重庆市第七中学校2024-2025学年九年级上学期数学入学测试题（原卷版+解析版）

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一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1. 在平面直角坐标系中，下列各点在第一象限的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断即可．
【详解】解：A、在第一象限，故选项符合题意；
B、在第二象限，故本选项不符合题意；
C、在第四象限，故本选项不符合题意；
D、在第三象限，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决问题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
2. 在中，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形性质得出即可解答．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角相等是解答本题的关键．
3. 从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加沙坪坝区举办的垃圾分类知识竞赛，经过学校三轮初赛，他们的平均成绩都是98分，方差分别是，，，．你认为最合适的选手是（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】C
【解析】
【分析】根据方差的意义作出判断，方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据波动越小，数据越稳定，反之，则表明数据波动大，不稳定．
【详解】解：∵，，，，
∴，
∴丙的成绩最稳定，
又∵他们的平均成绩都是98分，
∴最合适的选手是丙，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了方差的意义，熟练掌握方差的意义是解本题的关键．
4. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 对角线互相垂直的四边形是菱形
B. 对角线相互平分的四边形是平行四边形
C. 有一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
D. 一组邻边相等并且一个内角是直角的四边形是矩形
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了命题与定理，正确把握特殊四边形的判定方法是解题关键．
直接利用平行四边形以及矩形、菱形、正方形判定方法分别分析进而得出答案．
【详解】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题是假命题，不符合题意；
B、对角线相互平分的四边形是平行四边形，故原命题是真命题，符合题意；
C、一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，如等腰梯形，故原命题是假命题，不符合题意；
D、一组邻边相等并且一个内角是直角的四边形可能是直角梯形，故原命题是假命题，不符合题意；
故选：B．
5. 用配方法解方程，配方正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】按照配方法解一元二次方程的方法和步骤，先移项，再在方程两边都加上一次项系数的一半的平方（二次项系数为1），整理化简即得答案．
【详解】解：方程即为，
在方程的两边都加上，得，
即．
故选：A．
【点睛】本题主要考查配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的的方法和步骤是解此题的关键．
6. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，的长为4，则矩形的面积为（ ）

A. B. C. D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分，以及，可得是等边三角形，进而在中可得，根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得，即可求得矩形的面积．
【详解】解：∵四边形是矩形，
，
，
是等边三角形，
，
在中，，
∴，
，
矩形的面积是，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质判定，掌握矩形的性质是解题的关键．
7. 小明在一条公路上开车从A地出发行驶至B地，他行驶的行程y（千米）随时间x（时）变化的图象（全程）如图所示．则下列说法中，错误的是（ ）
A. 第1小时小明行驶了21千米
B. 在行驶的前小时内，小明行驶的平均速度是42千米/小时
C. 在小时内，小明行驶的速度相比前小时变慢
D. A地到B地的距离为40千米
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了函数图象，观察函数图象纵坐标得出路程，观察函数图象的横坐标得出时间是解题的关键．根据函数图象，可判断A、D；根据函数图象的横、纵坐标，求出前后速度，判断C；根据函数值与自变量的对应关系，可判断B．
【详解】解：A、由函数图象看出第1小时小明行驶了21千米，故A正确；
B、在行驶的前小时内，小明行驶的平均速度是千米/小时，故B错误；
C、在小时内，小明行驶的速度为千米/小时，小明行驶的速度相比前小时变慢，故C正确；
D、由纵坐标看出汽车共行驶了40（千米），故A地到B地的距离为40千米，故D正确；
故选：B．
8. 如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设道路的宽为，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形，根据种植花苗的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设道路的宽为，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形，
依题意得：，
故选：C．
9. 在正方形中，将绕点逆时针旋转到，旋转角为，连接BE，并延长至点，使，连接DF，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查正方形性质，旋转的旋转，等腰三角形性质，三角形内角和定理，利用旋转的性质和等腰三角形性质表示出，结合正方形性质得到，再利用等腰三角形性质得到，进而得到，最后利用等腰三角形性质即可得到的度数．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
由旋转的性质可知，，，
，
，
，
，，
，
，
，
故选：A．
10. 定义一种新运算：，例如：，，给出下列说法：
①；
②若，则或4；
③的解集为或；
④若函数的图象与直线（m为常数）只有1个交点，则．
以上说法中正确的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据新定义，分类计算判断即可．
【详解】因为，且，
所以，
故①正确；
当即时，，
解得符合题意；
当即时，，
所以与矛盾，不合题意，
所以②错误；
当即时，，
解得，
所以不等式的解集是；
当即时，，
解得，
所以不等式的解集是；
综上，不等式的解集为或；
所以③正确；
当即时，，
当即时，
函数图象如下，当函数图象与直线（m为常数）只有1个交点，则．

