北京市海淀区第一零一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知为等差数列，，则（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】由等差数列性质，，求出式子的值.
【详解】因为是等差数列，所以.
故选：C.
2. 函数y=x2㏑x的单调递减区间为
A. （1,1]B. （0,1]C. [1，+∞）D. （0，+∞）
【答案】B
【解析】
【详解】对函数求导，得（x>0）,令解得，因此函数的单调减区间为，故选B
考点定位：本小题考查导数问题，意在考查考生利用导数求函数单调区间，注意函数本身隐含的定义域
3. 由0，1，2，5四个数组成没有重复数字的四位数中，能被5整除的个数是（ ）
A. 24B. 12C. 10D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】
分个位数是0和个位数是5两类求解.
【详解】当个位数是0时，有个，
当个位数是5时，有个，
所以能被5整除的个数是10，
故选：C
4. 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，要求必须有女生，那么不同的选派方案种数为（ ）
A. 14B. 24C. 28D. 48
【答案】A
【解析】
【分析】利用间接法，用总数减去没有女生的情况即可.
【详解】从6名学生中选派4人有种选法，
从6名学生中选派4人，没有女生有种选法，
故要求必须有女生，那么不同的选派方案种数为种选法.
故选：A.
5. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】因为函数在内单调递增，转化为导函数在恒成立.
【详解】,因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立.因为在上单调递减，所以当时，，所以，
则的取值范围为.
故选：B
6. 某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（ ）

A. 5B. 7C. 9D. 11
【答案】C
【解析】
【分析】观察图象判定斜率大小即可.
【详解】
若果树前n年的总产量与n在图中对应点
则前n年的年平均产量，即为直线OP的斜率，
由图易得当n＝9时，直线OP的斜率最大.
即前9年的年平均产量最高.
故选：C.
7. 已知等比数列中，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】结合等比数列通项公式可求得的范围，可验证充分性和必要性是否成立，由此得到结果.
【详解】设等比数列的公比为，
由得：，又，，解得：，
，充分性成立；
由得：，又，，解得：或，
当时，，，必要性不成立.
“”是“”的充分不必要条件.
故选：.
【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判定，涉及到等比数列通项公式的应用，属于基础题.
8. 对于上可导的任意函数，若当时满足，则必有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据，得到时，单调非递增函数，时，单调非递减函数求解.
【详解】因为，
所以当，即时，，则单调非递增函数，
所以；
当，即时，，单调非递减函数，
所以；
由不等式的性质得：.
故选：B
【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性以及不等式的基本性质，属于中档题.
9. 关于函数，下列结论错误的是（ ）
A. 的解集是B. 是极小值，是极大值
C. 没有最小值，也没有最大值D. 有最大值，没有最小值
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式判断A；利用导数探讨函数的极值、最值判断BCD.
【详解】函数的定义域为R，
对于A，，解得，即的解集是，A正确；
对于BCD，，当或时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
因此是极小值，是极大值，B正确；
显然当时，恒成立，当时，，，
而当时，函数的值域为，而，因此有最大值，没有最小值，C错误，D正确.
故选：C
10. 数列的前项和为，若数列与函数满足：
（1）的定义域为；
（2）数列与函数均单调递增；
（3）使成立，
则称数列与函数具有“单调偶遇关系”.给出下列四个结论：
①与具有“单调偶遇关系”；
②与具有“单调偶遇关系”；
③与数列具有“单调偶遇关系”的函数有有限个；
④与数列具有“单调偶遇关系”的函数有无数个.
其中所有正确结论的序号为（ ）
A ①③④B. ①②③C. ②③④D. ①②④
【答案】D
【解析】
【分析】根据“单调偶遇关系”的新定义可判断选项①，②；以一次函数为例，可判断③；令，通过计算可判断④．
【详解】对于①：数列中，由可知任意两项不相等，定义域为满足（1），
数列和均单调递增满足（2），
数列的前项和，
由得，解得，
所以使成立，满足（3），故①正确；
对于②：数列中，由可知任意两项不相等，定义域为满足（1），
数列和均单调递增满足（2），
的前项和，由得恒成立，
所以使成立满足（3），
故与具有“单调偶遇关系”，故②说法正确；
对于③：以一次函数为例，，，，
即，
整理得，只要方程有正整数解且即可，如方程中取，则有，
即，对进行不同的取值即可保证数列具有“单调偶遇关系”的函数有无数组，故③说法不正确；
对于④：中令．
由得，取，即可保证恒有解，故选项④正确．
故选：D．
【点睛】关键点点睛：通过①可想到③中以一次函数为例，通过②可想到④中令，通过举例达到解决问题的目的.
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
11. 在的展开式中，常数项为_____．
【答案】6
【解析】
【分析】结合二项式的展开式的通项公式即可求出结果.
【详解】的展开式的通项公式为，令，则常数项为，
故答案为：6.
12. 函数的零点个数为____________，其极小值为_____________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】直接令求零点，求导，确定单调性后可得极值.
