2025届高考数学一轮知识清单专题07 三角函数的图象与性质综合（2知识点+6重难点+7方法技巧+4易错易混）（解析版）

这是一份2025届高考数学一轮知识清单专题07 三角函数的图象与性质综合（2知识点+6重难点+7方法技巧+4易错易混）（解析版），共26页。

知识点1 三角函数的图象与性质
1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cs x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．
2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
知识点2 函数y=Asin(ωx＋φ)
1、y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
2、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)
3、三角函数的图象变换
由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法
重难点01 利用三角函数的单调性求参数
1、子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；
2、反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解；
3、周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过eq \f(1,4)周期列不等式(组)求解。
【典例1】（23-24高三下·江西宜春·模拟预测）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为在区间上单调递减，所以，
则，即，所以，
因为，，所以，
因为，所以，，
因为在区间上单调递减，
所以，解得，所以的取值范围为．
【典例2】（23-24高三下·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】当时， ，
又的单调递减区间为，
所以，解得，
且，解得，又，
所以0，所以的取值范围为.
重难点02 与函数零点或方程的根有关的参数问题
因为f(x)=Asin(ωx+φ)的最小正周期是T=2πω，所以ω=2πT，也就是说只要确定了周期T，就可以确定ω的取值. 对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有k个零点，需要确定含有k个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有k个零点，需要确定包含k+1个零点的区间长度的最小值．
【典例1】（23-24高三下·河北沧州·月考）已知函数在区间上有且仅有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由可得，
令,
所以或，
故函数的正零点从小到大排列为：，
要使在区间上有且仅有3个零点，需要满足且，解得，故选：C
【典例2】（23-24高三下·湖北·二模）已知函数（，）的最小正周期为T，，若在内恰有10个零点则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】函数（，）的周期为，
又，所以，
所以，即，
因为，所以，解得，
所以，因为，所以，
要使在内恰有10个零点，则.
所以的取值范围是.
重难点03 利用三角函数的对称性（奇偶性）求参数
（1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为T2，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为T4，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究ω的取值。
（2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与x轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定ω的取值.
【典例1】（23-24高三下·黑龙江·三模）已知函数在区间内恰有3条对称轴，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
又函数在区间恰有3条对称轴，
所以，解得，故选：D.
【典例2】（23-24高三上·福建漳州·月考）已知函数（ω＞0），若f（x）在区间上有且仅有3个零点和2条对称轴，则ω的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】函数，
因为，所以，
由于函数在区间上有且仅有3个零点和2条对称轴，
根据函数的图像：

所以，整理得：．故选：D．
重难点04 与图象平移有关的参数范围问题
1、平移后与原图象重合
思路1：平移长度即为原函数周期的整倍数；
思路2：平移前的函数=平移后的函数.
2、平移后与新图象重合：平移后的函数=新的函数.
3、平移后的函数与原图象关于轴对称：平移后的函数为偶函数；
4、平移后的函数与原函数关于轴对称：平移前的函数=平移后的函数-；
5、平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中。
【典例1】（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若在上单调递增，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【解析】由题意，
令，显然关于单调递增，且，
若在上单调递增，则，解得，
即的最大值为.故选：C.
【典例2】（23-24高三上·江苏镇江·月考）将函数的图象向右平移个单位长度后，再将使得图象上所有点的横坐标缩短为原来的（）得到函数的图象，若在区间内有5个零点，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】将函数的图象向右平移个单位长度，
得到的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数的图象.
时，，
在轴右方的零点为
因为函数的图象在区间内有5个零点，
所以，解得.
重难点05 根据三角函数的最值求参数
若已知三角函数的最值，则可利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，列出关于参数的不等式(组)，进而求解.
【典例1】（23-24高三下·浙江·三模）若函数 的最大值为 2，则常数 的取值可以为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【解析】因为函数的最大值为1，的最大值为1，
由题意可知，取得最大值1时，也取得最大值1，
即当时，，，
得，，，
当时，，其他值不满足等式.故选：D
【典例2】（23-24高三下·山东济宁·三模）已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意，函数，
当时，，显然，
且正弦函数在上单调递减，由在区间上的值域为，
得，解得，
所以实数的取值范围是.故选：D
一、三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解．
【注意】解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略．
【典例1】（23-24高三上·全国·专题练习）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由得，
解得.故选：B．
【典例2】（23-24高三上·河南新乡·月考）函数的定义域为 .（用区间表示结果）
【答案】
【解析】要使函数有意义，
只需，所以，，
即，，
所以或，
所以函数的定义域为.