所以④正确；
正确的结论有①③④，共三个，
故选C．
【点睛】本题考查了新定义运算、一元一次不等式和一次函数的图象和性质，正确新定义的内涵是解题的关键．
二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
11. 在直角坐标系中，点和点关于轴对称，若点的坐标是，则点的坐标是________.
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，根据两个点关于x轴对称，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．
【详解】因为点M点N关于x轴对称，点M的坐标是，
所以点N的坐标是．
故答案为：．
12. 某单位招聘员工，其中一名应聘者的笔试成绩是90分，面试成绩是80分. 若笔试成绩与面试成绩在综合成绩中的权重分别是70%、30%．则该应聘者的综合成绩是_______分．
【答案】87
【解析】
【分析】直接计算加权平均数即可解答．
【详解】解：根据题意知，该名应聘者的成绩为（分）
故答案为：87．
【点睛】本题考查加权平均数及其计算，熟练掌握其计算方法是解题的关键．
13. 正比例函数中，的值随着值的增大而增大，则点在第_________象限．
【答案】四
【解析】
【分析】本题考查了正比例函数的性质，判断点位于的象限，根据函数增减性可知，从而得到，通过点在象限的特征进行判断即可．
【详解】解：正比例函数中，的值随着值的增大而增大，
，
，
则点在第四象限，
故答案为：四．
14. 如图，菱形的对角线，相交于点，点为边的中点，连接．若，，则的长为____，菱形面积为____．
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形四边相等，对角线互相垂直平分，以及菱形的面积等于对角线乘积的一半．
先根据菱形的性质得出，根据直角三角形斜边上中线的性质，即可求出，根据菱形的性质推出为等边三角形，再根据勾股定理求出，最后根据菱形的面积公式，即可求出菱形的面积．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵点为边的中点，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
根据勾股定理可得：，
∴，
∴菱形面积为，
故答案为：1，．
15. 如图，在菱形中，，，动点、分别在线段、上，且，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】连接，可证明，即得出，．结合题意可证为等边三角形，得出，即说明当最小时，最小．由垂线段最短可知当时，最小，此时，结合含30度角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，连接．
∵在菱形中，，
∴，，
∴和都为等边三角形，
∴，．
∵，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴当最小时，最小．
由垂线段最短可知当时，最小，
∴，
∴，
∴，即．
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，垂线段最短，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，理解，且当时，最小，即最小是解题关键．
16. 如图，点B是反比例函数上一点，矩形OABC的周长是20，正方形BCGH和正方形OCDF的面积之和为68，则反比例函数的解析式是_____．
【答案】y=．
【解析】
【详解】解：设矩形OABC的两边分别为,b则+b=10，2+b2=68
∵(+b) 2=2+b2+2
∴2=(+b)2- (2+b2)=32
∴=16
∴反比例函数的解析式是
【点睛】本题考查①矩形、正方形面积公式； ②完全平方公式；③反比例函数面积有关的问题．此种试题，相对复杂，需要学生掌握矩形、正方形面积公式，并利用完全平方公式和反比例函数相关的问题．
17. 若关于的一元二次方程有两个不相等实数解，且关于的分式方程有整数解，那么满足条件的所有整数的和为_________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式，一元二次方程的定义，解分式方程，利用一元二次方程二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，解分式方程可得出分式方程的解，再由分式方程有正整数解及m的取值范围，可得m的所有值，再将其相加即可得出结论．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实数解，
∴，解得且，
解方程得且，
∵分式方程有整数解，
∴为，，，
解得：，（舍去），，（舍去），，
∴满足条件的所有整数的和为，
故答案为：．
18. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“差中数”.例如：四位数4129，，是“差中数”；又如：四位数，，不是“差中数”.若一个“差中数”为，则这个数为_________；如果一个“差中数”能被11整除，则满足条件的数的最大值是_________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程和二元一次方程的应用和数的整除，读懂题意是解题的关键．
①根据定义列出方程即可求出m；
②先根据数的特征设千位为9，再根据“差中根据各数”的特征求出位上的数字互不相等且均不为0，解不定方程的整数解求出各数，再判断是否能被11整除即可．
【详解】解：①为“差中数”，
，
，
∴这个数为；
②设满足条件的四位自然数是，
又是差中数，
，即，
故或，
∵各数位上的数字互不相等且均不为0，
∴，，，，，
当时，这个“差中数”是9817，不能被11整除，
当时，这个“差中数”是9725，不能被11整除，
当时，这个“差中数”是9541，不能被11整除，
当时，这个“差中数”是9358，不能被11整除，
当时，这个“差中数”是9174，能被11整除，
∴一个“差中数”能被11整除，则满足条件的数的最大值是9174，
故答案为：5138，9174．
三、解答题：（本大题8个小题，19题8分，20~26题每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19. 解下列方程：
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用配方法求解即可．
【小问1详解】