【详解】令，则或（舍去）
所以，故函数的零点个数为；
又，
令，得，在上单调递减，
令，得，在上单调递增，
故的极小值为.
故答案为：；.
13. 曲线在处的切线的方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】求导得切线斜率，由直线的点斜式即可求解直线方程.
【详解】由得，故，又，
所以切线方程为，即，
故答案为：
14. 已知函数的导函数为，能说明“若对任意的都成立且，则在上必有零点”为假命题的一个函数是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由题得在上递减，且，在与轴无交点，选中这样的一个函数即可.
【详解】“若对任意的都成立且”,则在上递减，
且，再由“在上必有零点”为假命题，
可得的图象在与轴无交点，这样的函数可以是，
故答案为：
【点睛】本题考查了函数的单调性，零点的概念的理解，考查了分析推理能力，是一个开放题，答案不唯一，属于基础题.
15. “S”型函数是统计分析､生态学､人工智能等领域常见的函数模型，其图象形似英文字母“S”，所以其图象也被称为“S”型曲线.某校生物兴趣小组在0.5毫升培养液中放入5个大草履虫，每隔一段时间统计一次大草履虫的数量，经过反复试验得到大草履虫的数量(单位：个)与时间(单位：小时)的关系近似为一个“S”型函数.已知函数.的部分图象如图所示，为的导函数.
给出下列四个结论：
①对任意，存在，使得；
②对任意，存在，使得；
③对任意，存在，使得；
④对任意，存在，使得.
其中所有正确结论的序号是___________.
【答案】①②
【解析】
【分析】根据函数的图象可刻画出导函数的图象，再根据导函数和原函数的图象特征逐个判断后可得正确的选项.
【详解】根据函数的图象可得导函数的图象（如图所示），
设导数在取最大值，结合的图象可知，
且当时，为增函数，在上为减函数，
对于①，任意，取，则有，故①成立.
对于②，设，由图象的性质可平移直线至处，
此时平移后的直线与图象相切，且，取，
故，故②正确.
对于③，取如图所示的，设，，过作横轴的平行线，
交的图象于，由函数的图象特征可得，
取，则，故③不成立.
对于④，取（为①中最大值点），
则过切线“穿过”曲线，曲线上不存在与该切线平行的割线，
否则与导数存在唯一的最大值点矛盾，故④错误.
故答案为：①②.
【点睛】思路点睛：在导数问题中，如果知道原函数的图象，则可以根据切线的变化刻画出导数的图象，从而可研究与导数或原函数性质有关的命题判断.
16. 已知函数，存在，使得成立.给出下列四个结论:
①当时，; ②当时，;
③当时，; ④当时，.
其中所有正确结论的序号是________________.
【答案】①②④
【解析】
【分析】由，可得，即，转化为，然后对求导，求出其单调区间，画出的图象，结合图象逐个分析判断即可．
【详解】由，得，
所以当时，；当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以的大致图象如图所示：

因为，
所，即，
所以，
当时，或或或，
则或或或，所以，所以①正确；
当时，若，此时与均可以趋于，所以③错误；
当时，由，得，所以，
因为，所以由图象可知当时，有，
所以，所以②正确；
当时，由图和②可知，
则，
所以，
令，，
则，所以在上单调递增，
所以，
即当时，成立，所以④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】关键点点睛：本题的关键点为将条件变形为，从而，通过函数的性质来研究问题.
三、解答题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17. 已知等差数列的公差为，前项和为，满足，，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等比中项以及等差数列基本量的计算可求解公差，进而可求通项.
（2）根据分组求和以及等差等比数列的求和公式即可求解.
【小问1详解】
，，成等比数列，故，化简得：因为，所以，因此
【小问2详解】
，因此
18. 已知函数．
（1）求的值；
（2）求在区间上的最值；
（3）若，求的单调区间．
【答案】（1）
（2）最大值为，最小值为
（3）答案见解析
【解析】
分析】（1）求导，再令即可得解；
（2）利用导数求出函数的单调区间，在求出函数的极值和端点的函数值，即可得出函数的最值；
（3）求导，再分和两种情况讨论即可得解.
【小问1详解】
，则；
【小问2详解】
，
当或时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又，
所以在区间上的最大值为，最小值为；
【小问3详解】
，，
当时，，所以函数在上单调递减，
当时，或时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
综上所述，当时，的单调减区间为，无增区间；
当时，的单调增区间为，单调减区间为；
19 已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若为函数的极小值点，求的取值范围；
(3)曲线是否存在两个不同的点关于y轴对称，若存在，请给出这两个点的坐标及此时的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)；(3)不存在，理由见解析．
【解析】
【分析】(1)对求导，得出所求切线的斜率即可得解；
(2)按a值取正负零分别讨论在0左右两侧值的正负而得解；
(3)假定曲线存在两个不同点关于y轴对称，转化为曲线上存在两个不同的点关于y轴对称，讨论性质即可得解.
【详解】(1)由已知得，
，所以曲线在点处的切线方程为；
(2)，
①当时，函数在上单调递增，无极值，不符；
②当时，x