=﹣1，
∵k≤，
∴k=4（舍去），
∴k=﹣1．
21. 如图，在10×10的正方形网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），的三个顶点都在格点上．
（1）建立如图所示的直角坐标系，请在图中标出的外接圆的圆心的位置，并填写：
①圆心的坐标：（_______，_______）；
②的半径为_______．
（2）将绕点逆时针旋转得到，画出图形，并求线段扫过的图形的面积．
答案：（1）图见解析；①，；②
（2）图见解析；线段扫过的图形的面积为
小问1解析：
解：如图所示，点即为所求，
①圆心的坐标：，
②的半径为：；
故答案为：①，；②
小问2解析：
解：如图即为所求图形，
∵由勾股定理得：，，
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴的面积等于的面积，
∴线段扫过的图形的面积
．
22. 某初级中学数学兴趣小组为了了解本校学生的年龄情况，随机调查了该校部分学生的年龄，整理数据并绘制如下不完整的统计图．
依据以上信息解答以下问题：
（1）求样本容量；
（2）直接写出样本容量的平均数，众数和中位数；
（3）若该校一共有1800名学生，估计该校年龄在15岁及以上学生人数．
答案：（1）样本容量为50；（2）平均数为14（岁）；中位数为14（岁），众数为15岁；（3）估计该校年龄在15岁及以上的学生人数为720人．
解析：解：（1）样本容量为6÷12%=50；
（2）14岁的人数为50×28%=14、16岁的人数为50﹣（6+10+14+18）=2，
则这组数据的平均数为=14（岁），
中位数为=14（岁），众数为15岁；
（3）估计该校年龄在15岁及以上的学生人数为1800×=720人．
23. 如图，内接于⊙O，交⊙O于点D，交于点E，交⊙O于点F，连接．
（1）求证：；
（2）若⊙O的半径为3，，求的长（结果保留π）．
答案：（1）证明见解析；
（2）
小问1解析：
证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴．
小问2解析：
解：连接，如图，
由（1）得，
∵，
∴，
∴的长．
24. 如图，四边形中，，，，连接，以点B为圆心，长为半径作，交于点E．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
答案：（1）相切，理由见解析；（2）
解析：解：（1）过点B作BF⊥CD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB，
∴∠ADB=∠CDB，又BD=BD，∠BAD=∠BFD=90°，
∴△ABD≌△FBD（AAS），
∴BF=BA，则点F在圆B上，
∴CD与圆B相切；
（2）∵∠BCD=60°，CB=CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CBD=60°
∵BF⊥CD，
∴∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°，
∴∠ABF=60°，
∵AB=BF=，
∴AD=DF==2，
∴阴影部分的面积=S△ABD-S扇形ABE
=
=．
25. 安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量（千克）与每千克降价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：
（1）求与之间的函数关系式；
（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？
答案：（1）；（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．
解析：解：（1）设一次函数解析式为：，根据图象可知：当，；当，；
∴，解得：，
∴与之间的函数关系式为；
（2）由题意得：，
整理得：，解得：．，
∵让顾客得到更大的实惠，∴.
答：商贸公司要想获利2090元，这种干果每千克应降价9元．
26. 如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB＝3.2米，拱高CD＝0.8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．
（1）求该圆弧所在圆的半径；
（2）在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．
答案：（1）2米；（2）0.4米
解析：解：（1）设弧AB所在的圆心为O，D为弧AB的中点，CD⊥AB于C，延长DC经过O点，
则BC＝AB＝1.6（米），
设⊙O的半径为R，
在Rt△OBC中，OB2＝OC2+CB2，
∴R2＝（R﹣0.8）2+1.62，
解得R＝2，
即该圆弧所在圆的半径为2米；
（2）过O作OH⊥FE于H，
则OH＝CE＝1.6﹣0.4＝1.2＝（米），OF＝2米，
在Rt△OHF中，HF＝（米），
∵HE＝OC＝OD﹣CD＝2﹣0.8＝1.2（米），
∴EF＝HF﹣HE＝1.6﹣1.2＝0.4（米），
即支撑杆EF的高度为0.4米．
27. 如图1，在矩形中，，，点以/的速度从点向点运动，点以/的速度从点向点运动．点、同时出发，运动时间为秒（），是的外接圆．
（1）当时，的半径是___________，与直线的位置关系是___________；
（2）在点从点向点运动过程中，
①圆心的运动路径长是___________；
②当与直线相切时，求的值．
（3）连接，交于点，如图2，当时，求的值．
答案：（1），相离
（2）①，②
（3）
小问1解析：
解：如图，过点作于，交于，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴的直径是，，
当时，，，
∵，，
∴，，
∴，
∴的半径为，
∵，是的中点，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴与直线的位置关系是相离；
故答案为：；相离
小问2解析：
解：①如图，
∵、运动的速度与、的比相等，
∴圆心在对角线上，
由图可知，和两点在时在点重合，当时，直径为对角线，是的中点，
∴，
由勾股定理，可得：，
∴，
∴圆心的运动路径长是；
故答案为：
②如图，当与相切时，
设切点为，连接并延长交于，则，，
则，，
∴，
∴，
在中，
，
∵，
∴，
解得：，
∴的值为；
小问3解析：
解：如图，过作，交的延长线于点，连接，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：（舍去），，
∴．
28. 问题提出：
（1）如图，是的弦，点C是上的一点，在直线上方找一点D，使得，画出，画图的依据是___________；
问题探究
（2）如图，是的弦，直线l与相切于点M，点是直线l上异于点M的任意一点，请在图中画出图形，试判断，的大小关系；并说明理由；
问题解决：
（3）沭阳某小区游乐园的平面图如图3所示，场所物业人员想在线段上的点N处安装监控装置，用来监控边上的段，为了让监控效果达到最佳，必须要求最大．已知，米，米，问在线段上是否存在一点N，使得最大，若存在，请求出此时的长，如果不存在，请说明理由．
答案：（1）同弧所对的圆周角相等
（2），见解析
（3）
小问1解析：
如图1：
依据：同弧所对的圆周角相等．
故答案为：同弧所对的圆周角相等．
小问2解析：
．理由如下：
如图2，设交于点，连接，
∵是的外角，
∴．
∵，
∴．
小问3解析：
如图3中，当经过A，B的与相切于时，的值最大
作于，交于，连接，，．
设，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，，
∴，
∵，
∴．
解得：（不符合题意，舍去），，
∴，
∴．