或
；
【小问2详解】

即
，
．
20. 我校开展了“传统节日”的知识竞答活动，初2024届800名学生参与了此次竞答活动（满分：50分）．答题完成后，在1、2两班各随机抽取了20名学生的竞答成绩，对数据进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，其中A：，B：，C：，D：，E：），并给出了下列信息：
1班E等级同学的竞答成绩统计如下：50，49，50，50，49，50，50，50，50，49
2班D等级同学的竞答成绩统计如下：47，48，48，47，48，48．
1、2两班抽取的学生的竞答成绩的平均数、中位数、众数如表所示：
（1）根据以上信息可以求出： ， ， ；
（2）你认为1、2两个班哪个班的学生知识竞答成绩较好，请说明理由（理由写出一条即可）；
（3）若规定49分及以上为优秀，请估计该校参加此次知识竞答活动的所有学生中优秀的学生有多少人？
【答案】（1）30，48，50
（2）1班学生的知识竞答成绩较好，理由见解析
（3）该校参加此次知识竞答活动的所有学生中优秀的学生大约有380人．
【解析】
【分析】（1）用“1”分别减去其他四个等级所占百分比可得的值；分别根据中位数和众数的定义可得、的值；
（2）根据平均数、众数和中位数的意义解答即可；
（3）用总人数乘样本中49分及以上所占百分比即可．
【小问1详解】
解：由题意得，，故；
把2班20个学生的竞答成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是48，48，故中位数；
1班20个学生的竞答成绩中出现次数最多的是50，故众数．
故答案：30，48，50；
【小问2详解】
解：1班的学生知识竞答成绩较好，理由如下：
因为两个班的平均数相同，但1班的中位数比2班中位数和众数都比2班高，所以1班的学生知识竞答成绩较好；
【小问3详解】
解：，
（人，
答：该校参加此次知识竞答活动的所有学生中优秀的学生大约有380人．
【点睛】本题考查了平均数，中位数和众数，扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体，掌握题意读懂统计图是解题的关键．
21. 小明在探究“夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后所构成的四边形的形状”时做了如下操作，请你完成小明的操作：如图，在四边形中，，是对角线．

（1）用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接，．（只保留作图痕迹）
（2）在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空）
证明：垂直平分，
①______，，
，
在和中
，
③______，
，
四边形为平行四边形，
又④______，
四边形为菱形．
请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后⑤______．
【答案】（1）见详解 （2）①；②；③；④；⑤所构成的四边形为菱形．
【解析】
【分析】（1）根据要求作出图形；
（2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求：
【小问2详解】
证明：垂直平分，
，，
，
．
在和中，
，
，
，
，
四边形为平行四边形．
又，
四边形为菱形．
请你依照题意完成下面命题：夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后所构成的四边形为菱形．
【点睛】本题考查作图基本作图，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
22. 如图，已知菱形中，对角线相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求四边形的周长．
【答案】（1）见解析 （2）14
【解析】
【分析】（1）首先根据菱形的性质得到，然后利用平行线的性质得到，然后证明即可；
（2）首先根据菱形的性质得到，然后利用勾股定理得到，进而求解即可．
【小问1详解】
如图，∵四边形为菱形，
∴；而，，
∴，
∴四边形是矩形．
【小问2详解】
∵四边形为菱形，
∴，，，
由勾股定理得：
，而，
∴，
∴四边形的周长．
【点睛】此题考查了矩形的判定，菱形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
23. 公安交警部门提醒市民，笴车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为
（2）该品牌头盔的实际售价应定为50元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据月销售利润=每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论．
【小问1详解】
设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
【小问2详解】
设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：（不合题意，舍去），，
答：该品牌头盔实际售价应定为50元．
24. 如图，矩形中，，，点E为边中点，点F为边上的三等分点，动点P从点A出发，沿折线运动，到C点停止运动.点P的运动速度为每秒2个单位长度，设点P运动时间为x秒，的面积为y.