二、三角函数值域或最值的3种求法
1、直接法：形如y＝asin x＋k或y＝acs x＋k的三角函数，直接利用sin x，cs x的值域求出；
2、化一法：形如y＝asin x＋bcs x＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)；
3、换元法：
（1）形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
（2）形如y＝asin xcs x＋b(sin x±cs x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cs x，化为关于t的二次函数求值域(最值)
【典例1】（23-24高三下·广东湛江·二模）函数在上的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，所以，
故在上的值域为.故选：B.
【典例2】（22-23高三上·山东朔州·开学考）已知函数，则的最小值为 .
【答案】
【解析】因为，则，
所以，，
故当时，函数取得最小值，即.
【典例3】（22-23高三上·广东深圳·月考）已知函数，则的最大值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，
令，
即，
由，则.故选：A.
【典例4】（23-24高三下·湘豫联考·三模）当时，的最大值是（ ）
A．2B．C．0D．
【答案】D
【解析】原式，
其中锐角由确定，由，得，
所以.故选：D
三、求三角函数单调区间的2种方法
1、代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解；
2、图象法：画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间
求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域．
【典例1】（23-24高三上·湖南衡阳·期末）下列函数的最小正周期为，且在上单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意，A项，在中，，，最小正周期为，
当单调递增时，，解得：
∴在上不单调递减，A错误；
B项，在中， ，最小正周期为，
当单调递增时，，解得：
∴在上不单调递减，B错误；
C项，在中，，周期,
∴函数在即上单调递减，
∴函数在上单调递减，C正确；
D项，在中，，故D错误.故选：C.
【典例2】（23-24高三下·全国·模拟预测）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】，令，
,
故函数的单调递增区间为.故选：D．
【典例3】（23-24高三下·天津·高考模拟）函数的图象经过点和点，则的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】依题意，，且，即且，
因为，所以，则，
所以，化简得，
因为，所以时，故，所以．
由，得，
所以的单调递增区间是．故选：D．
四、与三角函数奇偶性相关的结论
三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acs ωx＋b的形式．常见的结论有：
（1）若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
（2）若y＝Acs(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)．
（3）若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．
【典例1】（23-24高三下·浙江杭州·三模）已知函数，则“”是“为奇函数且为偶函数”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】一方面，当，时，是奇函数，
是偶函数，故充分性成立，
另一方面，当时，有是奇函数，
是偶函数，
但此时关于的方程没有解，故必要性不成立，
综上所述，在已知 的情况下，
“”是“为奇函数且为偶函数”的充分而不必要条件.故选：A.
【典例2】（23-24高三下·河南信阳·一模）若函数的图像关于原点对称，则m＝ ．
【答案】/
【解析】因为的图像关于原点对称，则为奇函数，且为奇函数，
则为偶函数，
即，，则，则．
【典例3】（23-24高三下·湖北黄石·三模）已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数，的图象关于直线对称
B．的图象关于轴对称，不是对称图形
C．的图象关于原点对称，的图象关于点对称
D．的图象关于原点对称，的图象关于轴对称
【答案】A
【解析】函数的定义域为，
且，
所以为偶函数，函数图象关于轴对称，
任意，，
则，
故是偶函数，即的图象关于轴对称.故选：A
五、三角函数对称性问题的2种求解方法
1、定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点；
2、公式法：
（1）函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝eq \f(kπ,ω)－eq \f(φ,ω)＋eq \f(π,2ω)，对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,ω)－\f(φ,ω)，0))；
（2）函数y＝Acs(ωx＋φ)的对称轴为x＝eq \f(kπ,ω)－eq \f(φ,ω)，对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,ω)－\f(φ,ω)＋\f(π,2ω)，0))；
（3）函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2ω)－\f(φ,ω)，0)).上述k∈Z
【典例1】（23-24高三下·陕西西安·模拟预测）已知函数的最小正周期为，则的图象的一个对称中心为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意得，由题可知，所以.
