江苏省前黄高级中学2024-2025学年高三上学期入学检测数学试卷（Word版附解析）

这是一份江苏省前黄高级中学2024-2025学年高三上学期入学检测数学试卷（Word版附解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2．已知，其中为虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
3．已知，则函数的图象一定经过（ ）
A.一、三象限 B.一、二象限C.三、四象限D.二、四象限
4．已知都是正数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
5．已知满足，，则值为（ ）
A. B. C. D.
6．现将甲、乙、丙、丁、戊、己6名员工平均分成两个志愿者小组，到外面参加两项不同的服务工作，则丙、丁两人恰好参加同一项服务工作的概率为（ ）
A. B. C. D.
7．将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上每一点的横坐标
缩短到原来的，得到函数的图象．若的图象关于点中心对称，则的最小值
为（ ）
A．B．C． D．
8．若函数有两个极值点，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．关于函数，其中正确命题是（ ）
A．是以为最小正周期的周期函数
B．的最大值为
C．将函数的图象向左平移个单位后，将与已知函数的图象重合
D．在区间上单调递减
AUTONUM 0．已知，则以下结论正确的有（ ）
A．，有零点
B．，在上单调递增
C．时，
D．时，的解集为
11．甲罐中有个红球，个白球，乙罐中有个红球，个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐
取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ）
A. 为互斥事件B.
C. D.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设函数，则使得成立的的解集是 ．
13．设的内角的对边分别为．若，则角 ．
14．已知存在，使得函数与的图象存在相同的切线，且切线的斜率为，则的最大值为___．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
在中，内角的对边分别为，且，．
（1）求的值；
（2）若的面积为，求边上的高．
16．（本小题满分15分）
已知函数，其中是自然对数的底数．
（1）当，证明:为定值，并求出函数的对称中心；
（2）当时，若在定义域上单调递增，求实数的最小值．
17．（本小题满分15分）
足球比赛积分规则为：球队胜一场积分，平一场积分，负一场积分．常州龙城足球队年月将迎来主场与队和客场与队的两场比赛．根据前期比赛成绩，常州龙城队主场与队比赛：胜的概率为，平的概率为，负的概率为；客场与队比赛：胜的概率为，平的概率为，负的概率为，且两场比赛结果相互独立．
（1）求常州龙城队月主场与队比赛获得积分超过客场与队比赛获得积分的概率；
（2）用表示常州龙城队月与队和队比赛获得积分之和，求的分布列与期望．

18．（本小题满分17分）
如图，已知菱形和菱形的边长均为，，分别为上的动点，且．
（1）证明：平面；
（2）当的长度最小时，求：
①；
②点到平面的距离．
19．（本小题满分17分）
已知函数，其中是自然对数的底数．
（1）当时，求在上的值域；
（2）当时，讨论的零点个数；
（3）当时，从下面①和②两个结论中任选一个进行证明．
①；②．
江苏省前黄中学2025届高三上学期期初检测试卷
数学试卷参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）C
A. B. C. D.
【详解】∵，
∴，.
2．已知，其中为虚数单位，则（ ）D
A. B. C. D.
【详解】，∴，∴.
3．已知，则函数的图象一定经过（ ）C
A.一、三象限 B.一、二象限C.三、四象限D.二、四象限
【详解】当时，，
则当时，函数图象过二、三、四象限；
则当时，函数图象过一、三、四象限；
所以函数的图象一定经过三、四象限.
4．已知都是正数，则“”是“”的（ ）B
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【详解】由题意可知当时，可取，显然不满足；
当时，且，所以，即，解得，所以“”是“”的必要不充分条件
5．已知满足，，则值为（ ）A
A. B. C. D.
【详解】
，∴，
∴.
6．现将甲、乙、丙、丁、戊、己6名员工平均分成两个志愿者小组，到外面参加两项不同的服务工作，则丙、丁两人恰好参加同一项服务工作的概率为（ ）C
A. B. C. D.
【详解】，，∴.
7．将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上每一点的横坐标
缩短到原来的，得到函数的图象．若的图象关于点中心对称，则的最小值
为（ ）D
A．B．C． D．
【详解】令，
图象向右平移个单位长度，则，
再将所得图象上每一点的横坐标缩短到原来的，则，
又的图象关于点中心对称，则，
所以，则，又，故.
8．若函数有两个极值点，且，则（ ）A
A． B． C． D．
【详解】∵函数有两个极值点且，
∴方程由两个不同的正根，
∴，，，∴，
∴
，
又，即，得，
∴或（舍去）．
9．ABD
【详解】，显然A、B选项正确；
C选项: 将函数的图象向左平移个单位得到，图象不会与原图像重合，故C错误；
D选项:当，，∴在区间上单调递减成立．
10．ACD
【详解】对A，当时，即有解，
又与的图象明显有交点，故A选项正确；
对B，，
时，，，单调递减，故B选项错；
对C，时，，时，递减，时，递增，，故C选项正确；
对D，时，，单调递减，
等价于，∴，∴，故D选项正确．
11．BD
【详解】A选项:显然不成立；
B选项:当发生时，乙罐中有个红球，个白球，此时发生的概率为，∴，
∴B选项正确；
D选项: 当发生时，乙罐中有个红球，个白球，此时发生的概率为，∴，
∴，∴D选项正确；
C选项:，∴C选项不正确．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设函数，则使得成立的的解集是 ．
【答案】
【详解】函数为奇函数且单调递增， ∴，
∴，解集为．
13. 的内角的对边分别为．若，则角 ．
【答案】
【详解】，所以，
所以，
又，所以，因为，所以．
14．已知存在，使得函数与的图象存在相同的切线，且切线的斜率为，则的最大值为___．
【答案】
【解析】，
令，得，切点为，
令，得，切点为.