（1）请直接写出y关于x的函数解析式，并注明自变量x的取值范围；
（2）在平面直角坐标系中画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质；
（3）结合函数图像，直接写出当直线与该函数图象有两个交点时，b的取值范围.
【答案】（1）
（2）图象见解析；当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小；（答案不唯一）
（3）
【解析】
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、矩形的性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键.
（1）分和两种情况分别求出函数解析式即可；
（2）利用两点法画出函数图象，并根据图象写出性质即可；
（3）分别求出直线经过点和点时b的值，结合图像写出答案即可.
【小问1详解】
在矩形中，，，
∵点E为边的中点，点F为边上的三等分点，
∴，，
当点P在上时，则则，即，
此时，
∴的面积
=2x+4；
当点P在上时，即时，如图，
则，
∴的面积
；
∴
【小问2详解】
函数图象如图所示，
当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小；
【小问3详解】
当直线经过点时，，则，
当直线经过点时，，则，
结合图象可知，直线与该函数图象有两个交点时，b的取值范围是.
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴、y轴分别交于点A、，与直线交于点，直线与y轴交于点E，连接．

（1）求直线l的解析式；
（2）求的面积；
（3）Q为直线上一点，若为等腰三角形，写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程．
【答案】（1）；
（2）3； （3）或或或，过程见解析；
【解析】
【分析】本题综合考查了一次函数的性质，解析式求解，三角形面积分割求解，以及结合等腰三角形考查了两点间的距离公式的坐标表示，分类讨论思想是解决问题的关键．
（1）用待定系数法即可求解；
（2）利用，而，，即得解；
（3）分、、三种情况，利用两点间的距离公式的坐标表示，分别求解即可．
【小问1详解】
解： 直线过点，则设直线的表达式为，
在直线上，
，
点坐标为，
点在直线l上，将代入，
解得，
直线l的解析式为．
【小问2详解】
解：直线l：与x轴、y轴分别交于点A、，
，
直线与y轴交于点E，
，
，，，
．
【小问3详解】
解：Q为直线上一点，设，由，，的坐标得，
，，，
当时，可得，
，解得（舍去），或，
此时，
当时，可得，
，
解得，此时，
当时，可得，
解得，
此时，或，
综上，点的坐标为或或或．
26. 如图，在矩形中，E，F分别是边上的点，，将沿翻折，C点的对应点为G．
（1）如图（1），若点G正好落在上．求证：；
（2）如图（2），若点G落在矩形的内部，且，延长交于点H，求证：；
（3）在（1）的条件下，若，．请直接写出的长度．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由矩形的性质可得，再根据翻折的性质、垂直的定义、角平分线的定义、同角的余角相等可得，即，最后根据等角对等边即可解答；
（2）先证明可得，如图：过作，连接交于点N， 可得先证明可得，，再证明可得，最后根据线段的和差即可解答；
（3）如图2，作于，由（1）知，，则是的平分线，则，证明，则，设，则，，由勾股定理得，，即，整理得，，计算求解，然后作答即可．
【小问1详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵将沿翻折，C点的对应点为G、点G正好落在上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：∵将沿翻折，C点的对应点为G、点G落在矩形的内部，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图1，过作，连接交于点N，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【小问3详解】
解：如图2，作于，
由（1）知，，
∴是的平分线，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，，
由勾股定理得，，即，整理得，，
解得，，
∴．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、矩形的判定、折叠的性质、勾股定理，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质等知识，正确做出辅助线是解答本题的关键．
平均数
中位数
众数
1班
47.5
48.5
c
2班
47.5
b
49