令，得，
所以的图象的对称中心为，所以点符合.故选：D.
【典例2】（23-24高三下·陕西·模拟预测）已知函数，则的图像（ ）
A．关于直线对称B．关于直线对称
C．关于中心对称D．关于中心对称
【答案】A
【解析】
，
对于A，，函数关于直线对称，A正确；
对于B，，函数关于直线不对称，B错误；
对于C，，函数关于不成中心对称，C错误；
对于D，，函数关于中心对称，D错误.故选：A
【典例3】（23-24高三下·安徽·三模）“”是“函数的图象关于对称”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若函数的图象关于对称，则，解得，
因为是的真子集，
所以“”是“函数的图象关于对称”的充分不必要条件.
故选：A.
六、由图象确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法
(1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m，则A＝eq \f(M－m,2)，b＝eq \f(M＋m,2).
(2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝eq \f(2π,T).
(3)求φ，常用方法如下：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.
【典例1】（23-24高三下·陕西西安·模拟预测）已知函数的部分图像如图所示，则（ ）
A．B．C．0D．
【答案】B
【解析】由图可得，，，所以，
所以，因为在函数的图像上，
可得，解得，
因为，所以，，
所以.
故选：B.
【典例2】（23-24高三下·甘肃酒泉·三模）函数，其部分图象如图所示，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设的最小正周期为，
由题意可知：，，即，且，则，
可得，
由图象可知：为的最大值点，
则，解得，
且，可知，所以.故选：B.
七、三角函数图象的变换
函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)中，参数A，ω，φ，k的变化引起图象的变换：
（1）A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换；
（2）ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；
（3）φ的变化引起左右平移变换，k的变化引起上下平移变换．
图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．
【注意】（1）平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值；
（2）余弦型、正切型函数的图象变换过程与正弦型函数的图象变换过程相同。
【典例1】（23-24高三下·广东揭阳·二模）把函数的图象向左平移个最小正周期后，所得图象对应的函数为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意得的最小正周期为，
则所求函数为.故选：C
【典例2】（23-24高三下·浙江·月考）（多选）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】AD
【解析】把函数图象上所有的点向左平移个单位长度，
可得函数的图象，A正确；
把函数图象上所有的点向右平移个单位长度，
可得函数的图象，B错误；
把函数图象上所有的点向左平移个单位长度，
可得函数的图象，C错误；
把函数图象上所有的点向右平移个单位长度，
可得函数的图象，D正确；故选：AD.
八、三角函数图象与性质综合
角度一、图象性质的综合应用
方法总结：研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.
【典例1】（23-24高三下·陕西铜川·三模）已知函数，则下列说法中不正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的最大值为
C．在区间上单调递增 D．
【答案】C
【解析】依题意，则函数的最大值为，
最小值正周期为，从而可排除选项.
，，根据三角函数的性质可知，
当，即时函数单调递减，
当，即时函数单调递增，
故在区间上不可能单调递增，应选C项.
为偶函数，
从而，从而可排除D选项.故选：C
【典例2】（23-24高三下·湖北武汉·模拟预测）（多选）已知（，，）的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．的最小正周期为
C．在内有3个极值点D．在区间上的最大值为
【答案】ABD
【解析】对于AB，根据函数的部分图象知，，
，，故AB正确，
对于C，由五点法画图知，，解得，
由于，所以，.
令，则，
时，，时，，
当时，，当时，，当时，，
故在内有2个极值点，分别为，，故C错误，
对于D，，可得：，
故当此时取最大值，故D正确.故选：ABD.
角度二：三角函数的零点（方程的根）的问题
方法总结：方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.