切线方程为代入，可得，则，
令，则，
当时，，当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴，即的最大值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
在中，内角的对边分别为，且，．
（1）求的值；
（2）若的面积为，求边上的高．
解：∵，由余弦定理得，， ……2分
又，
∴，化简得， ……5分
∴． ……6分
（2）由（1）得，
∴为锐角，∴， ……8分
∴的面积，
∴， ……10分
设边上的高为，
则的面积，
∴，即边上的高为． ……12分
……本题卷面分1分
16．（本小题满分15分）
已知函数，其中是自然对数的底数．
（1）当，证明:为定值，并求出函数的对称中心；
（2）当时，若在定义域上单调递增，求实数的最小值．
解：（1）当，，其中，
，
∴， ……4分
∴函数的对称中心为． ……6分
（2）当时，，其中，
∵在定义域上单调递增，∴在上恒成立， ……7分
而， ……9分
∵，当且仅当时等号成立，
∴， ……12分
而成立，∴，即，
∴的最小值为． ……14分
……本题卷面分1分
17．（本小题满分15分）
足球比赛积分规则为：球队胜一场积分，平一场积分，负一场积分．常州龙城足球队年月将迎来主场与队和客场与队的两场比赛．根据前期比赛成绩，常州龙城队主场与队比赛：胜的概率为，平的概率为，负的概率为；客场与队比赛：胜的概率为，平的概率为，负的概率为，且两场比赛结果相互独立．
（1）求常州龙城队月主场与队比赛获得积分超过客场与队比赛获得积分的概率；
（2）用表示常州龙城队月与队和队比赛获得积分之和，求的分布列与期望．
解：（1）设事件“常州龙城队主场与队比赛获得积分为分”，
事件“常州龙城队主场与队比赛获得积分为分”，
事件“常州龙城队主场与队比赛获得积分为分”，
事件“常州龙城队客场与队比赛获得积分为分”，
事件“常州龙城队客场与队比赛获得积分为分”，
事件“常州龙城队客场与队比赛获得积分为分”，
事件“常州龙城队七月主场与队比赛获得积分超过客场与队比赛获得积分”， ……1分
， ……2分
， ……4分
， ……6分
则，
∴常州龙城队七月主场与队比赛获得积分超过客场与队比赛获得积分的概率为．……7分
（2）由题意可知的所有可能取值为．
， ，
， ，
， ． ……13分
∴的分布列为
∴．
……14分
……本题卷面分1分
18．（本小题满分17分）
如图，已知菱形和菱形的边长均为，，，分别为上的动点，且．
（1）证明：平面；
（2）当的长度最小时，求：
①； ②点到平面的距离．
18．证明：（1）（方法一）在菱形内，过点作，
，连接，则，
由得，
∴，∴，
∵，平面，平面，
∴平面．
∵，平面，平面，
∴平面．
又平面，，
∴平面平面， ……4分
又平面，∴平面． ……6分
（方法二）延长交直线于点，连结，
由，得，
由得，则，
而平面，平面， ……4分
∴平面． ……6分
解：（2）取的中点，连接，由为等边三角形，得，
同理，
而平面，则平面，
又平面，于是平面平面， ……8分
①在平面内作，平面平面，则平面，
以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，由，
得，，，
，
由，
．
从而， ……11分
当时，取最小值， ……12分
②此时，，，
设为平面的法向量，则，
令，得， ……15分
点到平面的距离为
. ……17分
19．（本小题满分17分）
已知函数，其中是自然对数的底数．
（1）当时，求在上的值域；
（2）当时，讨论的零点个数；
（3）当时，从下面①和②两个结论中任选一个进行证明．
①； ②．
解：（1）当时，，， ……1分
∵，∴，
∴在上单调递减， ……3分
又，，∴的值域为． ……5分
（2），令得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
∴． ……6分
（Ⅰ）当时，，∴，
∴在上有且仅有1个零点． ……7分
（Ⅱ）当时，令，，
∴在上单调递增，∴，即，
又，∴在上有1个零点， ……8分
又，
令，则，∴在上单调递减，
∴，∴，∴在上有一个零点．……10分
综上所述，
时，有一个零点，时，有2个零点. ……11分
（3）选择①证明：当时，， ……12分
设，
（Ⅰ）当时，，
又由（2）知，∴， ……13分
（Ⅱ）当时，，
设，则，
∴在单调递增，∴，
∴，即在单调递增，
，
综上，， ……16分
∴当时，，即. ……17分
选择②证明：当时，， ……12分
设，
（Ⅰ）当时，，
∴， ……13分
（Ⅱ）当时，，
设，则，
∴在单调递增，∴，
∴，即在单调递增，
∴，
综上，， ……16分
∴当时，，即. ……17分