【典例1】（23-24高三上·浙江温州·期末）已知函数，若关于x的方程在上有两个不同的根，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】画出函数，的图象，
若方程在上有两个不同的根，，由图可知.故选：C
【典例2】（23-24高三下·江苏·月考）已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】C
【解析】，所以的最大值为2，
当取最大值时，有，即，
由，
令，解得，
当趋于时，趋于正无穷，
而，
所以在上存在一个零点，
根据上述分析，在同一平面直角坐标系中画出的图象与的图象如图所示，
由图可知，在上存在一个零点，
在上存在个零点，
综上所述，的图象与的图象共有11个交点.故选：C．

易错点1 忽视正、余弦函数的有界性
点拨：许多三角函数问题可以通过换元的方法转化为代数问题解决，在换元时注意正、余弦函数的有界性．
【典例1】（2023高三上·全国·专题练习）函数的最大值为 ．
【答案】
【解析】，
∵，∴，，，
∴函数的最大值为．
【典例2】（23-24高三上·上海浦东新·月考）函数的值域为 .
【答案】
【解析】由，又，
令，则在给定区间内递增，
所以，即原函数的值域为.
易错点2 三角函数单调性判断错误
点拨：对于函数来说，当时，由于内层函数是单调递增的，所以函数的单调性与函数的单调性相同，故可完全按照函数的单调性来解决；但当时，内层函数是单调递减的，所以函数的单调性与函数的单调性正好相反，就不能按照函数的单调性来解决。一般来说，应根据诱导公式将的系数化为正数加以解决，对于带有绝对值的三角函数宜根据图象从直观上加以解决。
【典例1】（23-24高三·全国·专题练习）在上的单调递减区间为 .
【答案】和
【解析】，
令得
则的单调递减区间为
令,
∴在上的单调递减区间为和.
【典例2】（22-23高三上·河北邢台·期末）函数的单调递减区间为 .
【答案】
【解析】由＝cs＝cs，
得2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ＋≤x≤kπ＋ (k∈Z)，
所以函数的单调递减区间为 (k∈Z).
易错点3 图象变换的方向把握不准
点拨：图像的平移变换，伸缩变换因先后顺序不同平移的量不同，平移的量为，平移的量为。
【典例1】（23-24高三下·江苏南京·二模）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
【答案】A
【解析】，
则把函数图象上所有的点向左平移个单位即可，故选：A.
【典例2】（23-24高三上·山西朔州·月考）（多选）要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】BC
【解析】由，
可知将函数的图象向右平移个单位长度，
可得，即可得函数的图象，
又由函数的最小正周期为，
可知向右平移个单位长度与向左平移个单位长度效果相同；所以选项BC正确.
若向左平移个单位长度，可得，故A错误；
若向右平移个单位长度，可得，故D错误；
故选：BC.
易错点4 用零点确定的,忽略图象的升降
点拨：确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝eq \f(π,2)；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝eq \f(3π,2)；“第五点”为ωx＋φ＝2π.
【典例1】（23-24高三下·山东潍坊·月考）函数的部分图象如图所示，则的解析式为 .
【答案】
【解析】根据图象可得, 而，则，
所以或，又，所以，
由得则，即,
由，所以，
故时，，所以.
【典例2】（23-24高三上·广东深圳·开学考试）已知函数的图象大致如图，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【解析】由题意得，解得，
当时，，解得，故，
将代入可得，，
故，解得，
则，
所以；
当时，，解得，故，
将代入可得，，
故，解得，
则，
，函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
定义域
R
R
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,2)))))
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))
[2kπ－π，2kπ]
eq \b\lc\(\rc\) (\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))
递减区间
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))
[2kπ，2kπ＋π]
无
对称中心
(kπ，0)
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))
对称轴方程
x＝kπ＋eq \f(π,2)
x＝kπ
无
y＝Asin(ωx＋φ)
振幅
周期
频率
相位
初相
(A>0，ω>0)
A
T＝eq \f(2π,ω)
f＝eq \f(1,T)＝eq \f(ω,2π)
ωx＋φ
eq \a\vs4\al(φ)
ωx＋φ
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
x
－eq \f(φ,ω)
eq \f(π,2ω)－eq \f(φ,ω)
eq \f(π－φ,ω)
eq \f(3π,2ω)－eq \f(φ,ω)
eq \f(2π－φ,ω)
y＝Asin(ωx＋φ)
0
eq \a\vs4\al(A)
0
－A
0